Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval3 46759
Description: The Ackermann function at 3. (Contributed by AV, 7-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval3 (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))

Proof of Theorem ackval3
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3 12217 . . 3 3 = (2 + 1)
21fveq2i 6845 . 2 (Ack‘3) = (Ack‘(2 + 1))
3 2nn0 12430 . . 3 2 ∈ ℕ0
4 ackvalsuc1mpt 46754 . . 3 (2 ∈ ℕ0 → (Ack‘(2 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1)))
53, 4ax-mp 5 . 2 (Ack‘(2 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1))
6 peano2nn0 12453 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
7 3nn0 12431 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
8 ackval2 46758 . . . . . . 7 (Ack‘2) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑖) + 3))
98itcovalt2 46753 . . . . . 6 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)))
106, 7, 9sylancl 586 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)))
1110fveq1d 6844 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))‘1))
12 eqidd 2737 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)))
13 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → (𝑖 + 3) = (1 + 3))
14 3cn 12234 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
15 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
16 3p1e4 12298 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
1714, 15, 16addcomli 11347 . . . . . . . . 9 (1 + 3) = 4
1813, 17eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → (𝑖 + 3) = 4)
1918oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → ((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) = (4 · (2↑(𝑛 + 1))))
2019oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) = ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))
2120adantl 482 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑖 = 1) → (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) = ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))
22 1nn0 12429 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
2322a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
24 ovexd 7392 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) ∈ V)
2512, 21, 23, 24fvmptd 6955 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))‘1) = ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))
26 sq2 14101 . . . . . . . . 9 (2↑2) = 4
2726eqcomi 2745 . . . . . . . 8 4 = (2↑2)
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → 4 = (2↑2))
2928oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (4 · (2↑(𝑛 + 1))) = ((2↑2) · (2↑(𝑛 + 1))))
30 2cnd 12231 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
313a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
3230, 6, 31expaddd 14053 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2 + (𝑛 + 1))) = ((2↑2) · (2↑(𝑛 + 1))))
33 nn0cn 12423 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
34 1cnd 11150 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3530, 33, 34add12d 11381 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + (2 + 1)))
36 2p1e3 12295 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
3736oveq2i 7368 . . . . . . . 8 (𝑛 + (2 + 1)) = (𝑛 + 3)
3835, 37eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 3))
3938oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2 + (𝑛 + 1))) = (2↑(𝑛 + 3)))
4029, 32, 393eqtr2d 2782 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (4 · (2↑(𝑛 + 1))) = (2↑(𝑛 + 3)))
4140oveq1d 7372 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) = ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
4211, 25, 413eqtrd 2780 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
4342mpteq2ia 5208 . 2 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
442, 5, 433eqtri 2768 1 (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  0cn0 12413  cexp 13967  IterCompcitco 46733  Ackcack 46734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-exp 13968  df-itco 46735  df-ack 46736
This theorem is referenced by:  ackval3012  46768  ackval41a  46770  ackval42  46772
  Copyright terms: Public domain W3C validator