Theorem ackval3012 49052

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 49043	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12238	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11333	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14135	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7378	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12245	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12309	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11409	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12428	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12433	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 6973	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11096	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12297	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11337	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17024	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7378	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12429	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12431	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12634	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12425	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12304	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12679	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11409	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 6973	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12232	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12303	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11337	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17025	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7378	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12430	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12437	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12634	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12425	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12707	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12680	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11409	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 6973	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4846	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cotp 4590   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11376  2c2 12212  3c3 12213  4c4 12214  5c5 12215  6c6 12216  8c8 12218  9c9 12219  ℕ₀cn0 12413  ;cdc 12619  ↑cexp 13996  Ackcack 49018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-seq 13937  df-exp 13997  df-itco 49019  df-ack 49020

This theorem is referenced by:  ackval40  49053