Theorem ackval3012 49275

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 49266	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11365	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7406	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14207	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7401	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12300	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12368	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2770	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11441	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12490	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12495	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 6994	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11125	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11369	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7406	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17111	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7401	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12491	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12493	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12697	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12487	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12363	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12747	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2770	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11441	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 6994	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12287	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12362	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11369	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7406	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17112	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7401	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12492	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12499	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12697	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12487	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12353	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12775	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12748	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2770	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11441	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 6994	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4843	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ⟨cotp 4587   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   − cmin 11408  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  5c5 12269  6c6 12270  8c8 12272  9c9 12273  ℕ₀cn0 12475  ;cdc 12682  ↑cexp 14068  Ackcack 49241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-seq 14009  df-exp 14069  df-itco 49242  df-ack 49243

This theorem is referenced by:  ackval40  49276