Theorem ackval3012 47456

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 47447	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12295	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11404	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14166	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7421	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12302	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12371	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2741	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11479	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12489	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12494	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 7021	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11170	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12359	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11408	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17020	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7421	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12490	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12492	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12694	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12486	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12366	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12739	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2741	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11479	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 7021	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12289	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12365	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11408	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17021	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7421	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12491	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12694	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12486	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12767	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12740	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2741	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11479	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 7021	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4888	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ⟨cotp 4636   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   − cmin 11446  2c2 12269  3c3 12270  4c4 12271  5c5 12272  6c6 12273  8c8 12275  9c9 12276  ℕ₀cn0 12474  ;cdc 12679  ↑cexp 14029  Ackcack 47422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-seq 13969  df-exp 14030  df-itco 47423  df-ack 47424

This theorem is referenced by:  ackval40  47457