Theorem ackval3012 47876

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 47867	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12321	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11430	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14193	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7425	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12328	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12397	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2734	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11505	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12515	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12520	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 7022	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11194	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12385	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11434	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17051	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7425	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12516	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12518	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12720	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12512	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12392	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12765	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2734	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11505	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 7022	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12315	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12391	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11434	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17052	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7425	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12517	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12524	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12720	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12512	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12382	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12793	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12766	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2734	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11505	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 7022	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4884	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ⟨cotp 4632   ↦ cmpt 5226  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   − cmin 11472  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  5c5 12298  6c6 12299  8c8 12301  9c9 12302  ℕ₀cn0 12500  ;cdc 12705  ↑cexp 14056  Ackcack 47842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-seq 13997  df-exp 14057  df-itco 47843  df-ack 47844

This theorem is referenced by:  ackval40  47877