Theorem climsubc1mpt 46477

Description: Limit of the difference of two converging sequences. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climsubc1mpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climsubc1mpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climsubc1mpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climsubc1mpt.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
climsubc1mpt.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
climsubc1mpt.c	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
climsubc1mpt	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵)) ⇝ (𝐴 − 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climsubc1mpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climsubc1mpt.k	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		climsubc1mpt.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		climsubc1mpt.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		climsubc1mpt.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		climsubc1mpt.a	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
7	3, 2, 4	climconstmpt 46473	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) ⇝ 𝐴)
8		climsubc1mpt.c	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐶)
9	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8	climsubmpt 46475	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐴 − 𝐵)) ⇝ (𝐴 − 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125   − cmin 11468  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890   ⇝ cli 15573

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577

This theorem is used by:  meaiininclem  47301