Theorem ovolicc2lem2 25395

Description: Lemma for ovolicc2 25399. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ovolicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ovolicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ovolicc2.4	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
ovolicc2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
ovolicc2.6	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝐹) ∩ Fin))
ovolicc2.7	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
ovolicc2.8	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑈⟶ℕ)
ovolicc2.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) → (((,) ∘ 𝐹)‘(𝐺‘𝑡)) = 𝑡)
ovolicc2.10	⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝑈 ∣ (𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅}
ovolicc2.11	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑇⟶𝑇)
ovolicc2.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → if((2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘𝑡))) ≤ 𝐵, (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘𝑡))), 𝐵) ∈ (𝐻‘𝑡))
ovolicc2.13	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
ovolicc2.14	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
ovolicc2.15	⊢ 𝐾 = seq1((𝐻 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐶}))
ovolicc2.16	⊢ 𝑊 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝐵 ∈ (𝐾‘𝑛)}

Assertion

Ref	Expression
ovolicc2lem2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 ∈ 𝑊)) → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑛,𝑢,𝐴   𝐵,𝑛,𝑡,𝑢   𝑡,𝐻   𝐶,𝑛,𝑡   𝑛,𝐹,𝑡   𝑛,𝐾,𝑡,𝑢   𝑛,𝐺,𝑡   𝑛,𝑊   𝜑,𝑛,𝑡   𝑇,𝑛,𝑡   𝑛,𝑁,𝑡,𝑢   𝑈,𝑛,𝑡,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐶(𝑢)   𝑆(𝑢,𝑡,𝑛)   𝑇(𝑢)   𝐹(𝑢)   𝐺(𝑢)   𝐻(𝑢,𝑛)   𝑊(𝑢,𝑡)

Proof of Theorem ovolicc2lem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolicc.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ovolicc2.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
4		inss2 4197	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
5		fss 6686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
6	3, 4, 5	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
8		ovolicc2.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑈⟶ℕ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐺:𝑈⟶ℕ)
10		nnuz 12812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
11		ovolicc2.15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = seq1((𝐻 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐶}))
12		1zzd 12540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
13		ovolicc2.14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
14		ovolicc2.11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑇⟶𝑇)
15	10, 11, 12, 13, 14	algrf 16519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶𝑇)
16	15	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑁) ∈ 𝑇)
17		ineq1 4172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = (𝐾‘𝑁) → (𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
18	17	neeq1d 2984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (𝐾‘𝑁) → ((𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅ ↔ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅))
19		ovolicc2.10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝑈 ∣ (𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅}
20	18, 19	elrab2 3659	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾‘𝑁) ∈ 𝑇 ↔ ((𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅))
21	16, 20	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅))
22	21	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈)
23	9, 22	ffvelcdmd 7039	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝐾‘𝑁)) ∈ ℕ)
24	7, 23	ffvelcdmd 7039	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁))) ∈ (ℝ × ℝ))
25		xp2nd 7980	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁))) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
27	2, 26	ltnled 11297	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ↔ ¬ (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ≤ 𝐵))
28		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
29	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → 𝐵 ∈ ℝ)
30	21	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → ((𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅))
31	30	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅)
32		n0 4312	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
33	31, 32	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
34		xp1st 7979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁))) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
35	24, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
36	35	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
39		elin 3927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
40	38, 39	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
41	40	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
42		ovolicc.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
43		elicc2 13348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
44	42, 1, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
45	44	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
46	41, 45	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
47	46	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
48	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
49	40	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁))
50	30	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → (𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈)
51		ovolicc.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
52		ovolicc2.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
53		ovolicc2.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝐹) ∩ Fin))
54		ovolicc2.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
55		ovolicc2.9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) → (((,) ∘ 𝐹)‘(𝐺‘𝑡)) = 𝑡)
56	42, 1, 51, 52, 3, 53, 54, 8, 55	ovolicc2lem1 25394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))))
57	50, 56	syldan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))))
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))))
59	49, 58	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁))))))
60	59	simp2d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝑥)
61	46	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ≤ 𝐵)
62	37, 47, 48, 60, 61	ltletrd 11310	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝐵)
63	33, 62	exlimddv 1935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝐵)
64		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))
65	42, 1, 51, 52, 3, 53, 54, 8, 55	ovolicc2lem1 25394	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈) → (𝐵 ∈ (𝐾‘𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝐵 ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))))
66	50, 65	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → (𝐵 ∈ (𝐾‘𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝐵 ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))))
67	29, 63, 64, 66	mpbir3and 1343	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → 𝐵 ∈ (𝐾‘𝑁))
68		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐾‘𝑛) = (𝐾‘𝑁))
69	68	eleq2d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐵 ∈ (𝐾‘𝑛) ↔ 𝐵 ∈ (𝐾‘𝑁)))
70		ovolicc2.16	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝐵 ∈ (𝐾‘𝑛)}
71	69, 70	elrab2 3659	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑊 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (𝐾‘𝑁)))
72	28, 67, 71	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → 𝑁 ∈ 𝑊)
73	72	expr 456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) → 𝑁 ∈ 𝑊))
74	27, 73	sylbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ≤ 𝐵 → 𝑁 ∈ 𝑊))
75	74	con1d 145	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 𝑁 ∈ 𝑊 → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ≤ 𝐵))
76	75	impr 454	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 ∈ 𝑊)) → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3402   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ifcif 4484  𝒫 cpw 4559  {csn 4585  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5102   × cxp 5629  ran crn 5632   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1^st c1st 7945  2^nd c2nd 7946  Fincfn 8895  ℝcr 11043  1c1 11045   + caddc 11047   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  ℕcn 12162  (,)cioo 13282  [,]cicc 13285  seqcseq 13942  abscabs 15176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-ioo 13286  df-icc 13289  df-fz 13445  df-seq 13943

This theorem is referenced by:  ovolicc2lem3  25396  ovolicc2lem4  25397