Theorem ackval3012 47378

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 47369	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11402	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14164	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7419	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12300	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12369	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2742	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11477	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2789	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12487	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12492	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 7022	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11168	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12357	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11406	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17018	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7419	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12488	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12490	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12692	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12484	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12364	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12737	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2742	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11477	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2789	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 7022	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12287	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12363	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11406	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17019	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7419	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12489	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12496	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12692	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12484	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12354	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12765	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12738	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2742	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11477	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2789	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 7022	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4889	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ⟨cotp 4637   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   − cmin 11444  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  6c6 12271  8c8 12273  9c9 12274  ℕ₀cn0 12472  ;cdc 12677  ↑cexp 14027  Ackcack 47344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028  df-itco 47345  df-ack 47346

This theorem is referenced by:  ackval40  47379