MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bits0o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bits0o 16118
Description: The zeroth bit of an odd number is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bits0o (𝑁 ∈ ℤ → 0 ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)))

Proof of Theorem bits0o
StepHypRef Expression
1 2z 12335 . . . 4 2 ∈ ℤ
2 dvdsmul1 15968 . . . 4 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑁))
31, 2mpan 686 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∥ (2 · 𝑁))
41a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
5 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
64, 5zmulcld 12414 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
7 2nn 12029 . . . . 5 2 ∈ ℕ
87a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℕ)
9 1lt2 12127 . . . . 5 1 < 2
109a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 1 < 2)
11 ndvdsp1 16101 . . . 4 (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ (2 · 𝑁) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑁) + 1)))
126, 8, 10, 11syl3anc 1369 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ (2 · 𝑁) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑁) + 1)))
133, 12mpd 15 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑁) + 1))
146peano2zd 12411 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
15 bits0 16116 . . 3 (((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ → (0 ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑁) + 1)))
1614, 15syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑁) + 1)))
1713, 16mpbird 256 1 (𝑁 ∈ ℤ → 0 ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wcel 2109   class class class wbr 5078  cfv 6430  (class class class)co 7268  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858   · cmul 10860   < clt 10993  cn 11956  2c2 12011  cz 12302  cdvds 15944  bitscbits 16107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-sup 9162  df-inf 9163  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-fz 13222  df-fl 13493  df-seq 13703  df-exp 13764  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-dvds 15945  df-bits 16110
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator