MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eucalgcvga Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem eucalgcvga 16519
Description: Once Euclid's Algorithm halts after 𝑁 steps, the second element of the state remains 0 . (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eucalgval.1 𝐸 = (π‘₯ ∈ β„•0, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, βŸ¨π‘¦, (π‘₯ mod 𝑦)⟩))
eucalg.2 𝑅 = seq0((𝐸 ∘ 1st ), (β„•0 Γ— {𝐴}))
eucalgcvga.3 𝑁 = (2nd β€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
eucalgcvga (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (2nd β€˜(π‘…β€˜πΎ)) = 0))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑁   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem eucalgcvga
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eucalgcvga.3 . . . . . . 7 𝑁 = (2nd β€˜π΄)
2 xp2nd 8004 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (2nd β€˜π΄) ∈ β„•0)
31, 2eqeltrid 2837 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4 eluznn0 12897 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
53, 4sylan 580 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
6 nn0uz 12860 . . . . . . 7 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
7 eucalg.2 . . . . . . 7 𝑅 = seq0((𝐸 ∘ 1st ), (β„•0 Γ— {𝐴}))
8 0zd 12566 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ 0 ∈ β„€)
9 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ 𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0))
10 eucalgval.1 . . . . . . . . 9 𝐸 = (π‘₯ ∈ β„•0, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ if(𝑦 = 0, ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, βŸ¨π‘¦, (π‘₯ mod 𝑦)⟩))
1110eucalgf 16516 . . . . . . . 8 𝐸:(β„•0 Γ— β„•0)⟢(β„•0 Γ— β„•0)
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ 𝐸:(β„•0 Γ— β„•0)⟢(β„•0 Γ— β„•0))
136, 7, 8, 9, 12algrf 16506 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ 𝑅:β„•0⟢(β„•0 Γ— β„•0))
1413ffvelcdmda 7083 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (π‘…β€˜πΎ) ∈ (β„•0 Γ— β„•0))
155, 14syldan 591 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘…β€˜πΎ) ∈ (β„•0 Γ— β„•0))
1615fvresd 6908 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(π‘…β€˜πΎ)) = (2nd β€˜(π‘…β€˜πΎ)))
17 simpl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0))
18 fvres 6907 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄) = (2nd β€˜π΄))
1918, 1eqtr4di 2790 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄) = 𝑁)
2019fveq2d 6892 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (β„€β‰₯β€˜((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄)) = (β„€β‰₯β€˜π‘))
2120eleq2d 2819 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄)) ↔ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
2221biimpar 478 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄)))
23 f2ndres 7996 . . . . 5 (2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0)):(β„•0 Γ— β„•0)βŸΆβ„•0
2410eucalglt 16518 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ ((2nd β€˜(πΈβ€˜π‘§)) β‰  0 β†’ (2nd β€˜(πΈβ€˜π‘§)) < (2nd β€˜π‘§)))
2511ffvelcdmi 7082 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (πΈβ€˜π‘§) ∈ (β„•0 Γ— β„•0))
2625fvresd 6908 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(πΈβ€˜π‘§)) = (2nd β€˜(πΈβ€˜π‘§)))
2726neeq1d 3000 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(πΈβ€˜π‘§)) β‰  0 ↔ (2nd β€˜(πΈβ€˜π‘§)) β‰  0))
28 fvres 6907 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π‘§) = (2nd β€˜π‘§))
2926, 28breq12d 5160 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(πΈβ€˜π‘§)) < ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π‘§) ↔ (2nd β€˜(πΈβ€˜π‘§)) < (2nd β€˜π‘§)))
3024, 27, 293imtr4d 293 . . . . 5 (𝑧 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(πΈβ€˜π‘§)) β‰  0 β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(πΈβ€˜π‘§)) < ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π‘§)))
31 eqid 2732 . . . . 5 ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄) = ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄)
3211, 7, 23, 30, 31algcvga 16512 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜π΄)) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(π‘…β€˜πΎ)) = 0))
3317, 22, 32sylc 65 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((2nd β†Ύ (β„•0 Γ— β„•0))β€˜(π‘…β€˜πΎ)) = 0)
3416, 33eqtr3d 2774 . 2 ((𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (2nd β€˜(π‘…β€˜πΎ)) = 0)
3534ex 413 1 (𝐴 ∈ (β„•0 Γ— β„•0) β†’ (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (2nd β€˜(π‘…β€˜πΎ)) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  ifcif 4527  {csn 4627  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970  0cc0 11106   < clt 11244  β„•0cn0 12468  β„€β‰₯cuz 12818   mod cmo 13830  seqcseq 13962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963
This theorem is referenced by:  eucalg  16520
  Copyright terms: Public domain W3C validator