Theorem ackval41a 49624

Description: The Ackermann function at (4,1). (Contributed by AV, 9-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval41a	⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((2↑;16) − 3)

Proof of Theorem ackval41a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12329	. . . 4 ⊢ 4 = (3 + 1)
2	1	fveq2i 6881	. . 3 ⊢ (Ack‘4) = (Ack‘(3 + 1))
3		1e0p1 12783	. . 3 ⊢ 1 = (0 + 1)
4	2, 3	fveq12i 6884	. 2 ⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1))
5		3nn0 12546	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		0nn0 12543	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		ackvalsucsucval 49618	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0)))
8	5, 6, 7	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0))
9		3p1e4 12409	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
10	9	fveq2i 6881	. . . . . . 7 ⊢ (Ack‘(3 + 1)) = (Ack‘4)
11	10	fveq1i 6879	. . . . . 6 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘0) = ((Ack‘4)‘0)
12		ackval40 49623	. . . . . 6 ⊢ ((Ack‘4)‘0) = ;13
13	11, 12	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘0) = ;13
14	13	fveq2i 6881	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0)) = ((Ack‘3)‘;13)
15		1nn0 12544	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16	15, 5	deccl 12751	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
17		oveq1 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ;13 → (𝑛 + 3) = (;13 + 3))
18	17	oveq2d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ;13 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑(;13 + 3)))
19	18	oveq1d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ;13 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑(;13 + 3)) − 3))
20		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;13 = ;13
21		3p3e6 12416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 3) = 6
22	15, 5, 5, 20, 21	decaddi 12801	. . . . . . . . 9 ⊢ (;13 + 3) = ;16
23	22	oveq2i 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑(;13 + 3)) = (2↑;16)
24	23	oveq1i 7423	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑(;13 + 3)) − 3) = ((2↑;16) − 3)
25	19, 24	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ;13 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑;16) − 3))
26		ackval3 49613	. . . . . 6 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
27		ovex 7446	. . . . . 6 ⊢ ((2↑;16) − 3) ∈ V
28	25, 26, 27	fvmpt 6986	. . . . 5 ⊢ (;13 ∈ ℕ0 → ((Ack‘3)‘;13) = ((2↑;16) − 3))
29	16, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3)‘;13) = ((2↑;16) − 3)
30	14, 29	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0)) = ((2↑;16) − 3)
31	8, 30	eqtri 2783	. 2 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1)) = ((2↑;16) − 3)
32	4, 31	eqtri 2783	1 ⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((2↑;16) − 3)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   − cmin 11465  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  6c6 12323  ℕ₀cn0 12528  ;cdc 12736  ↑cexp 14125  Ackcack 49588

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-seq 14066  df-exp 14126  df-itco 49589  df-ack 49590

This theorem is used by:  ackval41  49625  ackval42  49626