Theorem ovolicc2lem2 25487

Description: Lemma for ovolicc2 25491. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ovolicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ovolicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ovolicc2.4	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
ovolicc2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
ovolicc2.6	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝐹) ∩ Fin))
ovolicc2.7	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
ovolicc2.8	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑈⟶ℕ)
ovolicc2.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) → (((,) ∘ 𝐹)‘(𝐺‘𝑡)) = 𝑡)
ovolicc2.10	⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝑈 ∣ (𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅}
ovolicc2.11	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑇⟶𝑇)
ovolicc2.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → if((2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘𝑡))) ≤ 𝐵, (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘𝑡))), 𝐵) ∈ (𝐻‘𝑡))
ovolicc2.13	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
ovolicc2.14	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
ovolicc2.15	⊢ 𝐾 = seq1((𝐻 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐶}))
ovolicc2.16	⊢ 𝑊 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝐵 ∈ (𝐾‘𝑛)}

Assertion

Ref	Expression
ovolicc2lem2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 ∈ 𝑊)) → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑛,𝑢,𝐴   𝐵,𝑛,𝑡,𝑢   𝑡,𝐻   𝐶,𝑛,𝑡   𝑛,𝐹,𝑡   𝑛,𝐾,𝑡,𝑢   𝑛,𝐺,𝑡   𝑛,𝑊   𝜑,𝑛,𝑡   𝑇,𝑛,𝑡   𝑛,𝑁,𝑡,𝑢   𝑈,𝑛,𝑡,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐶(𝑢)   𝑆(𝑢,𝑡,𝑛)   𝑇(𝑢)   𝐹(𝑢)   𝐺(𝑢)   𝐻(𝑢,𝑛)   𝑊(𝑢,𝑡)

Proof of Theorem ovolicc2lem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolicc.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ovolicc2.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
4		inss2 4192	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
5		fss 6686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
6	3, 4, 5	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
8		ovolicc2.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑈⟶ℕ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐺:𝑈⟶ℕ)
10		nnuz 12802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
11		ovolicc2.15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = seq1((𝐻 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐶}))
12		1zzd 12534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
13		ovolicc2.14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
14		ovolicc2.11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑇⟶𝑇)
15	10, 11, 12, 13, 14	algrf 16512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶𝑇)
16	15	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑁) ∈ 𝑇)
17		ineq1 4167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = (𝐾‘𝑁) → (𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
18	17	neeq1d 2992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (𝐾‘𝑁) → ((𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅ ↔ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅))
19		ovolicc2.10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝑈 ∣ (𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅}
20	18, 19	elrab2 3651	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾‘𝑁) ∈ 𝑇 ↔ ((𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅))
21	16, 20	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅))
22	21	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈)
23	9, 22	ffvelcdmd 7039	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝐾‘𝑁)) ∈ ℕ)
24	7, 23	ffvelcdmd 7039	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁))) ∈ (ℝ × ℝ))
25		xp2nd 7976	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁))) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
27	2, 26	ltnled 11292	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ↔ ¬ (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ≤ 𝐵))
28		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
29	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → 𝐵 ∈ ℝ)
30	21	adantrr 718	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → ((𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅))
31	30	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅)
32		n0 4307	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
33	31, 32	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
34		xp1st 7975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁))) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
35	24, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
36	35	adantrr 718	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
39		elin 3919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
40	38, 39	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
41	40	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
42		ovolicc.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
43		elicc2 13339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
44	42, 1, 43	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
45	44	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
46	41, 45	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
47	46	simp1d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
48	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
49	40	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁))
50	30	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → (𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈)
51		ovolicc.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
52		ovolicc2.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
53		ovolicc2.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝐹) ∩ Fin))
54		ovolicc2.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
55		ovolicc2.9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) → (((,) ∘ 𝐹)‘(𝐺‘𝑡)) = 𝑡)
56	42, 1, 51, 52, 3, 53, 54, 8, 55	ovolicc2lem1 25486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))))
57	50, 56	syldan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))))
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))))
59	49, 58	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁))))))
60	59	simp2d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝑥)
61	46	simp3d 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ≤ 𝐵)
62	37, 47, 48, 60, 61	ltletrd 11305	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝐵)
63	33, 62	exlimddv 1937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝐵)
64		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))
65	42, 1, 51, 52, 3, 53, 54, 8, 55	ovolicc2lem1 25486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈) → (𝐵 ∈ (𝐾‘𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝐵 ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))))
66	50, 65	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → (𝐵 ∈ (𝐾‘𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝐵 ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))))
67	29, 63, 64, 66	mpbir3and 1344	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → 𝐵 ∈ (𝐾‘𝑁))
68		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐾‘𝑛) = (𝐾‘𝑁))
69	68	eleq2d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐵 ∈ (𝐾‘𝑛) ↔ 𝐵 ∈ (𝐾‘𝑁)))
70		ovolicc2.16	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝐵 ∈ (𝐾‘𝑛)}
71	69, 70	elrab2 3651	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑊 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (𝐾‘𝑁)))
72	28, 67, 71	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → 𝑁 ∈ 𝑊)
73	72	expr 456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) → 𝑁 ∈ 𝑊))
74	27, 73	sylbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ≤ 𝐵 → 𝑁 ∈ 𝑊))
75	74	con1d 145	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 𝑁 ∈ 𝑊 → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ≤ 𝐵))
76	75	impr 454	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 ∈ 𝑊)) → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3401   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556  {csn 4582  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100   × cxp 5630  ran crn 5633   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1^st c1st 7941  2^nd c2nd 7942  Fincfn 8895  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  ℕcn 12157  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  seqcseq 13936  abscabs 15169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-ioo 13277  df-icc 13280  df-fz 13436  df-seq 13937

This theorem is referenced by:  ovolicc2lem3  25488  ovolicc2lem4  25489