Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expfac 45672
Description: Factorial grows faster than exponential. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
expfac.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
expfac (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem expfac
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12920 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 12625 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
3 expfac.f . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
4 nn0ex 12532 . . . . 5 0 ∈ V
54mptex 7243 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
63, 5eqeltri 2837 . . 3 𝐹 ∈ V
76a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ∈ V)
83efcllem 16113 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
9 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑚))
10 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
119, 10oveq12d 7449 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)) = ((𝐴𝑚) / (!‘𝑚)))
12 simpr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
13 eftcl 16109 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑚) / (!‘𝑚)) ∈ ℂ)
143, 11, 12, 13fvmptd3 7039 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑚) = ((𝐴𝑚) / (!‘𝑚)))
1514, 13eqeltrd 2841 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
161, 2, 7, 8, 15serf0 15717 1 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 ⇝ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155   / cdiv 11920  0cn0 12526  cexp 14102  !cfa 14312  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  etransclem48  46297
  Copyright terms: Public domain W3C validator