Theorem ackval3012 46038

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 46029	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12054	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addid2i 11163	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 13917	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7285	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12061	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12130	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2747	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11238	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2794	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12248	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12253	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 6898	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 10929	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12118	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11167	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 16786	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7285	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12249	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12251	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12452	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12245	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12125	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12497	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2747	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11238	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2794	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 6898	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12048	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12124	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11167	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 16787	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7285	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12257	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12452	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12245	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12115	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12525	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12498	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2747	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11238	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2794	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 6898	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4819	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ⟨cotp 4569   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  6c6 12032  8c8 12034  9c9 12035  ℕ₀cn0 12233  ;cdc 12437  ↑cexp 13782  Ackcack 46004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-seq 13722  df-exp 13783  df-itco 46005  df-ack 46006

This theorem is referenced by:  ackval40  46039