Theorem ackval3012 45456

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 45447	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 11740	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addid2i 10851	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7159	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7158	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 13598	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7153	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 11747	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 11816	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2768	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 10926	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2782	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2810	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 11934	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 11939	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 6775	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 10618	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 11804	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 10855	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7159	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7158	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 16461	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7153	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 11935	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 11937	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12137	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 11931	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 11811	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12182	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2768	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 10926	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2782	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2810	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 6775	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 11734	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 11810	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 10855	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7159	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7158	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 16462	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7153	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 11936	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 11943	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12137	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 11931	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 11801	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12210	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12183	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2768	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 10926	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2782	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2810	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 6775	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4771	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ⟨cotp 4523   ↦ cmpt 5105  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  0cc0 10560  1c1 10561   + caddc 10563   − cmin 10893  2c2 11714  3c3 11715  4c4 11716  5c5 11717  6c6 11718  8c8 11720  9c9 11721  ℕ₀cn0 11919  ;cdc 12122  ↑cexp 13464  Ackcack 45422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-inf2 9122  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-ot 4524  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-7 11727  df-8 11728  df-9 11729  df-n0 11920  df-z 12006  df-dec 12123  df-uz 12268  df-seq 13404  df-exp 13465  df-itco 45423  df-ack 45424

This theorem is referenced by:  ackval40  45457