Theorem ackval3012 48697

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 48688	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12228	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11323	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14126	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7363	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12235	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12299	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11399	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12418	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12423	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 6957	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11086	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12287	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11327	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17015	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7363	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12419	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12421	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12625	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12415	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12670	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11399	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 6957	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12222	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11327	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17016	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7363	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12420	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12427	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12625	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12415	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12284	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12698	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12671	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11399	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 6957	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4842	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cotp 4587   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   − cmin 11366  2c2 12202  3c3 12203  4c4 12204  5c5 12205  6c6 12206  8c8 12208  9c9 12209  ℕ₀cn0 12403  ;cdc 12610  ↑cexp 13987  Ackcack 48663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-seq 13928  df-exp 13988  df-itco 48664  df-ack 48665

This theorem is referenced by:  ackval40  48698