Theorem ackval3012 46303

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 46294	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12134	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addid2i 11243	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7333	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7332	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 13997	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7327	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12141	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12210	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11318	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12328	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12333	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 6938	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11009	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12198	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7333	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7332	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 16863	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7327	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12329	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12331	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12532	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12325	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12205	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12577	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11318	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 6938	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12128	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12204	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11247	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7333	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7332	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 16864	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7327	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12330	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12337	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12532	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12325	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12195	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12605	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12578	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11318	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 6938	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4830	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ⟨cotp 4579   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6466  (class class class)co 7317  0cc0 10951  1c1 10952   + caddc 10954   − cmin 11285  2c2 12108  3c3 12109  4c4 12110  5c5 12111  6c6 12112  8c8 12114  9c9 12115  ℕ₀cn0 12313  ;cdc 12517  ↑cexp 13862  Ackcack 46269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-inf2 9477  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-ot 4580  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-er 8548  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-4 12118  df-5 12119  df-6 12120  df-7 12121  df-8 12122  df-9 12123  df-n0 12314  df-z 12400  df-dec 12518  df-uz 12663  df-seq 13802  df-exp 13863  df-itco 46270  df-ack 46271

This theorem is referenced by:  ackval40  46304