Theorem ackval3012 48677

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 48668	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12209	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11304	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14107	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7359	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12216	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12280	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11380	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12399	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12404	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 6953	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11067	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12268	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11308	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 16996	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7359	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12400	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12402	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12606	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12396	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12275	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12651	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11380	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 6953	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12203	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12274	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11308	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 16997	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7359	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12401	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12606	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12396	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12265	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12679	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12652	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11380	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 6953	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4839	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cotp 4585   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   − cmin 11347  2c2 12183  3c3 12184  4c4 12185  5c5 12186  6c6 12187  8c8 12189  9c9 12190  ℕ₀cn0 12384  ;cdc 12591  ↑cexp 13968  Ackcack 48643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-seq 13909  df-exp 13969  df-itco 48644  df-ack 48645

This theorem is referenced by:  ackval40  48678