Theorem ackval3012 48681

Description: The Ackermann function at (3,0), (3,1), (3,2). (Contributed by AV, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackval3012	⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Proof of Theorem ackval3012

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval3 48672	. 2 ⊢ (Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3))
2		oveq1 7394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = (0 + 3))
3		3cn 12267	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
4	3	addlidi 11362	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 3) = 3
5	2, 4	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 + 3) = 3)
6	5	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑3))
7	6	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑3) − 3))
8		cu2 14165	. . . . . . 7 ⊢ (2↑3) = 8
9	8	oveq1i 7397	. . . . . 6 ⊢ ((2↑3) − 3) = (8 − 3)
10		5cn 12274	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
11		5p3e8 12338	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 3) = 8
12	11	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (5 + 3)
13	10, 3, 12	mvrraddi 11438	. . . . . 6 ⊢ (8 − 3) = 5
14	9, 13	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((2↑3) − 3) = 5
15	7, 14	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = 5)
16		0nn0 12457	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 0 ∈ ℕ0)
18		5nn0 12462	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 5 ∈ ℕ0)
20	1, 15, 17, 19	fvmptd3 6991	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘0) = 5)
21		oveq1 7394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = (1 + 3))
22		ax-1cn 11126	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		3p1e4 12326	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
24	3, 22, 23	addcomli 11366	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 3) = 4
25	21, 24	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 + 3) = 4)
26	25	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑4))
27	26	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑4) − 3))
28		2exp4 17055	. . . . . . 7 ⊢ (2↑4) = ;16
29	28	oveq1i 7397	. . . . . 6 ⊢ ((2↑4) − 3) = (;16 − 3)
30		1nn0 12458	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31		3nn0 12460	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
32	30, 31	deccl 12664	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
33	32	nn0cni 12454	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
34		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ;13 = ;13
35		3p3e6 12333	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 3) = 6
36	30, 31, 31, 34, 35	decaddi 12709	. . . . . . . 8 ⊢ (;13 + 3) = ;16
37	36	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = (;13 + 3)
38	33, 3, 37	mvrraddi 11438	. . . . . 6 ⊢ (;16 − 3) = ;13
39	29, 38	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((2↑4) − 3) = ;13
40	27, 39	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;13)
41	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 1 ∈ ℕ0)
42	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;13 ∈ ℕ0)
43	1, 40, 41, 42	fvmptd3 6991	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘1) = ;13)
44		oveq1 7394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = (2 + 3))
45		2cn 12261	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		3p2e5 12332	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 2) = 5
47	3, 45, 46	addcomli 11366	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 3) = 5
48	44, 47	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 2 → (𝑛 + 3) = 5)
49	48	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 2 → (2↑(𝑛 + 3)) = (2↑5))
50	49	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ((2↑5) − 3))
51		2exp5 17056	. . . . . . 7 ⊢ (2↑5) = ;32
52	51	oveq1i 7397	. . . . . 6 ⊢ ((2↑5) − 3) = (;32 − 3)
53		2nn0 12459	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12466	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	53, 54	deccl 12664	. . . . . . . 8 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
56	55	nn0cni 12454	. . . . . . 7 ⊢ ;29 ∈ ℂ
57		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
58		2p1e3 12323	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
59		9p3e12 12737	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 3) = ;12
60	53, 54, 31, 57, 58, 53, 59	decaddci 12710	. . . . . . . 8 ⊢ (;29 + 3) = ;32
61	60	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;32 = (;29 + 3)
62	56, 3, 61	mvrraddi 11438	. . . . . 6 ⊢ (;32 − 3) = ;29
63	52, 62	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((2↑5) − 3) = ;29
64	50, 63	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 2 → ((2↑(𝑛 + 3)) − 3) = ;29)
65	53	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → 2 ∈ ℕ0)
66	55	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ;29 ∈ ℕ0)
67	1, 64, 65, 66	fvmptd3 6991	. . 3 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ((Ack‘3)‘2) = ;29)
68	20, 43, 67	oteq123d 4852	. 2 ⊢ ((Ack‘3) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑(𝑛 + 3)) − 3)) → ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩)
69	1, 68	ax-mp 5	1 ⊢ ⟨((Ack‘3)‘0), ((Ack‘3)‘1), ((Ack‘3)‘2)⟩ = ⟨5, ;13, ;29⟩

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cotp 4597   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   − cmin 11405  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  5c5 12244  6c6 12245  8c8 12247  9c9 12248  ℕ₀cn0 12442  ;cdc 12649  ↑cexp 14026  Ackcack 48647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-seq 13967  df-exp 14027  df-itco 48648  df-ack 48649

This theorem is referenced by:  ackval40  48682