Theorem expfac 43152

Description: Factorial grows faster than exponential. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
expfac.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
expfac	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem expfac

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12602	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12314	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
3		expfac.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
4		nn0ex 12222	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
5	4	mptex 7093	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
6	3, 5	eqeltri 2836	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ V)
8	3	efcllem 15768	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
9		oveq2 7276	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑚))
10		fveq2 6768	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
11	9, 10	oveq12d 7286	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)) = ((𝐴↑𝑚) / (!‘𝑚)))
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
13		eftcl 15764	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑚) / (!‘𝑚)) ∈ ℂ)
14	3, 11, 12, 13	fvmptd3 6892	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑚) = ((𝐴↑𝑚) / (!‘𝑚)))
15	14, 13	eqeltrd 2840	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ)
16	1, 2, 7, 8, 15	serf0 15373	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430   class class class wbr 5078   ↦ cmpt 5161  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  0cc0 10855   / cdiv 11615  ℕ₀cn0 12216  ↑cexp 13763  !cfa 13968   ⇝ cli 15174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-ico 13067  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-seq 13703  df-exp 13764  df-fac 13969  df-hash 14026  df-shft 14759  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-limsup 15161  df-clim 15178  df-rlim 15179  df-sum 15379

This theorem is referenced by:  etransclem48  43777