Theorem ackval3012 48938

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 48929	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12226	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11321	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14123	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7368	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12233	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12297	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2745	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11397	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12416	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12421	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 6964	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11084	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12285	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11325	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17012	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7368	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12417	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12419	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12622	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12413	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12292	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12667	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2745	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11397	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 6964	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12220	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12291	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11325	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17013	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7368	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12418	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12622	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12413	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12282	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12695	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12668	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2745	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11397	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 6964	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4844	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cotp 4588   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   − cmin 11364  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  5c5 12203  6c6 12204  8c8 12206  9c9 12207  ℕ₀cn0 12401  ;cdc 12607  ↑cexp 13984  Ackcack 48904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985  df-itco 48905  df-ack 48906

This theorem is referenced by:  ackval40  48939