Theorem ackval3012 48542

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 48533	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12345	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11447	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14236	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12352	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12421	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2744	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11523	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2791	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12539	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12544	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 7039	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12409	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11451	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17119	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12542	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12746	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12536	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12416	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12791	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2744	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11523	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2791	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 7039	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12415	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11451	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17120	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12548	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12746	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12536	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12406	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12819	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12792	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2744	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11523	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2791	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 7039	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4893	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ⟨cotp 4639   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   − cmin 11490  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  8c8 12325  9c9 12326  ℕ₀cn0 12524  ;cdc 12731  ↑cexp 14099  Ackcack 48508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100  df-itco 48509  df-ack 48510

This theorem is referenced by:  ackval40  48543