Theorem climsuselem1 45853

Description: The subsequence index 𝐼 has the expected properties: it belongs to the same upper integers as the original index, and it is always greater than or equal to the original index. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climsuselem1.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climsuselem1.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climsuselem1.3	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ 𝑍)
climsuselem1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)))

Assertion

Ref	Expression
climsuselem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem climsuselem1

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climsuselem1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	eleq2i 2828	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑍 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	2	biimpi 216	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑍 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → 𝜑)
6		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑀))
7		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑀))
8	6, 7	eleq12d 2830	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝐼‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
10		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘))
11		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑘))
12	10, 11	eleq12d 2830	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
13	12	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))))
14		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘(𝑘 + 1)))
15		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
16	14, 15	eleq12d 2830	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))))
17	16	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))))
18		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝐾))
19		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝐾))
20	18, 19	eleq12d 2830	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
21	20	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝜑 → (𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾))))
22		climsuselem1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ 𝑍)
23	22, 1	eleqtrdi 2846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
25		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → 𝜑)
26		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
27		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
28	25, 27	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
29		eluzelz 12761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
30	29	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
31	30	peano2zd 12599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
32	31	zred 12596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
33		eluzelre 12762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘) → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ)
34	33	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ)
35		1red 11133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 1 ∈ ℝ)
36	34, 35	readdcld 11161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐼‘𝑘) + 1) ∈ ℝ)
37	1	eqimss2i 3995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑍
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑍)
39	38	sseld 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑍))
40	39	imdistani 568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍))
41		climsuselem1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)))
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)))
43	42	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)))
44		eluzelz 12761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
46	45	zred 12596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
47	30	zred 12596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
48		eluzle 12764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘) → 𝑘 ≤ (𝐼‘𝑘))
49	48	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑘 ≤ (𝐼‘𝑘))
50	47, 34, 35, 49	leadd1dd 11751	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ≤ ((𝐼‘𝑘) + 1))
51		eluzle 12764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)) → ((𝐼‘𝑘) + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
52	43, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐼‘𝑘) + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
53	32, 36, 46, 50, 52	letrd 11290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
54		eluz 12765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1))))
55	31, 45, 54	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1))))
56	53, 55	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
57	25, 26, 28, 56	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
58	57	exp31 419	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝜑 → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))))
59	9, 13, 17, 21, 24, 58	uzind4 12819	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
60	4, 5, 59	sylc 65	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  1c1 11027   + caddc 11029   ≤ cle 11167  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752

This theorem is referenced by:  climsuse  45854