Theorem ackval3012 48613

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 48604	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12347	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11449	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14239	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12354	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12423	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11525	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12541	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12546	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 7039	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12411	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11453	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17122	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12542	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12544	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12748	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12538	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12418	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12793	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11525	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 7039	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12341	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12417	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11453	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17123	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12543	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12550	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12748	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12538	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12821	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12794	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11525	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 7039	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4888	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟨cotp 4634   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   − cmin 11492  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  8c8 12327  9c9 12328  ℕ₀cn0 12526  ;cdc 12733  ↑cexp 14102  Ackcack 48579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103  df-itco 48580  df-ack 48581

This theorem is referenced by:  ackval40  48614