MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eucalgcvga Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eucalgcvga 16520
Description: Once Euclid's Algorithm halts after 𝑁 steps, the second element of the state remains 0 . (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eucalgval.1 𝐸 = (π‘₯ ∈ β„•0, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, βŸ¨π‘¦, (π‘₯ mod 𝑦)⟩))
eucalg.2 𝑅 = seq0((𝐸 ∘ 1st ), (β„•0 Γ— {𝐴}))
eucalgcvga.3 𝑁 = (2nd β€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
eucalgcvga (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (2nd β€˜(π‘…β€˜πΎ)) = 0))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑁   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem eucalgcvga
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eucalgcvga.3 . . . . . . 7 𝑁 = (2nd β€˜π΄)
2 xp2nd 8001 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (2nd β€˜π΄) ∈ β„•0)
31, 2eqeltrid 2829 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4 eluznn0 12898 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
53, 4sylan 579 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
6 nn0uz 12861 . . . . . . 7 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
7 eucalg.2 . . . . . . 7 𝑅 = seq0((𝐸 ∘ 1st ), (β„•0 Γ— {𝐴}))
8 0zd 12567 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ 0 ∈ β„€)
9 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ 𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0))
10 eucalgval.1 . . . . . . . . 9 𝐸 = (π‘₯ ∈ β„•0, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, βŸ¨π‘¦, (π‘₯ mod 𝑦)⟩))
1110eucalgf 16517 . . . . . . . 8 𝐸:(β„•0 Γ— β„•0)⟢(β„•0 Γ— β„•0)
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ 𝐸:(β„•0 Γ— β„•0)⟢(β„•0 Γ— β„•0))
136, 7, 8, 9, 12algrf 16507 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ 𝑅:β„•0⟢(β„•0 Γ— β„•0))
1413ffvelcdmda 7076 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (π‘…β€˜πΎ) ∈ (β„•0 Γ— β„•0))
155, 14syldan 590 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘…β€˜πΎ) ∈ (β„•0 Γ— β„•0))
1615fvresd 6901 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(π‘…β€˜πΎ)) = (2nd β€˜(π‘…β€˜πΎ)))
17 simpl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0))
18 fvres 6900 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄) = (2nd β€˜π΄))
1918, 1eqtr4di 2782 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄) = 𝑁)
2019fveq2d 6885 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (β„€β‰₯β€˜((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄)) = (β„€β‰₯β€˜π‘))
2120eleq2d 2811 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄)) ↔ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
2221biimpar 477 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄)))
23 f2ndres 7993 . . . . 5 (2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0)):(β„•0 Γ— β„•0)βŸΆβ„•0
2410eucalglt 16519 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ ((2nd β€˜(πΈβ€˜π‘§)) β‰  0 β†’ (2nd β€˜(πΈβ€˜π‘§)) < (2nd β€˜π‘§)))
2511ffvelcdmi 7075 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (πΈβ€˜π‘§) ∈ (β„•0 Γ— β„•0))
2625fvresd 6901 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(πΈβ€˜π‘§)) = (2nd β€˜(πΈβ€˜π‘§)))
2726neeq1d 2992 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(πΈβ€˜π‘§)) β‰  0 ↔ (2nd β€˜(πΈβ€˜π‘§)) β‰  0))
28 fvres 6900 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π‘§) = (2nd β€˜π‘§))
2926, 28breq12d 5151 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(πΈβ€˜π‘§)) < ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π‘§) ↔ (2nd β€˜(πΈβ€˜π‘§)) < (2nd β€˜π‘§)))
3024, 27, 293imtr4d 294 . . . . 5 (𝑧 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(πΈβ€˜π‘§)) β‰  0 β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(πΈβ€˜π‘§)) < ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π‘§)))
31 eqid 2724 . . . . 5 ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄) = ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄)
3211, 7, 23, 30, 31algcvga 16513 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄)) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(π‘…β€˜πΎ)) = 0))
3317, 22, 32sylc 65 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(π‘…β€˜πΎ)) = 0)
3416, 33eqtr3d 2766 . 2 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (2nd β€˜(π‘…β€˜πΎ)) = 0)
3534ex 412 1 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (2nd β€˜(π‘…β€˜πΎ)) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  ifcif 4520  {csn 4620  βŸ¨cop 4626   class class class wbr 5138   Γ— cxp 5664   β†Ύ cres 5668   ∘ ccom 5670  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403  1st c1st 7966  2nd c2nd 7967  0cc0 11106   < clt 11245  β„•0cn0 12469  β„€β‰₯cuz 12819   mod cmo 13831  seqcseq 13963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964
This theorem is referenced by:  eucalg  16521
  Copyright terms: Public domain W3C validator