Theorem ackval41a 48940

Description: The Ackermann function at (4,1). (Contributed by AV, 9-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval41a	⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((2↑;16) − 3)

Proof of Theorem ackval41a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12210	. . . 4 ⊢ 4 = (3 + 1)
2	1	fveq2i 6837	. . 3 ⊢ (Ack‘4) = (Ack‘(3 + 1))
3		1e0p1 12649	. . 3 ⊢ 1 = (0 + 1)
4	2, 3	fveq12i 6840	. 2 ⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1))
5		3nn0 12419	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		0nn0 12416	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		ackvalsucsucval 48934	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0)))
8	5, 6, 7	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0))
9		3p1e4 12285	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
10	9	fveq2i 6837	. . . . . . 7 ⊢ (Ack‘(3 + 1)) = (Ack‘4)
11	10	fveq1i 6835	. . . . . 6 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘0) = ((Ack‘4)‘0)
12		ackval40 48939	. . . . . 6 ⊢ ((Ack‘4)‘0) = ;13
13	11, 12	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘0) = ;13
14	13	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0)) = ((Ack‘3)‘;13)
15		1nn0 12417	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16	15, 5	deccl 12622	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
17		oveq1 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ;13 → (𝑛 + 3) = (;13 + 3))
18	17	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ;13 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑(;13 + 3)))
19	18	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ;13 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑(;13 + 3)) − 3))
20		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;13 = ;13
21		3p3e6 12292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 3) = 6
22	15, 5, 5, 20, 21	decaddi 12667	. . . . . . . . 9 ⊢ (;13 + 3) = ;16
23	22	oveq2i 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑(;13 + 3)) = (2↑;16)
24	23	oveq1i 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑(;13 + 3)) − 3) = ((2↑;16) − 3)
25	19, 24	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ;13 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑;16) − 3))
26		ackval3 48929	. . . . . 6 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
27		ovex 7391	. . . . . 6 ⊢ ((2↑;16) − 3) ∈ V
28	25, 26, 27	fvmpt 6941	. . . . 5 ⊢ (;13 ∈ ℕ0 → ((Ack‘3)‘;13) = ((2↑;16) − 3))
29	16, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3)‘;13) = ((2↑;16) − 3)
30	14, 29	eqtri 2759	. . 3 ⊢ ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0)) = ((2↑;16) − 3)
31	8, 30	eqtri 2759	. 2 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1)) = ((2↑;16) − 3)
32	4, 31	eqtri 2759	1 ⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((2↑;16) − 3)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   − cmin 11364  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  6c6 12204  ℕ₀cn0 12401  ;cdc 12607  ↑cexp 13984  Ackcack 48904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985  df-itco 48905  df-ack 48906

This theorem is referenced by:  ackval41  48941  ackval42  48942