Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expfac 45613
Description: Factorial grows faster than exponential. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
expfac.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
expfac (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem expfac
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12918 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 12623 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
3 expfac.f . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
4 nn0ex 12530 . . . . 5 0 ∈ V
54mptex 7243 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
63, 5eqeltri 2835 . . 3 𝐹 ∈ V
76a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ V)
83efcllem 16110 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
9 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑚))
10 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
119, 10oveq12d 7449 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)) = ((𝐴𝑚) / (!‘𝑚)))
12 simpr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
13 eftcl 16106 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑚) / (!‘𝑚)) ∈ ℂ)
143, 11, 12, 13fvmptd3 7039 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑚) = ((𝐴𝑚) / (!‘𝑚)))
1514, 13eqeltrd 2839 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
161, 2, 7, 8, 15serf0 15714 1 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153   / cdiv 11918  0cn0 12524  cexp 14099  !cfa 14309  cli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720
This theorem is referenced by:  etransclem48  46238
  Copyright terms: Public domain W3C validator