Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval3 45084
 Description: The Ackermann function at 3. (Contributed by AV, 7-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval3 (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))

Proof of Theorem ackval3
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3 11693 . . 3 3 = (2 + 1)
21fveq2i 6652 . 2 (Ack‘3) = (Ack‘(2 + 1))
3 2nn0 11906 . . 3 2 ∈ ℕ0
4 ackvalsuc1mpt 45079 . . 3 (2 ∈ ℕ0 → (Ack‘(2 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1)))
53, 4ax-mp 5 . 2 (Ack‘(2 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1))
6 peano2nn0 11929 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 + 1) ∈ ℕ0)
7 3nn0 11907 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
8 ackval2 45083 . . . . . . 7 (Ack‘2) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑖) + 3))
98itcovalt2 45078 . . . . . 6 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)))
106, 7, 9sylancl 589 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)))
1110fveq1d 6651 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))‘1))
12 eqidd 2802 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3)))
13 oveq1 7146 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → (𝑖 + 3) = (1 + 3))
14 3cn 11710 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
15 ax-1cn 10588 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
16 3p1e4 11774 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
1714, 15, 16addcomli 10825 . . . . . . . . 9 (1 + 3) = 4
1813, 17eqtrdi 2852 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → (𝑖 + 3) = 4)
1918oveq1d 7154 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → ((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) = (4 · (2↑(𝑛 + 1))))
2019oveq1d 7154 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) = ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))
2120adantl 485 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑖 = 1) → (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) = ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))
22 1nn0 11905 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
2322a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
24 ovexd 7174 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) ∈ V)
2512, 21, 23, 24fvmptd 6756 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 3) · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))‘1) = ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3))
26 sq2 13560 . . . . . . . . 9 (2↑2) = 4
2726eqcomi 2810 . . . . . . . 8 4 = (2↑2)
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → 4 = (2↑2))
2928oveq1d 7154 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (4 · (2↑(𝑛 + 1))) = ((2↑2) · (2↑(𝑛 + 1))))
30 2cnd 11707 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
313a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
3230, 6, 31expaddd 13512 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2 + (𝑛 + 1))) = ((2↑2) · (2↑(𝑛 + 1))))
33 nn0cn 11899 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
34 1cnd 10629 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3530, 33, 34add12d 10859 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + (2 + 1)))
36 2p1e3 11771 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
3736oveq2i 7150 . . . . . . . 8 (𝑛 + (2 + 1)) = (𝑛 + 3)
3835, 37eqtrdi 2852 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 3))
3938oveq2d 7155 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2↑(2 + (𝑛 + 1))) = (2↑(𝑛 + 3)))
4029, 32, 393eqtr2d 2842 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → (4 · (2↑(𝑛 + 1))) = (2↑(𝑛 + 3)))
4140oveq1d 7154 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((4 · (2↑(𝑛 + 1))) − 3) = ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
4211, 25, 413eqtrd 2840 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1) = ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
4342mpteq2ia 5124 . 2 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘2))‘(𝑛 + 1))‘1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
442, 5, 433eqtri 2828 1 (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   − cmin 10863  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  ℕ0cn0 11889  ↑cexp 13429  IterCompcitco 45058  Ackcack 45059 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-seq 13369  df-exp 13430  df-itco 45060  df-ack 45061 This theorem is referenced by:  ackval3012  45093  ackval41a  45095  ackval42  45097
 Copyright terms: Public domain W3C validator