MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlktovf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlktovf 14995
Description: Lemma 1 for wrd2f1tovbij 14999. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlktovf1o.d 𝐷 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}
wwlktovf1o.r 𝑅 = {𝑛𝑉 ∣ {𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋}
wwlktovf1o.f 𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝑡‘1))
Assertion
Ref Expression
wwlktovf 𝐹:𝐷𝑅
Distinct variable groups:   𝑡,𝐷   𝑃,𝑛,𝑡,𝑤   𝑡,𝑅   𝑛,𝑉,𝑡,𝑤   𝑛,𝑋,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑛)   𝑅(𝑤,𝑛)   𝐹(𝑤,𝑡,𝑛)   𝑋(𝑡)

Proof of Theorem wwlktovf
StepHypRef Expression
1 wwlktovf1o.f . 2 𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝑡‘1))
2 wrdf 14557 . . . . 5 (𝑡 ∈ Word 𝑉𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑉)
3 oveq2 7439 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑡) = 2 → (0..^(♯‘𝑡)) = (0..^2))
43feq2d 6722 . . . . . . 7 ((♯‘𝑡) = 2 → (𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑉𝑡:(0..^2)⟶𝑉))
5 1nn0 12542 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
6 2nn 12339 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
7 1lt2 12437 . . . . . . . . 9 1 < 2
8 elfzo0 13740 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (0..^2) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
95, 6, 7, 8mpbir3an 1342 . . . . . . . 8 1 ∈ (0..^2)
10 ffvelcdm 7101 . . . . . . . 8 ((𝑡:(0..^2)⟶𝑉 ∧ 1 ∈ (0..^2)) → (𝑡‘1) ∈ 𝑉)
119, 10mpan2 691 . . . . . . 7 (𝑡:(0..^2)⟶𝑉 → (𝑡‘1) ∈ 𝑉)
124, 11biimtrdi 253 . . . . . 6 ((♯‘𝑡) = 2 → (𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑉 → (𝑡‘1) ∈ 𝑉))
13123ad2ant1 1134 . . . . 5 (((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋) → (𝑡:(0..^(♯‘𝑡))⟶𝑉 → (𝑡‘1) ∈ 𝑉))
142, 13mpan9 506 . . . 4 ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)) → (𝑡‘1) ∈ 𝑉)
15 preq1 4733 . . . . . . . 8 ((𝑡‘0) = 𝑃 → {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} = {𝑃, (𝑡‘1)})
1615eleq1d 2826 . . . . . . 7 ((𝑡‘0) = 𝑃 → ({(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋 ↔ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
1716biimpa 476 . . . . . 6 (((𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋) → {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)
18173adant1 1131 . . . . 5 (((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋) → {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)
1918adantl 481 . . . 4 ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)) → {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)
2014, 19jca 511 . . 3 ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)) → ((𝑡‘1) ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
21 fveqeq2 6915 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → ((♯‘𝑤) = 2 ↔ (♯‘𝑡) = 2))
22 fveq1 6905 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘0) = (𝑡‘0))
2322eqeq1d 2739 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → ((𝑤‘0) = 𝑃 ↔ (𝑡‘0) = 𝑃))
24 fveq1 6905 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘1) = (𝑡‘1))
2522, 24preq12d 4741 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑡 → {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} = {(𝑡‘0), (𝑡‘1)})
2625eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋 ↔ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
2721, 23, 263anbi123d 1438 . . . 4 (𝑤 = 𝑡 → (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋) ↔ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)))
28 wwlktovf1o.d . . . 4 𝐷 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝑋)}
2927, 28elrab2 3695 . . 3 (𝑡𝐷 ↔ (𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑡) = 2 ∧ (𝑡‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑡‘0), (𝑡‘1)} ∈ 𝑋)))
30 preq2 4734 . . . . 5 (𝑛 = (𝑡‘1) → {𝑃, 𝑛} = {𝑃, (𝑡‘1)})
3130eleq1d 2826 . . . 4 (𝑛 = (𝑡‘1) → ({𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋 ↔ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
32 wwlktovf1o.r . . . 4 𝑅 = {𝑛𝑉 ∣ {𝑃, 𝑛} ∈ 𝑋}
3331, 32elrab2 3695 . . 3 ((𝑡‘1) ∈ 𝑅 ↔ ((𝑡‘1) ∈ 𝑉 ∧ {𝑃, (𝑡‘1)} ∈ 𝑋))
3420, 29, 333imtr4i 292 . 2 (𝑡𝐷 → (𝑡‘1) ∈ 𝑅)
351, 34fmpti 7132 1 𝐹:𝐷𝑅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553
This theorem is referenced by:  wwlktovf1  14996  wwlktovfo  14997
  Copyright terms: Public domain W3C validator