Theorem ackval3012 49911

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 49902	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12429	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11503	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14348	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7432	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12436	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12504	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2769	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11579	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12626	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12631	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 7020	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12492	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11507	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17269	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7432	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12627	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12629	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12834	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12623	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12499	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12884	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2769	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11579	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 7020	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12423	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11507	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17270	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7432	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12628	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12635	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12834	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12623	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12489	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12912	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12885	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2769	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11579	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 7020	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4865	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cotp 4857   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  0cc0 11205  1c1 11206   + caddc 11208   − cmin 11546  2c2 12402  3c3 12403  4c4 12404  5c5 12405  6c6 12406  8c8 12408  9c9 12409  ℕ₀cn0 12611  ;cdc 12819  ↑cexp 14209  Ackcack 49877

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-seq 14150  df-exp 14210  df-itco 49878  df-ack 49879

This theorem is used by:  ackval40  49912