Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ackval3 47456
Description: The Ackermann function at 3. (Contributed by AV, 7-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval3 (Ackβ€˜3) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) βˆ’ 3))
Proof of Theorem ackval3
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3 12280 . . 3 3 = (2 + 1)
21fveq2i 6893 . 2 (Ackβ€˜3) = (Ackβ€˜(2 + 1))
3 2nn0 12493 . . 3 2 ∈ β„•0
4 ackvalsuc1mpt 47451 . . 3 (2 ∈ β„•0 β†’ (Ackβ€˜(2 + 1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜2))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1)))
53, 4ax-mp 5 . 2 (Ackβ€˜(2 + 1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜2))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1))
6 peano2nn0 12516 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•0)
7 3nn0 12494 . . . . . 6 3 ∈ β„•0
8 ackval2 47455 . . . . . . 7 (Ackβ€˜2) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· 𝑖) + 3))
98itcovalt2 47450 . . . . . 6 (((𝑛 + 1) ∈ β„•0 ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ ((IterCompβ€˜(Ackβ€˜2))β€˜(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3)))
106, 7, 9sylancl 584 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((IterCompβ€˜(Ackβ€˜2))β€˜(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3)))
1110fveq1d 6892 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜2))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1) = ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3))β€˜1))
12 eqidd 2731 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3)))
13 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 β†’ (𝑖 + 3) = (1 + 3))
14 3cn 12297 . . . . . . . . . 10 3 ∈ β„‚
15 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
16 3p1e4 12361 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
1714, 15, 16addcomli 11410 . . . . . . . . 9 (1 + 3) = 4
1813, 17eqtrdi 2786 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 β†’ (𝑖 + 3) = 4)
1918oveq1d 7426 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 β†’ ((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) = (4 Β· (2↑(𝑛 + 1))))
2019oveq1d 7426 . . . . . 6 (𝑖 = 1 β†’ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3) = ((4 Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3))
2120adantl 480 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑖 = 1) β†’ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3) = ((4 Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3))
22 1nn0 12492 . . . . . 6 1 ∈ β„•0
2322a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„•0)
24 ovexd 7446 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((4 Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3) ∈ V)
2512, 21, 23, 24fvmptd 7004 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3))β€˜1) = ((4 Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3))
26 sq2 14165 . . . . . . . . 9 (2↑2) = 4
2726eqcomi 2739 . . . . . . . 8 4 = (2↑2)
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 4 = (2↑2))
2928oveq1d 7426 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (4 Β· (2↑(𝑛 + 1))) = ((2↑2) Β· (2↑(𝑛 + 1))))
30 2cnd 12294 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„‚)
313a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„•0)
3230, 6, 31expaddd 14117 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2 + (𝑛 + 1))) = ((2↑2) Β· (2↑(𝑛 + 1))))
33 nn0cn 12486 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
34 1cnd 11213 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„‚)
3530, 33, 34add12d 11444 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + (2 + 1)))
36 2p1e3 12358 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
3736oveq2i 7422 . . . . . . . 8 (𝑛 + (2 + 1)) = (𝑛 + 3)
3835, 37eqtrdi 2786 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 3))
3938oveq2d 7427 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2 + (𝑛 + 1))) = (2↑(𝑛 + 3)))
4029, 32, 393eqtr2d 2776 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (4 Β· (2↑(𝑛 + 1))) = (2↑(𝑛 + 3)))
4140oveq1d 7426 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((4 Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3) = ((2↑(𝑛 + 3)) βˆ’ 3))
4211, 25, 413eqtrd 2774 . . 3 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜2))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1) = ((2↑(𝑛 + 3)) βˆ’ 3))
4342mpteq2ia 5250 . 2 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜2))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) βˆ’ 3))
442, 5, 433eqtri 2762 1 (Ackβ€˜3) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) βˆ’ 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  β„•0cn0 12476  β†‘cexp 14031  IterCompcitco 47430  Ackcack 47431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971  df-exp 14032  df-itco 47432  df-ack 47433
This theorem is referenced by:  ackval3012  47465  ackval41a  47467  ackval42  47469
  Copyright terms: Public domain W3C validator