Theorem wwlktovf 14599

Description: Lemma 1 for wrd2f1tovbij 14603. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlktovf1o.d	⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}
wwlktovf1o.r	⊢ 𝑅 = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋}
wwlktovf1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝑡‘1))

Assertion

Ref	Expression
wwlktovf	⊢ 𝐹:𝐷⟶𝑅

Distinct variable groups:   𝑡,𝐷   𝑃,𝑛,𝑡,𝑤   𝑡,𝑅   𝑛,𝑉,𝑡,𝑤   𝑛,𝑋,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑛)   𝑅(𝑤,𝑛)   𝐹(𝑤,𝑡,𝑛)   𝑋(𝑡)

Proof of Theorem wwlktovf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlktovf1o.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝑡‘1))
2		wrdf 14150	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ Word 𝑉 → 𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑉)
3		oveq2 7263	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑡) = 2 → (0..^(♯‘𝑡)) = (0..^2))
4	3	feq2d 6570	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑡) = 2 → (𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑉 ↔ 𝑡:(0..^2)⟶𝑉))
5		1nn0 12179	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		2nn 11976	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
7		1lt2 12074	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
8		elfzo0 13356	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ (0..^2) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
9	5, 6, 7, 8	mpbir3an 1339	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ (0..^2)
10		ffvelrn 6941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡:(0..^2)⟶𝑉 ∧ 1 ∈ (0..^2)) → (𝑡‘1) ∈ 𝑉)
11	9, 10	mpan2 687	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡:(0..^2)⟶𝑉 → (𝑡‘1) ∈ 𝑉)
12	4, 11	syl6bi 252	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑡) = 2 → (𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑉 → (𝑡‘1) ∈ 𝑉))
13	12	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋) → (𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑉 → (𝑡‘1) ∈ 𝑉))
14	2, 13	mpan9 506	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)) → (𝑡‘1) ∈ 𝑉)
15		preq1 4666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡‘0) = 𝑃 → {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} = {𝑃, (𝑡‘1)})
16	15	eleq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡‘0) = 𝑃 → ({(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋 ↔ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
17	16	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋) → {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)
18	17	3adant1 1128	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋) → {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)) → {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)
20	14, 19	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)) → ((𝑡‘1) ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
21		fveqeq2 6765	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ((♯‘𝑤) = 2 ↔ (♯‘𝑡) = 2))
22		fveq1 6755	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘0) = (𝑡‘0))
23	22	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ((𝑤‘0) = 𝑃 ↔ (𝑡‘0) = 𝑃))
24		fveq1 6755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘1) = (𝑡‘1))
25	22, 24	preq12d 4674	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} = {(𝑡‘0), (𝑡‘1)})
26	25	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋 ↔ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
27	21, 23, 26	3anbi123d 1434	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑡 → (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋) ↔ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)))
28		wwlktovf1o.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}
29	27, 28	elrab2 3620	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐷 ↔ (𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)))
30		preq2 4667	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑡‘1) → {𝑃, 𝑛} = {𝑃, (𝑡‘1)})
31	30	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑡‘1) → ({𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋 ↔ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
32		wwlktovf1o.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋}
33	31, 32	elrab2 3620	. . 3 ⊢ ((𝑡‘1) ∈ 𝑅 ↔ ((𝑡‘1) ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
34	20, 29, 33	3imtr4i 291	. 2 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐷 → (𝑡‘1) ∈ 𝑅)
35	1, 34	fmpti 6968	1 ⊢ 𝐹:𝐷⟶𝑅

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  {cpr 4560   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   < clt 10940  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146

This theorem is referenced by:  wwlktovf1  14600  wwlktovfo  14601