Theorem climconst2 15589

Description: A constant sequence converges to its value. (Contributed by NM, 6-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climconst2.1	⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑍
climconst2.2	⊢ 𝑍 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
climconst2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {𝐴}) ⇝ 𝐴)

Proof of Theorem climconst2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpr 489	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climconst2.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
4		snex 5401	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
5	3, 4	xpex 7740	. . 3 ⊢ (𝑍 × {𝐴}) ∈ V
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {𝐴}) ∈ V)
7		simpl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		climconst2.1	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑍
9	8	sseli 3935	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑍)
10		fvconst2g 7190	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑘) = 𝐴)
11	7, 9, 10	syl2an 607	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑘) = 𝐴)
12	1, 2, 6, 7, 11	climconst 15584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑍 × {𝐴}) ⇝ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  {csn 4585   class class class wbr 5105   × cxp 5650  ‘cfv 6525  ℂcc 11086  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853   ⇝ cli 15525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14029  df-exp 14089  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529

This theorem is referenced by:  climz  15590  serclim0  15618  climaddc1  15676  climmulc2  15678  climsubc1  15679  climsubc2  15680  climlec2  15700  iseraltlem1  15723  supcvg  15900  prodfclim1  15937  plyeq0lem  26328  ulmdvlem1  26521  basellem7  27209  basellem9  27211  dchrisumlema  27610  dchrisumlem3  27613  hashnzfzclim  44896  binomcxplemrat  44924  climconstmpt  46230