Theorem expfac 45686

Description: Factorial grows faster than exponential. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
expfac.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
expfac	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem expfac

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12894	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12600	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
3		expfac.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
4		nn0ex 12507	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
5	4	mptex 7215	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
6	3, 5	eqeltri 2830	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ V)
8	3	efcllem 16093	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
9		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑚))
10		fveq2 6876	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
11	9, 10	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)) = ((𝐴↑𝑚) / (!‘𝑚)))
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
13		eftcl 16089	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑚) / (!‘𝑚)) ∈ ℂ)
14	3, 11, 12, 13	fvmptd3 7009	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑚) = ((𝐴↑𝑚) / (!‘𝑚)))
15	14, 13	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ)
16	1, 2, 7, 8, 15	serf0 15697	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129   / cdiv 11894  ℕ₀cn0 12501  ↑cexp 14079  !cfa 14291   ⇝ cli 15500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-ico 13368  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-hash 14349  df-shft 15086  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-limsup 15487  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703

This theorem is referenced by:  etransclem48  46311