Theorem ackval41a 49182

Description: The Ackermann function at (4,1). (Contributed by AV, 9-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval41a	⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((2↑;16) − 3)

Proof of Theorem ackval41a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-4 12237	. . . 4 ⊢ 4 = (3 + 1)
2	1	fveq2i 6837	. . 3 ⊢ (Ack‘4) = (Ack‘(3 + 1))
3		1e0p1 12677	. . 3 ⊢ 1 = (0 + 1)
4	2, 3	fveq12i 6840	. 2 ⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1))
5		3nn0 12446	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		0nn0 12443	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		ackvalsucsucval 49176	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0)))
8	5, 6, 7	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0))
9		3p1e4 12312	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 1) = 4
10	9	fveq2i 6837	. . . . . . 7 ⊢ (Ack‘(3 + 1)) = (Ack‘4)
11	10	fveq1i 6835	. . . . . 6 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘0) = ((Ack‘4)‘0)
12		ackval40 49181	. . . . . 6 ⊢ ((Ack‘4)‘0) = ;13
13	11, 12	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘0) = ;13
14	13	fveq2i 6837	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0)) = ((Ack‘3)‘;13)
15		1nn0 12444	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
16	15, 5	deccl 12650	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
17		oveq1 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = ;13 → (𝑛 + 3) = (;13 + 3))
18	17	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ;13 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑(;13 + 3)))
19	18	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = ;13 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑(;13 + 3)) − 3))
20		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;13 = ;13
21		3p3e6 12319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 + 3) = 6
22	15, 5, 5, 20, 21	decaddi 12695	. . . . . . . . 9 ⊢ (;13 + 3) = ;16
23	22	oveq2i 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑(;13 + 3)) = (2↑;16)
24	23	oveq1i 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑(;13 + 3)) − 3) = ((2↑;16) − 3)
25	19, 24	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = ;13 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑;16) − 3))
26		ackval3 49171	. . . . . 6 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
27		ovex 7393	. . . . . 6 ⊢ ((2↑;16) − 3) ∈ V
28	25, 26, 27	fvmpt 6941	. . . . 5 ⊢ (;13 ∈ ℕ0 → ((Ack‘3)‘;13) = ((2↑;16) − 3))
29	16, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3)‘;13) = ((2↑;16) − 3)
30	14, 29	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0)) = ((2↑;16) − 3)
31	8, 30	eqtri 2760	. 2 ⊢ ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1)) = ((2↑;16) − 3)
32	4, 31	eqtri 2760	1 ⊢ ((Ack‘4)‘1) = ((2↑;16) − 3)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   − cmin 11368  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  6c6 12231  ℕ₀cn0 12428  ;cdc 12635  ↑cexp 14014  Ackcack 49146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015  df-itco 49147  df-ack 49148

This theorem is referenced by:  ackval41  49183  ackval42  49184