Theorem ovolicc2lem2 25503

Description: Lemma for ovolicc2 25507. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ovolicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ovolicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ovolicc2.4	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
ovolicc2.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
ovolicc2.6	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝐹) ∩ Fin))
ovolicc2.7	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
ovolicc2.8	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑈⟶ℕ)
ovolicc2.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) → (((,) ∘ 𝐹)‘(𝐺‘𝑡)) = 𝑡)
ovolicc2.10	⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝑈 ∣ (𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅}
ovolicc2.11	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑇⟶𝑇)
ovolicc2.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → if((2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘𝑡))) ≤ 𝐵, (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘𝑡))), 𝐵) ∈ (𝐻‘𝑡))
ovolicc2.13	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
ovolicc2.14	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
ovolicc2.15	⊢ 𝐾 = seq1((𝐻 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐶}))
ovolicc2.16	⊢ 𝑊 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝐵 ∈ (𝐾‘𝑛)}

Assertion

Ref	Expression
ovolicc2lem2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 ∈ 𝑊)) → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ≤ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑛,𝑢,𝐴   𝐵,𝑛,𝑡,𝑢   𝑡,𝐻   𝐶,𝑛,𝑡   𝑛,𝐹,𝑡   𝑛,𝐾,𝑡,𝑢   𝑛,𝐺,𝑡   𝑛,𝑊   𝜑,𝑛,𝑡   𝑇,𝑛,𝑡   𝑛,𝑁,𝑡,𝑢   𝑈,𝑛,𝑡,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐶(𝑢)   𝑆(𝑢,𝑡,𝑛)   𝑇(𝑢)   𝐹(𝑢)   𝐺(𝑢)   𝐻(𝑢,𝑛)   𝑊(𝑢,𝑡)

Proof of Theorem ovolicc2lem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolicc.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ovolicc2.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
4		inss2 4166	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
5		fss 6671	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
6	3, 4, 5	sylancl 592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
7	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ × ℝ))
8		ovolicc2.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑈⟶ℕ)
9	8	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐺:𝑈⟶ℕ)
10		nnuz 12818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
11		ovolicc2.15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = seq1((𝐻 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐶}))
12		1zzd 12549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
13		ovolicc2.14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
14		ovolicc2.11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑇⟶𝑇)
15	10, 11, 12, 13, 14	algrf 16533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶𝑇)
16	15	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑁) ∈ 𝑇)
17		ineq1 4142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = (𝐾‘𝑁) → (𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
18	17	neeq1d 2993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (𝐾‘𝑁) → ((𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅ ↔ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅))
19		ovolicc2.10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = {𝑢 ∈ 𝑈 ∣ (𝑢 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅}
20	18, 19	elrab2 3632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾‘𝑁) ∈ 𝑇 ↔ ((𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅))
21	16, 20	sylib 219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅))
22	21	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈)
23	9, 22	ffvelcdmd 7026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝐾‘𝑁)) ∈ ℕ)
24	7, 23	ffvelcdmd 7026	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁))) ∈ (ℝ × ℝ))
25		xp2nd 7964	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁))) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
27	2, 26	ltnled 11284	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ↔ ¬ (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ≤ 𝐵))
28		simprl 776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
29	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → 𝐵 ∈ ℝ)
30	21	adantrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → ((𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅))
31	30	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅)
32		n0 4281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
33	31, 32	sylib 219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
34		xp1st 7963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁))) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
35	24, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
36	35	adantrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
37	36	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ∈ ℝ)
38		elin 3899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
39	38	bilani 505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
40	39	simprd 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
41		ovolicc.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
42		elicc2 13355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
43	41, 1, 42	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
44	43	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
45	40, 44	mpbid 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
46	45	simp1d 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
47	1	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
48	39	simpld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁))
49	30	simpld 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → (𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈)
50		ovolicc.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
51		ovolicc2.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
52		ovolicc2.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝐹) ∩ Fin))
53		ovolicc2.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∪ 𝑈)
54		ovolicc2.9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑈) → (((,) ∘ 𝐹)‘(𝐺‘𝑡)) = 𝑡)
55	41, 1, 50, 51, 3, 52, 53, 8, 54	ovolicc2lem1 25502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))))
56	49, 55	syldan 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))))
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐾‘𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))))
58	48, 57	mpbid 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁))))))
59	58	simp2d 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝑥)
60	45	simp3d 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ≤ 𝐵)
61	37, 46, 47, 59, 60	ltletrd 11297	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐾‘𝑁) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝐵)
62	33, 61	exlimddv 1942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝐵)
63		simprr 778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))
64	41, 1, 50, 51, 3, 52, 53, 8, 54	ovolicc2lem1 25502	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝑁) ∈ 𝑈) → (𝐵 ∈ (𝐾‘𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝐵 ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))))
65	49, 64	syldan 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → (𝐵 ∈ (𝐾‘𝑁) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1st ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) < 𝐵 ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))))
66	29, 62, 63, 65	mpbir3and 1349	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → 𝐵 ∈ (𝐾‘𝑁))
67		fveq2 6827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐾‘𝑛) = (𝐾‘𝑁))
68	67	eleq2d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐵 ∈ (𝐾‘𝑛) ↔ 𝐵 ∈ (𝐾‘𝑁)))
69		ovolicc2.16	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝐵 ∈ (𝐾‘𝑛)}
70	68, 69	elrab2 3632	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑊 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (𝐾‘𝑁)))
71	28, 66, 70	sylanbrc 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))))) → 𝑁 ∈ 𝑊)
72	71	expr 457	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 < (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) → 𝑁 ∈ 𝑊))
73	27, 72	sylbird 261	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ≤ 𝐵 → 𝑁 ∈ 𝑊))
74	73	con1d 145	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 𝑁 ∈ 𝑊 → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ≤ 𝐵))
75	74	impr 455	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 ∈ 𝑊)) → (2nd ‘(𝐹‘(𝐺‘(𝐾‘𝑁)))) ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  {crab 3391   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  ifcif 4454  𝒫 cpw 4529  {csn 4555  ∪ cuni 4838   class class class wbr 5072   × cxp 5616  ran crn 5619   ∘ ccom 5622  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1^st c1st 7929  2^nd c2nd 7930  Fincfn 8883  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12165  (,)cioo 13289  [,]cicc 13292  seqcseq 13954  abscabs 15187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-ioo 13293  df-icc 13296  df-fz 13453  df-seq 13955

This theorem is referenced by:  ovolicc2lem3  25504  ovolicc2lem4  25505