Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval3 46855
Description: The Ackermann function at 3. (Contributed by AV, 7-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval3 (Ackβ€˜3) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) βˆ’ 3))

Proof of Theorem ackval3
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3 12222 . . 3 3 = (2 + 1)
21fveq2i 6846 . 2 (Ackβ€˜3) = (Ackβ€˜(2 + 1))
3 2nn0 12435 . . 3 2 ∈ β„•0
4 ackvalsuc1mpt 46850 . . 3 (2 ∈ β„•0 β†’ (Ackβ€˜(2 + 1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜2))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1)))
53, 4ax-mp 5 . 2 (Ackβ€˜(2 + 1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜2))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1))
6 peano2nn0 12458 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•0)
7 3nn0 12436 . . . . . 6 3 ∈ β„•0
8 ackval2 46854 . . . . . . 7 (Ackβ€˜2) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((2 Β· 𝑖) + 3))
98itcovalt2 46849 . . . . . 6 (((𝑛 + 1) ∈ β„•0 ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ ((IterCompβ€˜(Ackβ€˜2))β€˜(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3)))
106, 7, 9sylancl 587 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((IterCompβ€˜(Ackβ€˜2))β€˜(𝑛 + 1)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3)))
1110fveq1d 6845 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜2))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1) = ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3))β€˜1))
12 eqidd 2734 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3)))
13 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 β†’ (𝑖 + 3) = (1 + 3))
14 3cn 12239 . . . . . . . . . 10 3 ∈ β„‚
15 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
16 3p1e4 12303 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
1714, 15, 16addcomli 11352 . . . . . . . . 9 (1 + 3) = 4
1813, 17eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 β†’ (𝑖 + 3) = 4)
1918oveq1d 7373 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 β†’ ((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) = (4 Β· (2↑(𝑛 + 1))))
2019oveq1d 7373 . . . . . 6 (𝑖 = 1 β†’ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3) = ((4 Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3))
2120adantl 483 . . . . 5 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑖 = 1) β†’ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3) = ((4 Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3))
22 1nn0 12434 . . . . . 6 1 ∈ β„•0
2322a1i 11 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„•0)
24 ovexd 7393 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((4 Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3) ∈ V)
2512, 21, 23, 24fvmptd 6956 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ (((𝑖 + 3) Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3))β€˜1) = ((4 Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3))
26 sq2 14107 . . . . . . . . 9 (2↑2) = 4
2726eqcomi 2742 . . . . . . . 8 4 = (2↑2)
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 4 = (2↑2))
2928oveq1d 7373 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (4 Β· (2↑(𝑛 + 1))) = ((2↑2) Β· (2↑(𝑛 + 1))))
30 2cnd 12236 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„‚)
313a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„•0)
3230, 6, 31expaddd 14059 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2 + (𝑛 + 1))) = ((2↑2) Β· (2↑(𝑛 + 1))))
33 nn0cn 12428 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
34 1cnd 11155 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„‚)
3530, 33, 34add12d 11386 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + (2 + 1)))
36 2p1e3 12300 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
3736oveq2i 7369 . . . . . . . 8 (𝑛 + (2 + 1)) = (𝑛 + 3)
3835, 37eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2 + (𝑛 + 1)) = (𝑛 + 3))
3938oveq2d 7374 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (2↑(2 + (𝑛 + 1))) = (2↑(𝑛 + 3)))
4029, 32, 393eqtr2d 2779 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (4 Β· (2↑(𝑛 + 1))) = (2↑(𝑛 + 3)))
4140oveq1d 7373 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((4 Β· (2↑(𝑛 + 1))) βˆ’ 3) = ((2↑(𝑛 + 3)) βˆ’ 3))
4211, 25, 413eqtrd 2777 . . 3 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜2))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1) = ((2↑(𝑛 + 3)) βˆ’ 3))
4342mpteq2ia 5209 . 2 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜2))β€˜(𝑛 + 1))β€˜1)) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) βˆ’ 3))
442, 5, 433eqtri 2765 1 (Ackβ€˜3) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) βˆ’ 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   βˆ’ cmin 11390  2c2 12213  3c3 12214  4c4 12215  β„•0cn0 12418  β†‘cexp 13973  IterCompcitco 46829  Ackcack 46830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-seq 13913  df-exp 13974  df-itco 46831  df-ack 46832
This theorem is referenced by:  ackval3012  46864  ackval41a  46866  ackval42  46868
  Copyright terms: Public domain W3C validator