MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccat2s1fvwALTOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccat2s1fvwALTOLD 14319
Description: Obsolete version of ccat2s1fvwALT 14318 as of 28-Jan-2024. Alternate proof of ccat2s1fvwOLD 13999 using words of length 2, see df-s2 14210. A symbol of the concatenation of a word with two single symbols corresponding to the symbol of the word. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Proof shortened by Mario Carneiro/AV, 21-Oct-2018.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ccat2s1fvwALTOLD (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))

Proof of Theorem ccat2s1fvwALTOLD
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
21anim1i 617 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)))
3 3anass 1092 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑌𝑉) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)))
42, 3sylibr 237 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑌𝑉))
5 ccatw2s1ccatws2OLD 14317 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩))
65fveq1d 6663 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼))
74, 6syl 17 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼))
81adantr 484 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9 s2cl 14240 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
109adantl 485 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
11 simp2 1134 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
12 lencl 13885 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1312nn0zd 12082 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
14133ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
15 simp3 1135 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 < (♯‘𝑊))
16 elfzo0z 13083 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
1711, 14, 15, 16syl3anbrc 1340 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
1817adantr 484 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
19 ccatval1 13930 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))
208, 10, 18, 19syl3anc 1368 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))
217, 20eqtrd 2859 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7149  0cc0 10535   < clt 10673  0cn0 11894  cz 11978  ..^cfzo 13037  chash 13695  Word cword 13866   ++ cconcat 13922  ⟨“cs1 13949  ⟨“cs2 14203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-hash 13696  df-word 13867  df-concat 13923  df-s1 13950  df-s2 14210
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator