Theorem ackval3012 49252

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 49243	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12285	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11357	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7396	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14199	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7391	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12292	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12360	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2761	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11433	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2775	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2803	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12482	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12487	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 6984	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11117	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12348	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11361	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7396	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17092	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7391	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12483	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12485	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12689	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12479	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12355	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12739	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2761	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11433	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2775	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2803	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 6984	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12354	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11361	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7396	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17093	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7391	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12484	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12491	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12689	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12479	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12345	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12767	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12740	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2761	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11433	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2775	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2803	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 6984	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4836	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ⟨cotp 4580   ↦ cmpt 5171  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   − cmin 11400  2c2 12258  3c3 12259  4c4 12260  5c5 12261  6c6 12262  8c8 12264  9c9 12265  ℕ₀cn0 12467  ;cdc 12674  ↑cexp 14060  Ackcack 49218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-inf2 9582  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-ot 4581  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-seq 14001  df-exp 14061  df-itco 49219  df-ack 49220

This theorem is referenced by:  ackval40  49253