Theorem ackval3012 48114

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 48105	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12337	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11441	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14210	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7424	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12344	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12413	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2735	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11516	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12531	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12536	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 7022	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11205	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12401	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11445	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17080	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7424	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12532	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12534	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12736	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12528	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12781	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2735	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11516	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 7022	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12331	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12407	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11445	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17081	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7424	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12533	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12736	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12528	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12398	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12809	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12782	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2735	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11516	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 7022	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4887	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ⟨cotp 4632   ↦ cmpt 5227  ‘cfv 6544  (class class class)co 7414  0cc0 11147  1c1 11148   + caddc 11150   − cmin 11483  2c2 12311  3c3 12312  4c4 12313  5c5 12314  6c6 12315  8c8 12317  9c9 12318  ℕ₀cn0 12516  ;cdc 12721  ↑cexp 14073  Ackcack 48080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-inf2 9675  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-seq 14014  df-exp 14074  df-itco 48081  df-ack 48082

This theorem is referenced by:  ackval40  48115