Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval3012 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval3012 45147
 Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval3012 ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, 13, 29⟩

Proof of Theorem ackval3012
StepHypRef Expression
1 ackval3 45138 . 2 (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2 oveq1 7143 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3 3cn 11709 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
43addid2i 10820 . . . . . . . 8 (0 + 3) = 3
52, 4eqtrdi 2849 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
65oveq2d 7152 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
76oveq1d 7151 . . . . 5 (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8 cu2 13562 . . . . . . 7 (2↑3) = 8
98oveq1i 7146 . . . . . 6 ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10 5cn 11716 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
11 5p3e8 11785 . . . . . . . 8 (5 + 3) = 8
1211eqcomi 2807 . . . . . . 7 8 = (5 + 3)
1310, 3, 12mvrraddi 10895 . . . . . 6 (8 − 3) = 5
149, 13eqtri 2821 . . . . 5 ((2↑3) − 3) = 5
157, 14eqtrdi 2849 . . . 4 (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16 0nn0 11903 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1716a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18 5nn0 11908 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1918a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
201, 15, 17, 19fvmptd3 6769 . . 3 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21 oveq1 7143 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22 ax-1cn 10587 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
23 3p1e4 11773 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
243, 22, 23addcomli 10824 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
2521, 24eqtrdi 2849 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
2625oveq2d 7152 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
2726oveq1d 7151 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28 2exp4 16414 . . . . . . 7 (2↑4) = 16
2928oveq1i 7146 . . . . . 6 ((2↑4) − 3) = (16 − 3)
30 1nn0 11904 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
31 3nn0 11906 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
3230, 31deccl 12104 . . . . . . . 8 13 ∈ ℕ0
3332nn0cni 11900 . . . . . . 7 13 ∈ ℂ
34 eqid 2798 . . . . . . . . 9 13 = 13
35 3p3e6 11780 . . . . . . . . 9 (3 + 3) = 6
3630, 31, 31, 34, 35decaddi 12149 . . . . . . . 8 (13 + 3) = 16
3736eqcomi 2807 . . . . . . 7 16 = (13 + 3)
3833, 3, 37mvrraddi 10895 . . . . . 6 (16 − 3) = 13
3929, 38eqtri 2821 . . . . 5 ((2↑4) − 3) = 13
4027, 39eqtrdi 2849 . . . 4 (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 13)
4130a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
4232a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 13 ∈ ℕ0)
431, 40, 41, 42fvmptd3 6769 . . 3 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = 13)
44 oveq1 7143 . . . . . . . 8 (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45 2cn 11703 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
46 3p2e5 11779 . . . . . . . . 9 (3 + 2) = 5
473, 45, 46addcomli 10824 . . . . . . . 8 (2 + 3) = 5
4844, 47eqtrdi 2849 . . . . . . 7 (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
4948oveq2d 7152 . . . . . 6 (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
5049oveq1d 7151 . . . . 5 (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51 2exp5 16415 . . . . . . 7 (2↑5) = 32
5251oveq1i 7146 . . . . . 6 ((2↑5) − 3) = (32 − 3)
53 2nn0 11905 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
54 9nn0 11912 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ0
5553, 54deccl 12104 . . . . . . . 8 29 ∈ ℕ0
5655nn0cni 11900 . . . . . . 7 29 ∈ ℂ
57 eqid 2798 . . . . . . . . 9 29 = 29
58 2p1e3 11770 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
59 9p3e12 12177 . . . . . . . . 9 (9 + 3) = 12
6053, 54, 31, 57, 58, 53, 59decaddci 12150 . . . . . . . 8 (29 + 3) = 32
6160eqcomi 2807 . . . . . . 7 32 = (29 + 3)
6256, 3, 61mvrraddi 10895 . . . . . 6 (32 − 3) = 29
6352, 62eqtri 2821 . . . . 5 ((2↑5) − 3) = 29
6450, 63eqtrdi 2849 . . . 4 (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 29)
6553a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
6655a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 29 ∈ ℕ0)
671, 64, 65, 66fvmptd3 6769 . . 3 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = 29)
6820, 43, 67oteq123d 4781 . 2 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, 13, 29⟩)
691, 68ax-mp 5 1 ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, 13, 29⟩
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ⟨cotp 4533   ↦ cmpt 5111  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   − cmin 10862  2c2 11683  3c3 11684  4c4 11685  5c5 11686  6c6 11687  8c8 11689  9c9 11690  ℕ0cn0 11888  ;cdc 12089  ↑cexp 13428  Ackcack 45113 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-seq 13368  df-exp 13429  df-itco 45114  df-ack 45115 This theorem is referenced by:  ackval40  45148
 Copyright terms: Public domain W3C validator