Theorem ackval3 45447

Description: The Ackermann function at 3. (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3	⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))

Proof of Theorem ackval3

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 11723	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	fveq2i 6654	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (Ack‘(2 + 1))
3		2nn0 11936	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		ackvalsuc1mpt 45442	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (Ack‘(2 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Ack‘(2 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1))
6		peano2nn0 11959	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
7		3nn0 11937	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
8		ackval2 45446	. . . . . . 7 ⊢ (Ack‘2) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑖) + 3))
9	8	itcovalt2 45441	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)))
10	6, 7, 9	sylancl 590	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)))
11	10	fveq1d 6653	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))‘1))
12		eqidd 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)))
13		oveq1 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 + 3) = (1 + 3))
14		3cn 11740	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
15		ax-1cn 10618	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		3p1e4 11804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
17	14, 15, 16	addcomli 10855	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 3) = 4
18	13, 17	eqtrdi 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 + 3) = 4)
19	18	oveq1d 7158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) = (4 · (2↑(𝑛 + 1))))
20	19	oveq1d 7158	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) = ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))
21	20	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 = 1) → (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) = ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))
22		1nn0 11935	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
24		ovexd 7178	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) ∈ V)
25	12, 21, 23, 24	fvmptd 6759	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))‘1) = ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))
26		sq2 13595	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) = 4
27	26	eqcomi 2768	. . . . . . . 8 ⊢ 4 = (2↑2)
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 4 = (2↑2))
29	28	oveq1d 7158	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (4 · (2↑(𝑛 + 1))) = ((2↑2) · (2↑(𝑛 + 1))))
30		2cnd 11737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
31	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
32	30, 6, 31	expaddd 13547	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2 + (𝑛 + 1))) = ((2↑2) · (2↑(𝑛 + 1))))
33		nn0cn 11929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
34		1cnd 10659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
35	30, 33, 34	add12d 10889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + (2 + 1)))
36		2p1e3 11801	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
37	36	oveq2i 7154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 + (2 + 1)) = (𝑛 + 3)
38	35, 37	eqtrdi 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 3))
39	38	oveq2d 7159	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2 + (𝑛 + 1))) = (2↑(𝑛 + 3)))
40	29, 32, 39	3eqtr2d 2800	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (4 · (2↑(𝑛 + 1))) = (2↑(𝑛 + 3)))
41	40	oveq1d 7158	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) = ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
42	11, 25, 41	3eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
43	42	mpteq2ia 5116	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
44	2, 5, 43	3eqtri 2786	1 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3407   ↦ cmpt 5105  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  1c1 10561   + caddc 10563   · cmul 10565   − cmin 10893  2c2 11714  3c3 11715  4c4 11716  ℕ₀cn0 11919  ↑cexp 13464  IterCompcitco 45421  Ackcack 45422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-inf2 9122  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-seq 13404  df-exp 13465  df-itco 45423  df-ack 45424

This theorem is referenced by:  ackval3012  45456  ackval41a  45458  ackval42  45460