Theorem climsuselem1 43038

Description: The subsequence index 𝐼 has the expected properties: it belongs to the same upper integers as the original index, and it is always greater than or equal to the original index. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climsuselem1.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climsuselem1.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climsuselem1.3	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ 𝑍)
climsuselem1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)))

Assertion

Ref	Expression
climsuselem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem climsuselem1

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climsuselem1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	eleq2i 2830	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑍 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	2	biimpi 215	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑍 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → 𝜑)
6		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑀))
7		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑀))
8	6, 7	eleq12d 2833	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝐼‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
10		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘))
11		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑘))
12	10, 11	eleq12d 2833	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
13	12	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))))
14		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘(𝑘 + 1)))
15		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
16	14, 15	eleq12d 2833	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))))
17	16	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))))
18		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝐾))
19		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝐾))
20	18, 19	eleq12d 2833	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
21	20	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝜑 → (𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾))))
22		climsuselem1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ 𝑍)
23	22, 1	eleqtrdi 2849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
25		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → 𝜑)
26		simpll 763	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
27		simplr 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
28	25, 27	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
29		eluzelz 12521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
30	29	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
31	30	peano2zd 12358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
32	31	zred 12355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
33		eluzelre 12522	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘) → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ)
34	33	3ad2ant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ)
35		1red 10907	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 1 ∈ ℝ)
36	34, 35	readdcld 10935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐼‘𝑘) + 1) ∈ ℝ)
37	1	eqimss2i 3976	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑍
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑍)
39	38	sseld 3916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑍))
40	39	imdistani 568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍))
41		climsuselem1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)))
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)))
43	42	3adant3 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)))
44		eluzelz 12521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
46	45	zred 12355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
47	30	zred 12355	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
48		eluzle 12524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘) → 𝑘 ≤ (𝐼‘𝑘))
49	48	3ad2ant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑘 ≤ (𝐼‘𝑘))
50	47, 34, 35, 49	leadd1dd 11519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ≤ ((𝐼‘𝑘) + 1))
51		eluzle 12524	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)) → ((𝐼‘𝑘) + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
52	43, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐼‘𝑘) + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
53	32, 36, 46, 50, 52	letrd 11062	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
54		eluz 12525	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1))))
55	31, 45, 54	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1))))
56	53, 55	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
57	25, 26, 28, 56	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
58	57	exp31 419	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝜑 → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))))
59	9, 13, 17, 21, 24, 58	uzind4 12575	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
60	4, 5, 59	sylc 65	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803   + caddc 10805   ≤ cle 10941  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512

This theorem is referenced by:  climsuse  43039