Theorem wwlktovf 14992

Description: Lemma 1 for wrd2f1tovbij 14996. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlktovf1o.d	⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}
wwlktovf1o.r	⊢ 𝑅 = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋}
wwlktovf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝑡‘1))

Assertion

Ref	Expression
wwlktovf	⊢ 𝐹:𝐷⟶𝑅

Distinct variable groups:   𝑡,𝐷   𝑃,𝑛,𝑡,𝑤   𝑡,𝑅   𝑛,𝑉,𝑡,𝑤   𝑛,𝑋,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑛)   𝑅(𝑤,𝑛)   𝐹(𝑤,𝑡,𝑛)   𝑋(𝑡)

Proof of Theorem wwlktovf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlktovf1o.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝑡‘1))
2		wrdf 14554	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ Word 𝑉 → 𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑉)
3		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑡) = 2 → (0..^(♯‘𝑡)) = (0..^2))
4	3	feq2d 6723	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑡) = 2 → (𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑉 ↔ 𝑡:(0..^2)⟶𝑉))
5		1nn0 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn 12337	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
7		1lt2 12435	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
8		elfzo0 13737	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ (0..^2) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
9	5, 6, 7, 8	mpbir3an 1340	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ (0..^2)
10		ffvelcdm 7101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡:(0..^2)⟶𝑉 ∧ 1 ∈ (0..^2)) → (𝑡‘1) ∈ 𝑉)
11	9, 10	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡:(0..^2)⟶𝑉 → (𝑡‘1) ∈ 𝑉)
12	4, 11	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑡) = 2 → (𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑉 → (𝑡‘1) ∈ 𝑉))
13	12	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋) → (𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑉 → (𝑡‘1) ∈ 𝑉))
14	2, 13	mpan9 506	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)) → (𝑡‘1) ∈ 𝑉)
15		preq1 4738	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡‘0) = 𝑃 → {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} = {𝑃, (𝑡‘1)})
16	15	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡‘0) = 𝑃 → ({(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋 ↔ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
17	16	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋) → {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)
18	17	3adant1 1129	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋) → {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)) → {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)
20	14, 19	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)) → ((𝑡‘1) ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
21		fveqeq2 6916	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ((♯‘𝑤) = 2 ↔ (♯‘𝑡) = 2))
22		fveq1 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘0) = (𝑡‘0))
23	22	eqeq1d 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ((𝑤‘0) = 𝑃 ↔ (𝑡‘0) = 𝑃))
24		fveq1 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘1) = (𝑡‘1))
25	22, 24	preq12d 4746	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} = {(𝑡‘0), (𝑡‘1)})
26	25	eleq1d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋 ↔ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
27	21, 23, 26	3anbi123d 1435	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋) ↔ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)))
28		wwlktovf1o.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}
29	27, 28	elrab2 3698	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐷 ↔ (𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)))
30		preq2 4739	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑡‘1) → {𝑃, 𝑛} = {𝑃, (𝑡‘1)})
31	30	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑡‘1) → ({𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋 ↔ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
32		wwlktovf1o.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋}
33	31, 32	elrab2 3698	. . 3 ⊢ ((𝑡‘1) ∈ 𝑅 ↔ ((𝑡‘1) ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
34	20, 29, 33	3imtr4i 292	. 2 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐷 → (𝑡‘1) ∈ 𝑅)
35	1, 34	fmpti 7132	1 ⊢ 𝐹:𝐷⟶𝑅

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433  {cpr 4633   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293  ℕcn 12264  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550

This theorem is referenced by:  wwlktovf1  14993  wwlktovfo  14994