Theorem ackval3012 49352

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 49343	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12318	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11394	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14232	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7418	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12325	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12393	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2778	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11470	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2820	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12515	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12520	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 7011	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12381	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11398	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17140	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7418	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12516	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12518	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12722	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12512	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12388	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12772	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2778	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11470	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2820	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 7011	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12312	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12387	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11398	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17141	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7418	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12517	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12524	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12722	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12512	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12378	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12800	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12773	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2778	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11470	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2820	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 7011	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4854	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ⟨cotp 4599   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   − cmin 11437  2c2 12291  3c3 12292  4c4 12293  5c5 12294  6c6 12295  8c8 12297  9c9 12298  ℕ₀cn0 12500  ;cdc 12707  ↑cexp 14093  Ackcack 49318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-seq 14034  df-exp 14094  df-itco 49319  df-ack 49320

This theorem is referenced by:  ackval40  49353