Theorem expfac 46195

Description: Factorial grows faster than exponential. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
expfac.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
expfac	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem expfac

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12874	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12577	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
3		expfac.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
4		nn0ex 12484	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
5	4	mptex 7203	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
6	3, 5	eqeltri 2857	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ V)
8	3	efcllem 16090	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
9		oveq2 7400	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑚))
10		fveq2 6863	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
11	9, 10	oveq12d 7410	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)) = ((𝐴↑𝑚) / (!‘𝑚)))
12		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
13		eftcl 16086	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑚) / (!‘𝑚)) ∈ ℂ)
14	3, 11, 12, 13	fvmptd3 6995	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑚) = ((𝐴↑𝑚) / (!‘𝑚)))
15	14, 13	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ)
16	1, 2, 7, 8, 15	serf0 15691	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070   / cdiv 11841  ℕ₀cn0 12478  ↑cexp 14071  !cfa 14283   ⇝ cli 15494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-ico 13352  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-hash 14341  df-shft 15077  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697

This theorem is referenced by:  etransclem48  46820