Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval3012 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval3012 48613
Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval3012 ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, 13, 29⟩

Proof of Theorem ackval3012
StepHypRef Expression
1 ackval3 48604 . 2 (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3 3cn 12347 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
43addlidi 11449 . . . . . . . 8 (0 + 3) = 3
52, 4eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
65oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
76oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8 cu2 14239 . . . . . . 7 (2↑3) = 8
98oveq1i 7441 . . . . . 6 ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10 5cn 12354 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
11 5p3e8 12423 . . . . . . . 8 (5 + 3) = 8
1211eqcomi 2746 . . . . . . 7 8 = (5 + 3)
1310, 3, 12mvrraddi 11525 . . . . . 6 (8 − 3) = 5
149, 13eqtri 2765 . . . . 5 ((2↑3) − 3) = 5
157, 14eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16 0nn0 12541 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1716a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18 5nn0 12546 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1918a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
201, 15, 17, 19fvmptd3 7039 . . 3 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22 ax-1cn 11213 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
23 3p1e4 12411 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
243, 22, 23addcomli 11453 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
2521, 24eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
2625oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
2726oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28 2exp4 17122 . . . . . . 7 (2↑4) = 16
2928oveq1i 7441 . . . . . 6 ((2↑4) − 3) = (16 − 3)
30 1nn0 12542 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
31 3nn0 12544 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
3230, 31deccl 12748 . . . . . . . 8 13 ∈ ℕ0
3332nn0cni 12538 . . . . . . 7 13 ∈ ℂ
34 eqid 2737 . . . . . . . . 9 13 = 13
35 3p3e6 12418 . . . . . . . . 9 (3 + 3) = 6
3630, 31, 31, 34, 35decaddi 12793 . . . . . . . 8 (13 + 3) = 16
3736eqcomi 2746 . . . . . . 7 16 = (13 + 3)
3833, 3, 37mvrraddi 11525 . . . . . 6 (16 − 3) = 13
3929, 38eqtri 2765 . . . . 5 ((2↑4) − 3) = 13
4027, 39eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 13)
4130a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
4232a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 13 ∈ ℕ0)
431, 40, 41, 42fvmptd3 7039 . . 3 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = 13)
44 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45 2cn 12341 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
46 3p2e5 12417 . . . . . . . . 9 (3 + 2) = 5
473, 45, 46addcomli 11453 . . . . . . . 8 (2 + 3) = 5
4844, 47eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
4948oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
5049oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51 2exp5 17123 . . . . . . 7 (2↑5) = 32
5251oveq1i 7441 . . . . . 6 ((2↑5) − 3) = (32 − 3)
53 2nn0 12543 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
54 9nn0 12550 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ0
5553, 54deccl 12748 . . . . . . . 8 29 ∈ ℕ0
5655nn0cni 12538 . . . . . . 7 29 ∈ ℂ
57 eqid 2737 . . . . . . . . 9 29 = 29
58 2p1e3 12408 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
59 9p3e12 12821 . . . . . . . . 9 (9 + 3) = 12
6053, 54, 31, 57, 58, 53, 59decaddci 12794 . . . . . . . 8 (29 + 3) = 32
6160eqcomi 2746 . . . . . . 7 32 = (29 + 3)
6256, 3, 61mvrraddi 11525 . . . . . 6 (32 − 3) = 29
6352, 62eqtri 2765 . . . . 5 ((2↑5) − 3) = 29
6450, 63eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 29)
6553a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
6655a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 29 ∈ ℕ0)
671, 64, 65, 66fvmptd3 7039 . . 3 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = 29)
6820, 43, 67oteq123d 4888 . 2 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, 13, 29⟩)
691, 68ax-mp 5 1 ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, 13, 29⟩
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  cotp 4634  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cmin 11492  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  8c8 12327  9c9 12328  0cn0 12526  cdc 12733  cexp 14102  Ackcack 48579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103  df-itco 48580  df-ack 48581
This theorem is referenced by:  ackval40  48614
  Copyright terms: Public domain W3C validator