Theorem ackval3012 45711

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 45702	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 11911	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addid2i 11020	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7228	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 13769	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7223	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 11918	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 11987	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11095	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2794	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12105	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12110	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 6841	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 10787	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 11975	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11024	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7228	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 16638	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7223	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12106	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12108	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12308	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12102	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 11982	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12353	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11095	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2794	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 6841	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 11905	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 11981	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11024	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7228	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 16639	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7223	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12107	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12114	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12308	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12102	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 11972	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12381	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12354	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11095	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2794	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 6841	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4799	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ⟨cotp 4549   ↦ cmpt 5135  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   − cmin 11062  2c2 11885  3c3 11886  4c4 11887  5c5 11888  6c6 11889  8c8 11891  9c9 11892  ℕ₀cn0 12090  ;cdc 12293  ↑cexp 13635  Ackcack 45677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-ot 4550  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-seq 13575  df-exp 13636  df-itco 45678  df-ack 45679

This theorem is referenced by:  ackval40  45712