MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atandm4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atandm4 25138
Description: A compact form of atandm 25135. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atandm4 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0))

Proof of Theorem atandm4
StepHypRef Expression
1 atandm3 25137 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ≠ -1))
2 sqcl 13334 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3 neg1cn 11599 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
4 subeq0 10760 . . . . . 6 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) − -1) = 0 ↔ (𝐴↑2) = -1))
52, 3, 4sylancl 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴↑2) − -1) = 0 ↔ (𝐴↑2) = -1))
6 ax-1cn 10441 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
7 subneg 10783 . . . . . . . 8 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − -1) = ((𝐴↑2) + 1))
82, 6, 7sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) − -1) = ((𝐴↑2) + 1))
9 addcom 10673 . . . . . . . 8 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) + 1) = (1 + (𝐴↑2)))
102, 6, 9sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) + 1) = (1 + (𝐴↑2)))
118, 10eqtrd 2831 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) − -1) = (1 + (𝐴↑2)))
1211eqeq1d 2797 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴↑2) − -1) = 0 ↔ (1 + (𝐴↑2)) = 0))
135, 12bitr3d 282 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = -1 ↔ (1 + (𝐴↑2)) = 0))
1413necon3bid 3028 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) ≠ -1 ↔ (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0))
1514pm5.32i 575 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ≠ -1) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0))
161, 15bitri 276 1 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  dom cdm 5443  (class class class)co 7016  cc 10381  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386  cmin 10717  -cneg 10718  2c2 11540  cexp 13279  arctancatan 25123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-seq 13220  df-exp 13280  df-atan 25126
This theorem is referenced by:  efiatan2  25176  cosatan  25180  cosatanne0  25181  atansssdm  25192  dvatan  25194
  Copyright terms: Public domain W3C validator