Theorem ackval3012 48685

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 48676	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12274	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11369	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14172	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7400	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12281	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12345	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2739	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11445	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12464	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12469	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 6994	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11133	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12333	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11373	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17062	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7400	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12465	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12467	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12671	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12461	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12340	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12716	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2739	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11445	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 6994	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12268	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11373	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17063	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7400	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12466	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12473	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12671	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12461	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12330	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12744	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12717	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2739	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11445	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 6994	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4855	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cotp 4600   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   − cmin 11412  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  5c5 12251  6c6 12252  8c8 12254  9c9 12255  ℕ₀cn0 12449  ;cdc 12656  ↑cexp 14033  Ackcack 48651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-seq 13974  df-exp 14034  df-itco 48652  df-ack 48653

This theorem is referenced by:  ackval40  48686