Theorem ackval3012 46898

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 46889	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12243	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11352	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14114	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7372	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12250	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12319	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2740	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11427	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12437	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12442	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 6976	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11118	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12307	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11356	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 16968	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7372	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12438	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12440	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12642	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12434	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12314	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12687	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2740	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11427	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 6976	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12237	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12313	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11356	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 16969	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7372	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12439	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12446	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12642	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12434	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12304	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12715	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12688	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2740	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11427	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 6976	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4850	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ⟨cotp 4599   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063   − cmin 11394  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  5c5 12220  6c6 12221  8c8 12223  9c9 12224  ℕ₀cn0 12422  ;cdc 12627  ↑cexp 13977  Ackcack 46864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-seq 13917  df-exp 13978  df-itco 46865  df-ack 46866

This theorem is referenced by:  ackval40  46899