Theorem climsuselem1 44309

Description: The subsequence index 𝐼 has the expected properties: it belongs to the same upper integers as the original index, and it is always greater than or equal to the original index. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climsuselem1.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climsuselem1.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climsuselem1.3	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ 𝑍)
climsuselem1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)))

Assertion

Ref	Expression
climsuselem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem climsuselem1

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climsuselem1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	eleq2i 2825	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑍 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	2	biimpi 215	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑍 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	3	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		simpl 483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → 𝜑)
6		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑀))
7		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑀))
8	6, 7	eleq12d 2827	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝐼‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
10		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘))
11		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑘))
12	10, 11	eleq12d 2827	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
13	12	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))))
14		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘(𝑘 + 1)))
15		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
16	14, 15	eleq12d 2827	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))))
17	16	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))))
18		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝐾))
19		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝐾))
20	18, 19	eleq12d 2827	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
21	20	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝜑 → (𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾))))
22		climsuselem1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ 𝑍)
23	22, 1	eleqtrdi 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
25		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → 𝜑)
26		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
27		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
28	25, 27	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
29		eluzelz 12828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
30	29	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
31	30	peano2zd 12665	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
32	31	zred 12662	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
33		eluzelre 12829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘) → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ)
34	33	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ)
35		1red 11211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 1 ∈ ℝ)
36	34, 35	readdcld 11239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐼‘𝑘) + 1) ∈ ℝ)
37	1	eqimss2i 4042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑍
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑍)
39	38	sseld 3980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑍))
40	39	imdistani 569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍))
41		climsuselem1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)))
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)))
43	42	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)))
44		eluzelz 12828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
46	45	zred 12662	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
47	30	zred 12662	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
48		eluzle 12831	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘) → 𝑘 ≤ (𝐼‘𝑘))
49	48	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑘 ≤ (𝐼‘𝑘))
50	47, 34, 35, 49	leadd1dd 11824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ≤ ((𝐼‘𝑘) + 1))
51		eluzle 12831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)) → ((𝐼‘𝑘) + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
52	43, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐼‘𝑘) + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
53	32, 36, 46, 50, 52	letrd 11367	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
54		eluz 12832	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1))))
55	31, 45, 54	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1))))
56	53, 55	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
57	25, 26, 28, 56	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
58	57	exp31 420	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝜑 → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))))
59	9, 13, 17, 21, 24, 58	uzind4 12886	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
60	4, 5, 59	sylc 65	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   ≤ cle 11245  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819

This theorem is referenced by:  climsuse  44310