Theorem ackval3012 48426

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 48417	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12374	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11478	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14249	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7458	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12381	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12450	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2749	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11553	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2796	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12568	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12573	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 7052	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12438	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11482	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17132	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7458	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12569	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12571	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12773	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12565	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12445	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12818	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2749	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11553	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2796	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 7052	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12368	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12444	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11482	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17133	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7458	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12570	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12577	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12773	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12565	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12435	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12846	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12819	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2749	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11553	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2796	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 7052	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4912	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ⟨cotp 4656   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   − cmin 11520  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  5c5 12351  6c6 12352  8c8 12354  9c9 12355  ℕ₀cn0 12553  ;cdc 12758  ↑cexp 14112  Ackcack 48392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113  df-itco 48393  df-ack 48394

This theorem is referenced by:  ackval40  48427