Theorem ackval3012 49529

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 49520	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12337	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11413	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14254	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7429	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12344	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12412	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2774	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11489	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2816	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12534	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12539	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 7017	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12400	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11417	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17166	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7429	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12535	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12537	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12742	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12531	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12407	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12792	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2774	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11489	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2816	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 7017	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12331	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12406	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11417	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17167	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7429	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12536	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12543	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12742	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12531	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12397	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12820	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12793	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2774	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11489	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2816	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 7017	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4855	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cotp 4599   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   − cmin 11456  2c2 12310  3c3 12311  4c4 12312  5c5 12313  6c6 12314  8c8 12316  9c9 12317  ℕ₀cn0 12519  ;cdc 12727  ↑cexp 14115  Ackcack 49495

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-seq 14056  df-exp 14116  df-itco 49496  df-ack 49497

This theorem is used by:  ackval40  49530