Theorem ackval3 49040

Description: The Ackermann function at 3. (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3	⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))

Proof of Theorem ackval3

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12221	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	fveq2i 6845	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (Ack‘(2 + 1))
3		2nn0 12430	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		ackvalsuc1mpt 49035	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (Ack‘(2 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Ack‘(2 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1))
6		peano2nn0 12453	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
7		3nn0 12431	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
8		ackval2 49039	. . . . . . 7 ⊢ (Ack‘2) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑖) + 3))
9	8	itcovalt2 49034	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)))
10	6, 7, 9	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)))
11	10	fveq1d 6844	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))‘1))
12		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)))
13		oveq1 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 + 3) = (1 + 3))
14		3cn 12238	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
15		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		3p1e4 12297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 1) = 4
17	14, 15, 16	addcomli 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 3) = 4
18	13, 17	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 + 3) = 4)
19	18	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) = (4 · (2↑(𝑛 + 1))))
20	19	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) = ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))
21	20	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 = 1) → (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) = ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))
22		1nn0 12429	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
24		ovexd 7403	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) ∈ V)
25	12, 21, 23, 24	fvmptd 6957	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))‘1) = ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))
26		sq2 14132	. . . . . . . . 9 ⊢ (2↑2) = 4
27	26	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ 4 = (2↑2)
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 4 = (2↑2))
29	28	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (4 · (2↑(𝑛 + 1))) = ((2↑2) · (2↑(𝑛 + 1))))
30		2cnd 12235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
31	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
32	30, 6, 31	expaddd 14083	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2 + (𝑛 + 1))) = ((2↑2) · (2↑(𝑛 + 1))))
33		nn0cn 12423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
34		1cnd 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
35	30, 33, 34	add12d 11372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + (2 + 1)))
36		2p1e3 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
37	36	oveq2i 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 + (2 + 1)) = (𝑛 + 3)
38	35, 37	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 3))
39	38	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2 + (𝑛 + 1))) = (2↑(𝑛 + 3)))
40	29, 32, 39	3eqtr2d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (4 · (2↑(𝑛 + 1))) = (2↑(𝑛 + 3)))
41	40	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) = ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
42	11, 25, 41	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
43	42	mpteq2ia 5195	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
44	2, 5, 43	3eqtri 2764	1 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376  2c2 12212  3c3 12213  4c4 12214  ℕ₀cn0 12413  ↑cexp 13996  IterCompcitco 49014  Ackcack 49015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-exp 13997  df-itco 49016  df-ack 49017

This theorem is referenced by:  ackval3012  49049  ackval41a  49051  ackval42  49053