Theorem ackval3012 45926

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 45917	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 11984	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addid2i 11093	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 13845	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7265	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 11991	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12060	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2747	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11168	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12178	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12183	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 6880	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 10860	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12048	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11097	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 16714	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7265	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12179	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12181	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12381	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12175	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12055	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12426	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2747	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11168	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 6880	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 11978	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12054	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11097	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 16715	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7265	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12180	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12187	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12381	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12175	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12045	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12454	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12427	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2747	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11168	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 6880	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4816	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ⟨cotp 4566   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   − cmin 11135  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  5c5 11961  6c6 11962  8c8 11964  9c9 11965  ℕ₀cn0 12163  ;cdc 12366  ↑cexp 13710  Ackcack 45892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711  df-itco 45893  df-ack 45894

This theorem is referenced by:  ackval40  45927