Theorem ackval3012 49773

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 49764	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12417	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11491	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14336	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7428	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12424	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12492	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2770	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11567	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12614	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12619	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 7015	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11251	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12480	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11495	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17255	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7428	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12615	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12617	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12822	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12611	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12487	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12872	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2770	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11567	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 7015	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12411	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12486	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11495	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17256	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7428	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12616	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12623	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12822	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12611	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12477	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12900	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12873	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2770	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11567	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 7015	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4848	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cotp 4592   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   − cmin 11534  2c2 12390  3c3 12391  4c4 12392  5c5 12393  6c6 12394  8c8 12396  9c9 12397  ℕ₀cn0 12599  ;cdc 12807  ↑cexp 14197  Ackcack 49739

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-seq 14138  df-exp 14198  df-itco 49740  df-ack 49741

This theorem is used by:  ackval40  49774