Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval3012 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval3012 46852
Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval3012 ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, 13, 29⟩

Proof of Theorem ackval3012
StepHypRef Expression
1 ackval3 46843 . 2 (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3 3cn 12241 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
43addid2i 11350 . . . . . . . 8 (0 + 3) = 3
52, 4eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
65oveq2d 7378 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
76oveq1d 7377 . . . . 5 (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8 cu2 14111 . . . . . . 7 (2↑3) = 8
98oveq1i 7372 . . . . . 6 ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10 5cn 12248 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
11 5p3e8 12317 . . . . . . . 8 (5 + 3) = 8
1211eqcomi 2746 . . . . . . 7 8 = (5 + 3)
1310, 3, 12mvrraddi 11425 . . . . . 6 (8 − 3) = 5
149, 13eqtri 2765 . . . . 5 ((2↑3) − 3) = 5
157, 14eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16 0nn0 12435 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1716a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18 5nn0 12440 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1918a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
201, 15, 17, 19fvmptd3 6976 . . 3 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22 ax-1cn 11116 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
23 3p1e4 12305 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
243, 22, 23addcomli 11354 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
2521, 24eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
2625oveq2d 7378 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
2726oveq1d 7377 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28 2exp4 16964 . . . . . . 7 (2↑4) = 16
2928oveq1i 7372 . . . . . 6 ((2↑4) − 3) = (16 − 3)
30 1nn0 12436 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
31 3nn0 12438 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
3230, 31deccl 12640 . . . . . . . 8 13 ∈ ℕ0
3332nn0cni 12432 . . . . . . 7 13 ∈ ℂ
34 eqid 2737 . . . . . . . . 9 13 = 13
35 3p3e6 12312 . . . . . . . . 9 (3 + 3) = 6
3630, 31, 31, 34, 35decaddi 12685 . . . . . . . 8 (13 + 3) = 16
3736eqcomi 2746 . . . . . . 7 16 = (13 + 3)
3833, 3, 37mvrraddi 11425 . . . . . 6 (16 − 3) = 13
3929, 38eqtri 2765 . . . . 5 ((2↑4) − 3) = 13
4027, 39eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 13)
4130a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
4232a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 13 ∈ ℕ0)
431, 40, 41, 42fvmptd3 6976 . . 3 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = 13)
44 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45 2cn 12235 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
46 3p2e5 12311 . . . . . . . . 9 (3 + 2) = 5
473, 45, 46addcomli 11354 . . . . . . . 8 (2 + 3) = 5
4844, 47eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
4948oveq2d 7378 . . . . . 6 (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
5049oveq1d 7377 . . . . 5 (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51 2exp5 16965 . . . . . . 7 (2↑5) = 32
5251oveq1i 7372 . . . . . 6 ((2↑5) − 3) = (32 − 3)
53 2nn0 12437 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
54 9nn0 12444 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ0
5553, 54deccl 12640 . . . . . . . 8 29 ∈ ℕ0
5655nn0cni 12432 . . . . . . 7 29 ∈ ℂ
57 eqid 2737 . . . . . . . . 9 29 = 29
58 2p1e3 12302 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
59 9p3e12 12713 . . . . . . . . 9 (9 + 3) = 12
6053, 54, 31, 57, 58, 53, 59decaddci 12686 . . . . . . . 8 (29 + 3) = 32
6160eqcomi 2746 . . . . . . 7 32 = (29 + 3)
6256, 3, 61mvrraddi 11425 . . . . . 6 (32 − 3) = 29
6352, 62eqtri 2765 . . . . 5 ((2↑5) − 3) = 29
6450, 63eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 29)
6553a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
6655a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 29 ∈ ℕ0)
671, 64, 65, 66fvmptd3 6976 . . 3 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = 29)
6820, 43, 67oteq123d 4850 . 2 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, 13, 29⟩)
691, 68ax-mp 5 1 ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, 13, 29⟩
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  cotp 4599  cmpt 5193  cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  cmin 11392  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  8c8 12221  9c9 12222  0cn0 12420  cdc 12625  cexp 13974  Ackcack 46818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-seq 13914  df-exp 13975  df-itco 46819  df-ack 46820
This theorem is referenced by:  ackval40  46853
  Copyright terms: Public domain W3C validator