Theorem ackval41a 48674

Description: The Ackermann function at (4,1). (Contributed by AV, 9-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval41a	⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((2↑;16) − 3)

Proof of Theorem ackval41a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12305	. . . 4 ⊢ 4 = (3 + 1)
2	1	fveq2i 6879	. . 3 ⊢ (Ack‘4) = (Ack‘(3 + 1))
3		1e0p1 12750	. . 3 ⊢ 1 = (0 + 1)
4	2, 3	fveq12i 6882	. 2 ⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1))
5		3nn0 12519	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		0nn0 12516	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		ackvalsucsucval 48668	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0)))
8	5, 6, 7	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0))
9		3p1e4 12385	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
10	9	fveq2i 6879	. . . . . . 7 ⊢ (Ack‘(3 + 1)) = (Ack‘4)
11	10	fveq1i 6877	. . . . . 6 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘0) = ((Ack‘4)‘0)
12		ackval40 48673	. . . . . 6 ⊢ ((Ack‘4)‘0) = ;13
13	11, 12	eqtri 2758	. . . . 5 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘0) = ;13
14	13	fveq2i 6879	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0)) = ((Ack‘3)‘;13)
15		1nn0 12517	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16	15, 5	deccl 12723	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
17		oveq1 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ;13 → (𝑛 + 3) = (;13 + 3))
18	17	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ;13 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑(;13 + 3)))
19	18	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ;13 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑(;13 + 3)) − 3))
20		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;13 = ;13
21		3p3e6 12392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 3) = 6
22	15, 5, 5, 20, 21	decaddi 12768	. . . . . . . . 9 ⊢ (;13 + 3) = ;16
23	22	oveq2i 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑(;13 + 3)) = (2↑;16)
24	23	oveq1i 7415	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑(;13 + 3)) − 3) = ((2↑;16) − 3)
25	19, 24	eqtrdi 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ;13 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑;16) − 3))
26		ackval3 48663	. . . . . 6 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
27		ovex 7438	. . . . . 6 ⊢ ((2↑;16) − 3) ∈ V
28	25, 26, 27	fvmpt 6986	. . . . 5 ⊢ (;13 ∈ ℕ0 → ((Ack‘3)‘;13) = ((2↑;16) − 3))
29	16, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3)‘;13) = ((2↑;16) − 3)
30	14, 29	eqtri 2758	. . 3 ⊢ ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0)) = ((2↑;16) − 3)
31	8, 30	eqtri 2758	. 2 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1)) = ((2↑;16) − 3)
32	4, 31	eqtri 2758	1 ⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((2↑;16) − 3)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   − cmin 11466  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  6c6 12299  ℕ₀cn0 12501  ;cdc 12708  ↑cexp 14079  Ackcack 48638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-seq 14020  df-exp 14080  df-itco 48639  df-ack 48640

This theorem is referenced by:  ackval41  48675  ackval42  48676