Theorem ackval3012 48654

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 48645	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12243	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11338	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14141	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7379	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12250	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12314	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11414	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12433	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12438	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 6973	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11102	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12302	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17031	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7379	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12434	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12436	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12640	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12430	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12309	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12685	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11414	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 6973	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12237	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12308	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17032	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7379	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12435	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12442	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12640	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12430	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12299	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12713	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12686	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11414	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 6973	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4848	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cotp 4593   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   − cmin 11381  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  5c5 12220  6c6 12221  8c8 12223  9c9 12224  ℕ₀cn0 12418  ;cdc 12625  ↑cexp 14002  Ackcack 48620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-seq 13943  df-exp 14003  df-itco 48621  df-ack 48622

This theorem is referenced by:  ackval40  48655