Theorem ackval3012 49472

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 49463	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12317	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11393	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14232	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7420	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12324	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12392	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11469	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12514	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12519	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 7013	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12380	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11397	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17139	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7420	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12515	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12517	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12721	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12511	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12387	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12771	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11469	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 7013	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12311	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12386	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11397	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17140	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7420	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12516	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12523	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12721	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12511	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12377	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12799	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12772	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11469	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 7013	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4853	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ⟨cotp 4597   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   − cmin 11436  2c2 12290  3c3 12291  4c4 12292  5c5 12293  6c6 12294  8c8 12296  9c9 12297  ℕ₀cn0 12499  ;cdc 12706  ↑cexp 14093  Ackcack 49438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-seq 14034  df-exp 14094  df-itco 49439  df-ack 49440

This theorem is referenced by:  ackval40  49473