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Theorem ovolicc2lem2 23575
Description: Lemma for ovolicc2 23579. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolicc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ovolicc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ovolicc.3 (𝜑𝐴𝐵)
ovolicc2.4 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
ovolicc2.5 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
ovolicc2.6 (𝜑𝑈 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝐹) ∩ Fin))
ovolicc2.7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
ovolicc2.8 (𝜑𝐺:𝑈⟶ℕ)
ovolicc2.9 ((𝜑𝑡𝑈) → (((,) ∘ 𝐹)‘(𝐺𝑡)) = 𝑡)
ovolicc2.10 𝑇 = {𝑢𝑈 ∣ (𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅}
ovolicc2.11 (𝜑𝐻:𝑇𝑇)
ovolicc2.12 ((𝜑𝑡𝑇) → if((2nd ‘(𝐹‘(𝐺𝑡))) ≤ 𝐵, (2nd ‘(𝐹‘(𝐺𝑡))), 𝐵) ∈ (𝐻𝑡))
ovolicc2.13 (𝜑𝐴𝐶)
ovolicc2.14 (𝜑𝐶𝑇)
ovolicc2.15 𝐾 = seq1((𝐻 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐶}))
ovolicc2.16 𝑊 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝐵 ∈ (𝐾𝑛)}
Assertion
Ref Expression
ovolicc2lem2 ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁𝑊)) → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) ≤ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑡,𝑛,𝑢,𝐴   𝐵,𝑛,𝑡,𝑢   𝑡,𝐻   𝐶,𝑛,𝑡   𝑛,𝐹,𝑡   𝑛,𝐾,𝑡,𝑢   𝑛,𝐺,𝑡   𝑛,𝑊   𝜑,𝑛,𝑡   𝑇,𝑛,𝑡   𝑛,𝑁,𝑡,𝑢   𝑈,𝑛,𝑡,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐶(𝑢)   𝑆(𝑢,𝑡,𝑛)   𝑇(𝑢)   𝐹(𝑢)   𝐺(𝑢)   𝐻(𝑢,𝑛)   𝑊(𝑢,𝑡)

Proof of Theorem ovolicc2lem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolicc.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
21adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 ovolicc2.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
4 inss2 3992 . . . . . . . . 9 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
5 fss 6235 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
63, 4, 5sylancl 580 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
76adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
8 ovolicc2.8 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:𝑈⟶ℕ)
98adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐺:𝑈⟶ℕ)
10 nnuz 11922 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
11 ovolicc2.15 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = seq1((𝐻 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐶}))
12 1zzd 11654 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
13 ovolicc2.14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶𝑇)
14 ovolicc2.11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻:𝑇𝑇)
1510, 11, 12, 13, 14algrf 15568 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾:ℕ⟶𝑇)
1615ffvelrnda 6548 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑁) ∈ 𝑇)
17 ineq1 3968 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = (𝐾𝑁) → (𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
1817neeq1d 2995 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = (𝐾𝑁) → ((𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅ ↔ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅))
19 ovolicc2.10 . . . . . . . . . . 11 𝑇 = {𝑢𝑈 ∣ (𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅}
2018, 19elrab2 3522 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁) ∈ 𝑇 ↔ ((𝐾𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅))
2116, 20sylib 209 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅))
2221simpld 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑁) ∈ 𝑈)
239, 22ffvelrnd 6549 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝐾𝑁)) ∈ ℕ)
247, 23ffvelrnd 6549 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁))) ∈ (ℝ × ℝ))
25 xp2nd 7398 . . . . . 6 ((𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁))) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) ∈ ℝ)
2624, 25syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) ∈ ℝ)
272, 26ltnled 10437 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) ↔ ¬ (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) ≤ 𝐵))
28 simprl 787 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
291adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3021adantrr 708 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) → ((𝐾𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅))
3130simprd 489 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) → ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅)
32 n0 4094 . . . . . . . . 9 (((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
3331, 32sylib 209 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) → ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
34 xp1st 7397 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁))) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) ∈ ℝ)
3524, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) ∈ ℝ)
3635adantrr 708 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) ∈ ℝ)
3736adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) ∈ ℝ)
38 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
39 elin 3957 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐾𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
4038, 39sylib 209 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐾𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
4140simprd 489 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
42 ovolicc.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
43 elicc2 12439 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4442, 1, 43syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4544ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4641, 45mpbid 223 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
4746simp1d 1172 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
481ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
4940simpld 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐾𝑁))
5030simpld 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) → (𝐾𝑁) ∈ 𝑈)
51 ovolicc.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝐵)
52 ovolicc2.4 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
53 ovolicc2.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝐹) ∩ Fin))
54 ovolicc2.7 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑈)
55 ovolicc2.9 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝑈) → (((,) ∘ 𝐹)‘(𝐺𝑡)) = 𝑡)
5642, 1, 51, 52, 3, 53, 54, 8, 55ovolicc2lem1 23574 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐾𝑁) ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ (𝐾𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) < 𝑥𝑥 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))))
5750, 56syldan 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) → (𝑥 ∈ (𝐾𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) < 𝑥𝑥 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))))
5857adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐾𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) < 𝑥𝑥 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))))
5949, 58mpbid 223 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) < 𝑥𝑥 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁))))))
6059simp2d 1173 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) < 𝑥)
6146simp3d 1174 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥𝐵)
6237, 47, 48, 60, 61ltletrd 10450 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) < 𝐵)
6333, 62exlimddv 2030 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) < 𝐵)
64 simprr 789 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) → 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))
6542, 1, 51, 52, 3, 53, 54, 8, 55ovolicc2lem1 23574 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐾𝑁) ∈ 𝑈) → (𝐵 ∈ (𝐾𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) < 𝐵𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))))
6650, 65syldan 585 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) → (𝐵 ∈ (𝐾𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) < 𝐵𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))))
6729, 63, 64, 66mpbir3and 1442 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) → 𝐵 ∈ (𝐾𝑁))
68 fveq2 6374 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑁))
6968eleq2d 2829 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝐵 ∈ (𝐾𝑛) ↔ 𝐵 ∈ (𝐾𝑁)))
70 ovolicc2.16 . . . . . . 7 𝑊 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝐵 ∈ (𝐾𝑛)}
7169, 70elrab2 3522 . . . . . 6 (𝑁𝑊 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (𝐾𝑁)))
7228, 67, 71sylanbrc 578 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))))) → 𝑁𝑊)
7372expr 448 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) → 𝑁𝑊))
7427, 73sylbird 251 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) ≤ 𝐵𝑁𝑊))
7574con1d 141 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 𝑁𝑊 → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) ≤ 𝐵))
7675impr 446 1 ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁𝑊)) → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾𝑁)))) ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2936  {crab 3058  cin 3730  wss 3731  c0 4078  ifcif 4242  𝒫 cpw 4314  {csn 4333   cuni 4593   class class class wbr 4808   × cxp 5274  ran crn 5277  ccom 5280  wf 6063  cfv 6067  (class class class)co 6841  1st c1st 7363  2nd c2nd 7364  Fincfn 8159  cr 10187  1c1 10189   + caddc 10191   < clt 10327  cle 10328  cmin 10519  cn 11273  (,)cioo 12376  [,]cicc 12379  seqcseq 13007  abscabs 14260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-er 7946  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-n0 11538  df-z 11624  df-uz 11886  df-ioo 12380  df-icc 12383  df-fz 12533  df-seq 13008
This theorem is referenced by:  ovolicc2lem3  23576  ovolicc2lem4  23577
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