Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expfac 45045
Description: Factorial grows faster than exponential. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
expfac.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
expfac (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem expfac
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12895 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 12601 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
3 expfac.f . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
4 nn0ex 12509 . . . . 5 0 ∈ V
54mptex 7235 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
63, 5eqeltri 2825 . . 3 𝐹 ∈ V
76a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ V)
83efcllem 16054 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
9 oveq2 7428 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑚))
10 fveq2 6897 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
119, 10oveq12d 7438 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)) = ((𝐴𝑚) / (!‘𝑚)))
12 simpr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
13 eftcl 16050 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑚) / (!‘𝑚)) ∈ ℂ)
143, 11, 12, 13fvmptd3 7028 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑚) = ((𝐴𝑚) / (!‘𝑚)))
1514, 13eqeltrd 2829 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
161, 2, 7, 8, 15serf0 15660 1 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3471   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11137  0cc0 11139   / cdiv 11902  0cn0 12503  cexp 14059  !cfa 14265  cli 15461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13363  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666
This theorem is referenced by:  etransclem48  45670
  Copyright terms: Public domain W3C validator