MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlktovf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlktovf 14913
Description: Lemma 1 for wrd2f1tovbij 14917. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlktovf1o.d 𝐷 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}
wwlktovf1o.r 𝑅 = {𝑛𝑉 ∣ {𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋}
wwlktovf1o.f 𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝑡‘1))
Assertion
Ref Expression
wwlktovf 𝐹:𝐷𝑅
Distinct variable groups:   𝑡,𝐷   𝑃,𝑛,𝑡,𝑤   𝑡,𝑅   𝑛,𝑉,𝑡,𝑤   𝑛,𝑋,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑛)   𝑅(𝑤,𝑛)   𝐹(𝑤,𝑡,𝑛)   𝑋(𝑡)

Proof of Theorem wwlktovf
StepHypRef Expression
1 wwlktovf1o.f . 2 𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝑡‘1))
2 wrdf 14475 . . . . 5 (𝑡 ∈ Word 𝑉𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑉)
3 oveq2 7413 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑡) = 2 → (0..^(♯‘𝑡)) = (0..^2))
43feq2d 6697 . . . . . . 7 ((♯‘𝑡) = 2 → (𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑉𝑡:(0..^2)⟶𝑉))
5 1nn0 12492 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
6 2nn 12289 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
7 1lt2 12387 . . . . . . . . 9 1 < 2
8 elfzo0 13679 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (0..^2) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
95, 6, 7, 8mpbir3an 1338 . . . . . . . 8 1 ∈ (0..^2)
10 ffvelcdm 7077 . . . . . . . 8 ((𝑡:(0..^2)⟶𝑉 ∧ 1 ∈ (0..^2)) → (𝑡‘1) ∈ 𝑉)
119, 10mpan2 688 . . . . . . 7 (𝑡:(0..^2)⟶𝑉 → (𝑡‘1) ∈ 𝑉)
124, 11biimtrdi 252 . . . . . 6 ((♯‘𝑡) = 2 → (𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑉 → (𝑡‘1) ∈ 𝑉))
13123ad2ant1 1130 . . . . 5 (((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋) → (𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑉 → (𝑡‘1) ∈ 𝑉))
142, 13mpan9 506 . . . 4 ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)) → (𝑡‘1) ∈ 𝑉)
15 preq1 4732 . . . . . . . 8 ((𝑡‘0) = 𝑃 → {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} = {𝑃, (𝑡‘1)})
1615eleq1d 2812 . . . . . . 7 ((𝑡‘0) = 𝑃 → ({(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋 ↔ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
1716biimpa 476 . . . . . 6 (((𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋) → {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)
18173adant1 1127 . . . . 5 (((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋) → {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)
1918adantl 481 . . . 4 ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)) → {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)
2014, 19jca 511 . . 3 ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)) → ((𝑡‘1) ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
21 fveqeq2 6894 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → ((♯‘𝑤) = 2 ↔ (♯‘𝑡) = 2))
22 fveq1 6884 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘0) = (𝑡‘0))
2322eqeq1d 2728 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → ((𝑤‘0) = 𝑃 ↔ (𝑡‘0) = 𝑃))
24 fveq1 6884 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘1) = (𝑡‘1))
2522, 24preq12d 4740 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑡 → {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} = {(𝑡‘0), (𝑡‘1)})
2625eleq1d 2812 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋 ↔ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
2721, 23, 263anbi123d 1432 . . . 4 (𝑤 = 𝑡 → (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋) ↔ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)))
28 wwlktovf1o.d . . . 4 𝐷 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}
2927, 28elrab2 3681 . . 3 (𝑡𝐷 ↔ (𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)))
30 preq2 4733 . . . . 5 (𝑛 = (𝑡‘1) → {𝑃, 𝑛} = {𝑃, (𝑡‘1)})
3130eleq1d 2812 . . . 4 (𝑛 = (𝑡‘1) → ({𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋 ↔ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
32 wwlktovf1o.r . . . 4 𝑅 = {𝑛𝑉 ∣ {𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋}
3331, 32elrab2 3681 . . 3 ((𝑡‘1) ∈ 𝑅 ↔ ((𝑡‘1) ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
3420, 29, 333imtr4i 292 . 2 (𝑡𝐷 → (𝑡‘1) ∈ 𝑅)
351, 34fmpti 7107 1 𝐹:𝐷𝑅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3426  {cpr 4625   class class class wbr 5141  cmpt 5224  wf 6533  cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11252  cn 12216  2c2 12271  0cn0 12476  ..^cfzo 13633  chash 14295  Word cword 14470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471
This theorem is referenced by:  wwlktovf1  14914  wwlktovfo  14915
  Copyright terms: Public domain W3C validator