Theorem wwlktovf 14995

Description: Lemma 1 for wrd2f1tovbij 14999. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlktovf1o.d	⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}
wwlktovf1o.r	⊢ 𝑅 = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋}
wwlktovf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝑡‘1))

Assertion

Ref	Expression
wwlktovf	⊢ 𝐹:𝐷⟶𝑅

Distinct variable groups:   𝑡,𝐷   𝑃,𝑛,𝑡,𝑤   𝑡,𝑅   𝑛,𝑉,𝑡,𝑤   𝑛,𝑋,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑛)   𝑅(𝑤,𝑛)   𝐹(𝑤,𝑡,𝑛)   𝑋(𝑡)

Proof of Theorem wwlktovf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlktovf1o.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝑡‘1))
2		wrdf 14557	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ Word 𝑉 → 𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑉)
3		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑡) = 2 → (0..^(♯‘𝑡)) = (0..^2))
4	3	feq2d 6722	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑡) = 2 → (𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑉 ↔ 𝑡:(0..^2)⟶𝑉))
5		1nn0 12542	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
7		1lt2 12437	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
8		elfzo0 13740	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ (0..^2) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
9	5, 6, 7, 8	mpbir3an 1342	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ (0..^2)
10		ffvelcdm 7101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡:(0..^2)⟶𝑉 ∧ 1 ∈ (0..^2)) → (𝑡‘1) ∈ 𝑉)
11	9, 10	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡:(0..^2)⟶𝑉 → (𝑡‘1) ∈ 𝑉)
12	4, 11	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑡) = 2 → (𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑉 → (𝑡‘1) ∈ 𝑉))
13	12	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋) → (𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑉 → (𝑡‘1) ∈ 𝑉))
14	2, 13	mpan9 506	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)) → (𝑡‘1) ∈ 𝑉)
15		preq1 4733	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡‘0) = 𝑃 → {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} = {𝑃, (𝑡‘1)})
16	15	eleq1d 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡‘0) = 𝑃 → ({(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋 ↔ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
17	16	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋) → {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)
18	17	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋) → {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)) → {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)
20	14, 19	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)) → ((𝑡‘1) ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
21		fveqeq2 6915	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ((♯‘𝑤) = 2 ↔ (♯‘𝑡) = 2))
22		fveq1 6905	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘0) = (𝑡‘0))
23	22	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ((𝑤‘0) = 𝑃 ↔ (𝑡‘0) = 𝑃))
24		fveq1 6905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘1) = (𝑡‘1))
25	22, 24	preq12d 4741	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} = {(𝑡‘0), (𝑡‘1)})
26	25	eleq1d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋 ↔ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
27	21, 23, 26	3anbi123d 1438	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋) ↔ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)))
28		wwlktovf1o.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}
29	27, 28	elrab2 3695	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐷 ↔ (𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)))
30		preq2 4734	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑡‘1) → {𝑃, 𝑛} = {𝑃, (𝑡‘1)})
31	30	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑡‘1) → ({𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋 ↔ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
32		wwlktovf1o.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋}
33	31, 32	elrab2 3695	. . 3 ⊢ ((𝑡‘1) ∈ 𝑅 ↔ ((𝑡‘1) ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
34	20, 29, 33	3imtr4i 292	. 2 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐷 → (𝑡‘1) ∈ 𝑅)
35	1, 34	fmpti 7132	1 ⊢ 𝐹:𝐷⟶𝑅

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436  {cpr 4628   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295  ℕcn 12266  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553

This theorem is referenced by:  wwlktovf1  14996  wwlktovfo  14997