Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ackval3 47359
Description: The Ackermann function at 3. (Contributed by AV, 7-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval3 (Ackβ€˜3) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) βˆ’ 3))
Proof of Theorem ackval3
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3 12275 . . 3 3 = (2 + 1)
21fveq2i 6894 . 2 (Ackβ€˜3) = (Ackβ€˜(2 + 1))
3 2nn0 12488 . . 3 2 ∈ β„•0
4 ackvalsuc1mpt 47354 . . 3 (2 ∈ β„•0 β†’ (Ackβ€˜(2 + 1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜2))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1)))
53, 4ax-mp 5 . 2 (Ackβ€˜(2 + 1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜2))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1))
6 peano2nn0 12511 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•0)
7 3nn0 12489 . . . . . 6 3 ∈ β„•0
8 ackval2 47358 . . . . . . 7 (Ackβ€˜2) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· 𝑖) + 3))
98itcovalt2 47353 . . . . . 6 (((𝑛 + 1) ∈ β„•0 ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ ((IterCompβ€˜(Ackβ€˜2))β€˜(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3)))
106, 7, 9sylancl 586 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((IterCompβ€˜(Ackβ€˜2))β€˜(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3)))
1110fveq1d 6893 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜2))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1) = ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3))β€˜1))
12 eqidd 2733 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3)))
13 oveq1 7415 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 β†’ (𝑖 + 3) = (1 + 3))
14 3cn 12292 . . . . . . . . . 10 3 ∈ β„‚
15 ax-1cn 11167 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
16 3p1e4 12356 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
1714, 15, 16addcomli 11405 . . . . . . . . 9 (1 + 3) = 4
1813, 17eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 β†’ (𝑖 + 3) = 4)
1918oveq1d 7423 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 β†’ ((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) = (4 Β· (2↑(𝑛 + 1))))
2019oveq1d 7423 . . . . . 6 (𝑖 = 1 β†’ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3) = ((4 Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3))
2120adantl 482 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑖 = 1) β†’ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3) = ((4 Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3))
22 1nn0 12487 . . . . . 6 1 ∈ β„•0
2322a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„•0)
24 ovexd 7443 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((4 Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3) ∈ V)
2512, 21, 23, 24fvmptd 7005 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3))β€˜1) = ((4 Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3))
26 sq2 14160 . . . . . . . . 9 (2↑2) = 4
2726eqcomi 2741 . . . . . . . 8 4 = (2↑2)
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 4 = (2↑2))
2928oveq1d 7423 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (4 Β· (2↑(𝑛 + 1))) = ((2↑2) Β· (2↑(𝑛 + 1))))
30 2cnd 12289 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„‚)
313a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„•0)
3230, 6, 31expaddd 14112 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2 + (𝑛 + 1))) = ((2↑2) Β· (2↑(𝑛 + 1))))
33 nn0cn 12481 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
34 1cnd 11208 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„‚)
3530, 33, 34add12d 11439 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + (2 + 1)))
36 2p1e3 12353 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
3736oveq2i 7419 . . . . . . . 8 (𝑛 + (2 + 1)) = (𝑛 + 3)
3835, 37eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 3))
3938oveq2d 7424 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2 + (𝑛 + 1))) = (2↑(𝑛 + 3)))
4029, 32, 393eqtr2d 2778 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (4 Β· (2↑(𝑛 + 1))) = (2↑(𝑛 + 3)))
4140oveq1d 7423 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((4 Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3) = ((2↑(𝑛 + 3)) βˆ’ 3))
4211, 25, 413eqtrd 2776 . . 3 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜2))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1) = ((2↑(𝑛 + 3)) βˆ’ 3))
4342mpteq2ia 5251 . 2 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜2))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) βˆ’ 3))
442, 5, 433eqtri 2764 1 (Ackβ€˜3) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) βˆ’ 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   βˆ’ cmin 11443  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  β„•0cn0 12471  β†‘cexp 14026  IterCompcitco 47333  Ackcack 47334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-seq 13966  df-exp 14027  df-itco 47335  df-ack 47336
This theorem is referenced by:  ackval3012  47368  ackval41a  47370  ackval42  47372
  Copyright terms: Public domain W3C validator