Theorem ackval3012 49183

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 49174	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12253	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11325	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14153	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7366	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12260	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12324	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2748	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11401	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12443	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12448	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 6959	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11087	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12312	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11329	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17046	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7366	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12444	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12446	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12650	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12440	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12319	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12695	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2748	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11401	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 6959	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12318	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11329	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17047	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7366	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12445	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12452	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12650	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12440	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12309	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12723	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12696	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2748	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11401	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 6959	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4819	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ⟨cotp 4563   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   − cmin 11368  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  5c5 12230  6c6 12231  8c8 12233  9c9 12234  ℕ₀cn0 12428  ;cdc 12635  ↑cexp 14014  Ackcack 49149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-ot 4564  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015  df-itco 49150  df-ack 49151

This theorem is referenced by:  ackval40  49184