Theorem ackval3012 50135

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 50126	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12464	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11537	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7467	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14383	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7461	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12471	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12539	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11613	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12661	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12666	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 7048	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11297	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12527	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11541	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7467	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17306	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7461	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12662	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12664	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12869	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12658	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12534	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12919	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11613	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 7048	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12458	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12533	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11541	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7467	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17307	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7461	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12663	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12670	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12869	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12658	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12524	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12947	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12920	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11613	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 7048	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4871	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟨cotp 4863   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   − cmin 11580  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  5c5 12440  6c6 12441  8c8 12443  9c9 12444  ℕ₀cn0 12646  ;cdc 12854  ↑cexp 14244  Ackcack 50101

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-ot 4864  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245  df-itco 50102  df-ack 50103

This theorem is used by:  ackval40  50136