Theorem expfac 46009

Description: Factorial grows faster than exponential. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
expfac.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
expfac	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem expfac

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12801	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12512	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
3		expfac.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
4		nn0ex 12419	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
5	4	mptex 7179	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
6	3, 5	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ V)
8	3	efcllem 16012	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
9		oveq2 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑚))
10		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
11	9, 10	oveq12d 7386	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)) = ((𝐴↑𝑚) / (!‘𝑚)))
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
13		eftcl 16008	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑚) / (!‘𝑚)) ∈ ℂ)
14	3, 11, 12, 13	fvmptd3 6973	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑚) = ((𝐴↑𝑚) / (!‘𝑚)))
15	14, 13	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ)
16	1, 2, 7, 8, 15	serf0 15616	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038   / cdiv 11806  ℕ₀cn0 12413  ↑cexp 13996  !cfa 14208   ⇝ cli 15419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-ico 13279  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622

This theorem is referenced by:  etransclem48  46634