Theorem ovolicc2lem2 25475

Description: Lemma for ovolicc2 25479. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ovolicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ovolicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ovolicc2.4	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
ovolicc2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
ovolicc2.6	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝐹) ∩ Fin))
ovolicc2.7	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
ovolicc2.8	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑈⟶ℕ)
ovolicc2.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) → (((,) ∘ 𝐹)‘(𝐺‘𝑡)) = 𝑡)
ovolicc2.10	⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝑈 ∣ (𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅}
ovolicc2.11	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑇⟶𝑇)
ovolicc2.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → if((2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘𝑡))) ≤ 𝐵, (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘𝑡))), 𝐵) ∈ (𝐻‘𝑡))
ovolicc2.13	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
ovolicc2.14	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
ovolicc2.15	⊢ 𝐾 = seq1((𝐻 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐶}))
ovolicc2.16	⊢ 𝑊 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝐵 ∈ (𝐾‘𝑛)}

Assertion

Ref	Expression
ovolicc2lem2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 ∈ 𝑊)) → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑛,𝑢,𝐴   𝐵,𝑛,𝑡,𝑢   𝑡,𝐻   𝐶,𝑛,𝑡   𝑛,𝐹,𝑡   𝑛,𝐾,𝑡,𝑢   𝑛,𝐺,𝑡   𝑛,𝑊   𝜑,𝑛,𝑡   𝑇,𝑛,𝑡   𝑛,𝑁,𝑡,𝑢   𝑈,𝑛,𝑡,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐶(𝑢)   𝑆(𝑢,𝑡,𝑛)   𝑇(𝑢)   𝐹(𝑢)   𝐺(𝑢)   𝐻(𝑢,𝑛)   𝑊(𝑢,𝑡)

Proof of Theorem ovolicc2lem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolicc.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ovolicc2.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
4		inss2 4190	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
5		fss 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
6	3, 4, 5	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
8		ovolicc2.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑈⟶ℕ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐺:𝑈⟶ℕ)
10		nnuz 12790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
11		ovolicc2.15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = seq1((𝐻 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐶}))
12		1zzd 12522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
13		ovolicc2.14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
14		ovolicc2.11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑇⟶𝑇)
15	10, 11, 12, 13, 14	algrf 16500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶𝑇)
16	15	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑁) ∈ 𝑇)
17		ineq1 4165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = (𝐾‘𝑁) → (𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
18	17	neeq1d 2991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (𝐾‘𝑁) → ((𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅ ↔ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅))
19		ovolicc2.10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝑈 ∣ (𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅}
20	18, 19	elrab2 3649	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾‘𝑁) ∈ 𝑇 ↔ ((𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅))
21	16, 20	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅))
22	21	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈)
23	9, 22	ffvelcdmd 7030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝐾‘𝑁)) ∈ ℕ)
24	7, 23	ffvelcdmd 7030	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁))) ∈ (ℝ × ℝ))
25		xp2nd 7966	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁))) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
27	2, 26	ltnled 11280	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ↔ ¬ (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ≤ 𝐵))
28		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
29	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → 𝐵 ∈ ℝ)
30	21	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → ((𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅))
31	30	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅)
32		n0 4305	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
33	31, 32	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
34		xp1st 7965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁))) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
35	24, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
36	35	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
39		elin 3917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
40	38, 39	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
41	40	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
42		ovolicc.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
43		elicc2 13327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
44	42, 1, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
45	44	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
46	41, 45	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
47	46	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
48	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
49	40	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁))
50	30	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → (𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈)
51		ovolicc.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
52		ovolicc2.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
53		ovolicc2.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝐹) ∩ Fin))
54		ovolicc2.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
55		ovolicc2.9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) → (((,) ∘ 𝐹)‘(𝐺‘𝑡)) = 𝑡)
56	42, 1, 51, 52, 3, 53, 54, 8, 55	ovolicc2lem1 25474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))))
57	50, 56	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))))
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))))
59	49, 58	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁))))))
60	59	simp2d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝑥)
61	46	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ≤ 𝐵)
62	37, 47, 48, 60, 61	ltletrd 11293	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝐵)
63	33, 62	exlimddv 1936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝐵)
64		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))
65	42, 1, 51, 52, 3, 53, 54, 8, 55	ovolicc2lem1 25474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈) → (𝐵 ∈ (𝐾‘𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝐵 ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))))
66	50, 65	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → (𝐵 ∈ (𝐾‘𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝐵 ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))))
67	29, 63, 64, 66	mpbir3and 1343	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → 𝐵 ∈ (𝐾‘𝑁))
68		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐾‘𝑛) = (𝐾‘𝑁))
69	68	eleq2d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐵 ∈ (𝐾‘𝑛) ↔ 𝐵 ∈ (𝐾‘𝑁)))
70		ovolicc2.16	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝐵 ∈ (𝐾‘𝑛)}
71	69, 70	elrab2 3649	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑊 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (𝐾‘𝑁)))
72	28, 67, 71	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → 𝑁 ∈ 𝑊)
73	72	expr 456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) → 𝑁 ∈ 𝑊))
74	27, 73	sylbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ≤ 𝐵 → 𝑁 ∈ 𝑊))
75	74	con1d 145	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 𝑁 ∈ 𝑊 → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ≤ 𝐵))
76	75	impr 454	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 ∈ 𝑊)) → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  {crab 3399   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  ifcif 4479  𝒫 cpw 4554  {csn 4580  ∪ cuni 4863   class class class wbr 5098   × cxp 5622  ran crn 5625   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1^st c1st 7931  2^nd c2nd 7932  Fincfn 8883  ℝcr 11025  1c1 11027   + caddc 11029   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364  ℕcn 12145  (,)cioo 13261  [,]cicc 13264  seqcseq 13924  abscabs 15157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-ioo 13265  df-icc 13268  df-fz 13424  df-seq 13925

This theorem is referenced by:  ovolicc2lem3  25476  ovolicc2lem4  25477