Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackval3012 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackval3012 45711
Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackval3012 ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, 13, 29⟩

Proof of Theorem ackval3012
StepHypRef Expression
1 ackval3 45702 . 2 (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2 oveq1 7220 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3 3cn 11911 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
43addid2i 11020 . . . . . . . 8 (0 + 3) = 3
52, 4eqtrdi 2794 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
65oveq2d 7229 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
76oveq1d 7228 . . . . 5 (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8 cu2 13769 . . . . . . 7 (2↑3) = 8
98oveq1i 7223 . . . . . 6 ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10 5cn 11918 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
11 5p3e8 11987 . . . . . . . 8 (5 + 3) = 8
1211eqcomi 2746 . . . . . . 7 8 = (5 + 3)
1310, 3, 12mvrraddi 11095 . . . . . 6 (8 − 3) = 5
149, 13eqtri 2765 . . . . 5 ((2↑3) − 3) = 5
157, 14eqtrdi 2794 . . . 4 (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16 0nn0 12105 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1716a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18 5nn0 12110 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
1918a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
201, 15, 17, 19fvmptd3 6841 . . 3 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21 oveq1 7220 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22 ax-1cn 10787 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
23 3p1e4 11975 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
243, 22, 23addcomli 11024 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
2521, 24eqtrdi 2794 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
2625oveq2d 7229 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
2726oveq1d 7228 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28 2exp4 16638 . . . . . . 7 (2↑4) = 16
2928oveq1i 7223 . . . . . 6 ((2↑4) − 3) = (16 − 3)
30 1nn0 12106 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
31 3nn0 12108 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
3230, 31deccl 12308 . . . . . . . 8 13 ∈ ℕ0
3332nn0cni 12102 . . . . . . 7 13 ∈ ℂ
34 eqid 2737 . . . . . . . . 9 13 = 13
35 3p3e6 11982 . . . . . . . . 9 (3 + 3) = 6
3630, 31, 31, 34, 35decaddi 12353 . . . . . . . 8 (13 + 3) = 16
3736eqcomi 2746 . . . . . . 7 16 = (13 + 3)
3833, 3, 37mvrraddi 11095 . . . . . 6 (16 − 3) = 13
3929, 38eqtri 2765 . . . . 5 ((2↑4) − 3) = 13
4027, 39eqtrdi 2794 . . . 4 (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 13)
4130a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
4232a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 13 ∈ ℕ0)
431, 40, 41, 42fvmptd3 6841 . . 3 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = 13)
44 oveq1 7220 . . . . . . . 8 (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45 2cn 11905 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
46 3p2e5 11981 . . . . . . . . 9 (3 + 2) = 5
473, 45, 46addcomli 11024 . . . . . . . 8 (2 + 3) = 5
4844, 47eqtrdi 2794 . . . . . . 7 (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
4948oveq2d 7229 . . . . . 6 (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
5049oveq1d 7228 . . . . 5 (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51 2exp5 16639 . . . . . . 7 (2↑5) = 32
5251oveq1i 7223 . . . . . 6 ((2↑5) − 3) = (32 − 3)
53 2nn0 12107 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
54 9nn0 12114 . . . . . . . . 9 9 ∈ ℕ0
5553, 54deccl 12308 . . . . . . . 8 29 ∈ ℕ0
5655nn0cni 12102 . . . . . . 7 29 ∈ ℂ
57 eqid 2737 . . . . . . . . 9 29 = 29
58 2p1e3 11972 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
59 9p3e12 12381 . . . . . . . . 9 (9 + 3) = 12
6053, 54, 31, 57, 58, 53, 59decaddci 12354 . . . . . . . 8 (29 + 3) = 32
6160eqcomi 2746 . . . . . . 7 32 = (29 + 3)
6256, 3, 61mvrraddi 11095 . . . . . 6 (32 − 3) = 29
6352, 62eqtri 2765 . . . . 5 ((2↑5) − 3) = 29
6450, 63eqtrdi 2794 . . . 4 (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 29)
6553a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
6655a1i 11 . . . 4 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 29 ∈ ℕ0)
671, 64, 65, 66fvmptd3 6841 . . 3 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = 29)
6820, 43, 67oteq123d 4799 . 2 ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, 13, 29⟩)
691, 68ax-mp 5 1 ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, 13, 29⟩
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1543  wcel 2110  cotp 4549  cmpt 5135  cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732  cmin 11062  2c2 11885  3c3 11886  4c4 11887  5c5 11888  6c6 11889  8c8 11891  9c9 11892  0cn0 12090  cdc 12293  cexp 13635  Ackcack 45677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-ot 4550  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-seq 13575  df-exp 13636  df-itco 45678  df-ack 45679
This theorem is referenced by:  ackval40  45712
  Copyright terms: Public domain W3C validator