Theorem bits0o 16376

Description: The zeroth bit of an odd number is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bits0o	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 0 ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)))

Proof of Theorem bits0o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12595	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		dvdsmul1 16226	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑁))
3	1, 2	mpan 687	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∥ (2 · 𝑁))
4	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
5		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6	4, 5	zmulcld 12673	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
7		2nn 12286	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℕ)
9		1lt2 12384	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 < 2)
11		ndvdsp1 16359	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ (2 · 𝑁) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑁) + 1)))
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ (2 · 𝑁) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑁) + 1)))
13	3, 12	mpd 15	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑁) + 1))
14	6	peano2zd 12670	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
15		bits0 16374	. . 3 ⊢ (((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ → (0 ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑁) + 1)))
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)) ↔ ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑁) + 1)))
17	13, 16	mpbird 257	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 0 ∈ (bits‘((2 · 𝑁) + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   < clt 11249  ℕcn 12213  2c2 12268  ℤcz 12559   ∥ cdvds 16202  bitscbits 16365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16203  df-bits 16368

This theorem is referenced by: (None)