Theorem climsubc1mpt 45109

Description: Limit of the difference of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climsubc1mpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climsubc1mpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climsubc1mpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climsubc1mpt.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
climsubc1mpt.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
climsubc1mpt.c	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
climsubc1mpt	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵)) ⇝ (𝐴 − 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climsubc1mpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climsubc1mpt.k	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		climsubc1mpt.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		climsubc1mpt.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		climsubc1mpt.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		climsubc1mpt.a	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
7	3, 2, 4	climconstmpt 45105	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ⇝ 𝐴)
8		climsubc1mpt.c	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐶)
9	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8	climsubmpt 45107	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵)) ⇝ (𝐴 − 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  ℂcc 11131   − cmin 11469  ℤcz 12583  ℤ_≥cuz 12847   ⇝ cli 15455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459

This theorem is referenced by:  meaiininclem  45933