Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval3 48533
Description: The Ackermann function at 3. (Contributed by AV, 7-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval3 (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))

Proof of Theorem ackval3
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3 12328 . . 3 3 = (2 + 1)
21fveq2i 6910 . 2 (Ack‘3) = (Ack‘(2 + 1))
3 2nn0 12541 . . 3 2 ∈ ℕ0
4 ackvalsuc1mpt 48528 . . 3 (2 ∈ ℕ0 → (Ack‘(2 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1)))
53, 4ax-mp 5 . 2 (Ack‘(2 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1))
6 peano2nn0 12564 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
7 3nn0 12542 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
8 ackval2 48532 . . . . . . 7 (Ack‘2) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑖) + 3))
98itcovalt2 48527 . . . . . 6 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)))
106, 7, 9sylancl 586 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)))
1110fveq1d 6909 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))‘1))
12 eqidd 2736 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)))
13 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → (𝑖 + 3) = (1 + 3))
14 3cn 12345 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
15 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
16 3p1e4 12409 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
1714, 15, 16addcomli 11451 . . . . . . . . 9 (1 + 3) = 4
1813, 17eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → (𝑖 + 3) = 4)
1918oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → ((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) = (4 · (2↑(𝑛 + 1))))
2019oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) = ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))
2120adantl 481 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑖 = 1) → (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) = ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))
22 1nn0 12540 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
2322a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
24 ovexd 7466 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) ∈ V)
2512, 21, 23, 24fvmptd 7023 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))‘1) = ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))
26 sq2 14233 . . . . . . . . 9 (2↑2) = 4
2726eqcomi 2744 . . . . . . . 8 4 = (2↑2)
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → 4 = (2↑2))
2928oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (4 · (2↑(𝑛 + 1))) = ((2↑2) · (2↑(𝑛 + 1))))
30 2cnd 12342 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
313a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
3230, 6, 31expaddd 14185 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2 + (𝑛 + 1))) = ((2↑2) · (2↑(𝑛 + 1))))
33 nn0cn 12534 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
34 1cnd 11254 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3530, 33, 34add12d 11486 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + (2 + 1)))
36 2p1e3 12406 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
3736oveq2i 7442 . . . . . . . 8 (𝑛 + (2 + 1)) = (𝑛 + 3)
3835, 37eqtrdi 2791 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 3))
3938oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2 + (𝑛 + 1))) = (2↑(𝑛 + 3)))
4029, 32, 393eqtr2d 2781 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (4 · (2↑(𝑛 + 1))) = (2↑(𝑛 + 3)))
4140oveq1d 7446 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) = ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
4211, 25, 413eqtrd 2779 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
4342mpteq2ia 5251 . 2 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
442, 5, 433eqtri 2767 1 (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  0cn0 12524  cexp 14099  IterCompcitco 48507  Ackcack 48508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100  df-itco 48509  df-ack 48510
This theorem is referenced by:  ackval3012  48542  ackval41a  48544  ackval42  48546
  Copyright terms: Public domain W3C validator