Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval41a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval41a 46866
Description: The Ackermann function at (4,1). (Contributed by AV, 9-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval41a ((Ack‘4)‘1) = ((2↑16) − 3)

Proof of Theorem ackval41a
StepHypRef Expression
1 df-4 12223 . . . 4 4 = (3 + 1)
21fveq2i 6846 . . 3 (Ack‘4) = (Ack‘(3 + 1))
3 1e0p1 12665 . . 3 1 = (0 + 1)
42, 3fveq12i 6849 . 2 ((Ack‘4)‘1) = ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1))
5 3nn0 12436 . . . 4 3 ∈ ℕ0
6 0nn0 12433 . . . 4 0 ∈ ℕ0
7 ackvalsucsucval 46860 . . . 4 ((3 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0)))
85, 6, 7mp2an 691 . . 3 ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1)) = ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0))
9 3p1e4 12303 . . . . . . . 8 (3 + 1) = 4
109fveq2i 6846 . . . . . . 7 (Ack‘(3 + 1)) = (Ack‘4)
1110fveq1i 6844 . . . . . 6 ((Ack‘(3 + 1))‘0) = ((Ack‘4)‘0)
12 ackval40 46865 . . . . . 6 ((Ack‘4)‘0) = 13
1311, 12eqtri 2761 . . . . 5 ((Ack‘(3 + 1))‘0) = 13
1413fveq2i 6846 . . . 4 ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0)) = ((Ack‘3)‘13)
15 1nn0 12434 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
1615, 5deccl 12638 . . . . 5 13 ∈ ℕ0
17 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 13 → (𝑛 + 3) = (13 + 3))
1817oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (𝑛 = 13 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑(13 + 3)))
1918oveq1d 7373 . . . . . . 7 (𝑛 = 13 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑(13 + 3)) − 3))
20 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 13 = 13
21 3p3e6 12310 . . . . . . . . . 10 (3 + 3) = 6
2215, 5, 5, 20, 21decaddi 12683 . . . . . . . . 9 (13 + 3) = 16
2322oveq2i 7369 . . . . . . . 8 (2↑(13 + 3)) = (2↑16)
2423oveq1i 7368 . . . . . . 7 ((2↑(13 + 3)) − 3) = ((2↑16) − 3)
2519, 24eqtrdi 2789 . . . . . 6 (𝑛 = 13 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑16) − 3))
26 ackval3 46855 . . . . . 6 (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
27 ovex 7391 . . . . . 6 ((2↑16) − 3) ∈ V
2825, 26, 27fvmpt 6949 . . . . 5 (13 ∈ ℕ0 → ((Ack‘3)‘13) = ((2↑16) − 3))
2916, 28ax-mp 5 . . . 4 ((Ack‘3)‘13) = ((2↑16) − 3)
3014, 29eqtri 2761 . . 3 ((Ack‘3)‘((Ack‘(3 + 1))‘0)) = ((2↑16) − 3)
318, 30eqtri 2761 . 2 ((Ack‘(3 + 1))‘(0 + 1)) = ((2↑16) − 3)
324, 31eqtri 2761 1 ((Ack‘4)‘1) = ((2↑16) − 3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059  cmin 11390  2c2 12213  3c3 12214  4c4 12215  6c6 12217  0cn0 12418  cdc 12623  cexp 13973  Ackcack 46830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-seq 13913  df-exp 13974  df-itco 46831  df-ack 46832
This theorem is referenced by:  ackval41  46867  ackval42  46868
  Copyright terms: Public domain W3C validator