Theorem ackval3 49347

Description: The Ackermann function at 3. (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3	⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))

Proof of Theorem ackval3

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12303	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	fveq2i 6885	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (Ack‘(2 + 1))
3		2nn0 12520	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		ackvalsuc1mpt 49342	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (Ack‘(2 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Ack‘(2 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1))
6		peano2nn0 12543	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
7		3nn0 12521	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
8		ackval2 49346	. . . . . . 7 ⊢ (Ack‘2) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑖) + 3))
9	8	itcovalt2 49341	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)))
10	6, 7, 9	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)))
11	10	fveq1d 6884	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))‘1))
12		eqidd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)))
13		oveq1 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 + 3) = (1 + 3))
14		3cn 12321	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
15		ax-1cn 11157	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		3p1e4 12384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
17	14, 15, 16	addcomli 11401	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 3) = 4
18	13, 17	eqtrdi 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 + 3) = 4)
19	18	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) = (4 · (2↑(𝑛 + 1))))
20	19	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) = ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))
21	20	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 = 1) → (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) = ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))
22		1nn0 12519	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
24		ovexd 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) ∈ V)
25	12, 21, 23, 24	fvmptd 6998	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))‘1) = ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))
26		sq2 14232	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) = 4
27	26	eqcomi 2778	. . . . . . . 8 ⊢ 4 = (2↑2)
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 4 = (2↑2))
29	28	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (4 · (2↑(𝑛 + 1))) = ((2↑2) · (2↑(𝑛 + 1))))
30		2cnd 12318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
31	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
32	30, 6, 31	expaddd 14183	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2 + (𝑛 + 1))) = ((2↑2) · (2↑(𝑛 + 1))))
33		nn0cn 12513	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
34		1cnd 11201	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
35	30, 33, 34	add12d 11436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + (2 + 1)))
36		2p1e3 12381	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
37	36	oveq2i 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 + (2 + 1)) = (𝑛 + 3)
38	35, 37	eqtrdi 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 3))
39	38	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2 + (𝑛 + 1))) = (2↑(𝑛 + 3)))
40	29, 32, 39	3eqtr2d 2810	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (4 · (2↑(𝑛 + 1))) = (2↑(𝑛 + 3)))
41	40	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) = ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
42	11, 25, 41	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
43	42	mpteq2ia 5210	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
44	2, 5, 43	3eqtri 2796	1 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   − cmin 11440  2c2 12294  3c3 12295  4c4 12296  ℕ₀cn0 12503  ↑cexp 14096  IterCompcitco 49321  Ackcack 49322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-seq 14037  df-exp 14097  df-itco 49323  df-ack 49324

This theorem is referenced by:  ackval3012  49356  ackval41a  49358  ackval42  49360