Theorem ackval3 49764

Description: The Ackermann function at 3. (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3	⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))

Proof of Theorem ackval3

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12399	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	fveq2i 6886	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (Ack‘(2 + 1))
3		2nn0 12616	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		ackvalsuc1mpt 49759	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (Ack‘(2 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Ack‘(2 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1))
6		peano2nn0 12639	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
7		3nn0 12617	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
8		ackval2 49763	. . . . . . 7 ⊢ (Ack‘2) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑖) + 3))
9	8	itcovalt2 49758	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)))
10	6, 7, 9	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)))
11	10	fveq1d 6885	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))‘1))
12		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)))
13		oveq1 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 + 3) = (1 + 3))
14		3cn 12417	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
15		ax-1cn 11251	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		3p1e4 12480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
17	14, 15, 16	addcomli 11495	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 3) = 4
18	13, 17	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 + 3) = 4)
19	18	oveq1d 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) = (4 · (2↑(𝑛 + 1))))
20	19	oveq1d 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) = ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))
21	20	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 = 1) → (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) = ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))
22		1nn0 12615	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
24		ovexd 7453	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) ∈ V)
25	12, 21, 23, 24	fvmptd 6999	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))‘1) = ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))
26		sq2 14333	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) = 4
27	26	eqcomi 2770	. . . . . . . 8 ⊢ 4 = (2↑2)
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 4 = (2↑2))
29	28	oveq1d 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (4 · (2↑(𝑛 + 1))) = ((2↑2) · (2↑(𝑛 + 1))))
30		2cnd 12414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
31	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
32	30, 6, 31	expaddd 14284	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2 + (𝑛 + 1))) = ((2↑2) · (2↑(𝑛 + 1))))
33		nn0cn 12609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
34		1cnd 11295	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
35	30, 33, 34	add12d 11530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + (2 + 1)))
36		2p1e3 12477	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
37	36	oveq2i 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 + (2 + 1)) = (𝑛 + 3)
38	35, 37	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 3))
39	38	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2 + (𝑛 + 1))) = (2↑(𝑛 + 3)))
40	29, 32, 39	3eqtr2d 2802	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (4 · (2↑(𝑛 + 1))) = (2↑(𝑛 + 3)))
41	40	oveq1d 7433	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) = ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
42	11, 25, 41	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
43	42	mpteq2ia 5200	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
44	2, 5, 43	3eqtri 2788	1 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198   − cmin 11534  2c2 12390  3c3 12391  4c4 12392  ℕ₀cn0 12599  ↑cexp 14197  IterCompcitco 49738  Ackcack 49739

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-seq 14138  df-exp 14198  df-itco 49740  df-ack 49741

This theorem is used by:  ackval3012  49773  ackval41a  49775  ackval42  49777