Theorem ackval41a 48615

Description: The Ackermann function at (4,1). (Contributed by AV, 9-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval41a	⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((2↑;16) − 3)

Proof of Theorem ackval41a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12331	. . . 4 ⊢ 4 = (3 + 1)
2	1	fveq2i 6909	. . 3 ⊢ (Ack‘4) = (Ack‘(3 + 1))
3		1e0p1 12775	. . 3 ⊢ 1 = (0 + 1)
4	2, 3	fveq12i 6912	. 2 ⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1))
5		3nn0 12544	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		0nn0 12541	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		ackvalsucsucval 48609	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0)))
8	5, 6, 7	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0))
9		3p1e4 12411	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
10	9	fveq2i 6909	. . . . . . 7 ⊢ (Ack‘(3 + 1)) = (Ack‘4)
11	10	fveq1i 6907	. . . . . 6 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘0) = ((Ack‘4)‘0)
12		ackval40 48614	. . . . . 6 ⊢ ((Ack‘4)‘0) = ;13
13	11, 12	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘0) = ;13
14	13	fveq2i 6909	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0)) = ((Ack‘3)‘;13)
15		1nn0 12542	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16	15, 5	deccl 12748	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
17		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ;13 → (𝑛 + 3) = (;13 + 3))
18	17	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ;13 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑(;13 + 3)))
19	18	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ;13 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑(;13 + 3)) − 3))
20		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;13 = ;13
21		3p3e6 12418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 3) = 6
22	15, 5, 5, 20, 21	decaddi 12793	. . . . . . . . 9 ⊢ (;13 + 3) = ;16
23	22	oveq2i 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑(;13 + 3)) = (2↑;16)
24	23	oveq1i 7441	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑(;13 + 3)) − 3) = ((2↑;16) − 3)
25	19, 24	eqtrdi 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ;13 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑;16) − 3))
26		ackval3 48604	. . . . . 6 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
27		ovex 7464	. . . . . 6 ⊢ ((2↑;16) − 3) ∈ V
28	25, 26, 27	fvmpt 7016	. . . . 5 ⊢ (;13 ∈ ℕ0 → ((Ack‘3)‘;13) = ((2↑;16) − 3))
29	16, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3)‘;13) = ((2↑;16) − 3)
30	14, 29	eqtri 2765	. . 3 ⊢ ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0)) = ((2↑;16) − 3)
31	8, 30	eqtri 2765	. 2 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1)) = ((2↑;16) − 3)
32	4, 31	eqtri 2765	1 ⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((2↑;16) − 3)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   − cmin 11492  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  6c6 12325  ℕ₀cn0 12526  ;cdc 12733  ↑cexp 14102  Ackcack 48579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103  df-itco 48580  df-ack 48581

This theorem is referenced by:  ackval41  48616  ackval42  48617