Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climsuselem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climsuselem1 45054
Description: The subsequence index 𝐼 has the expected properties: it belongs to the same upper integers as the original index, and it is always greater than or equal to the original index. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climsuselem1.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climsuselem1.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climsuselem1.3 (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ 𝑍)
climsuselem1.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)))
Assertion
Ref Expression
climsuselem1 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝐼𝐾) ∈ (ℤ𝐾))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem climsuselem1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsuselem1.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
21eleq2i 2817 . . . 4 (𝐾𝑍𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
32biimpi 215 . . 3 (𝐾𝑍𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
43adantl 480 . 2 ((𝜑𝐾𝑍) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
5 simpl 481 . 2 ((𝜑𝐾𝑍) → 𝜑)
6 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (𝐼𝑗) = (𝐼𝑀))
7 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑀))
86, 7eleq12d 2819 . . . 4 (𝑗 = 𝑀 → ((𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗) ↔ (𝐼𝑀) ∈ (ℤ𝑀)))
98imbi2d 339 . . 3 (𝑗 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ (ℤ𝑀))))
10 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝐼𝑗) = (𝐼𝑘))
11 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑘))
1210, 11eleq12d 2819 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗) ↔ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)))
1312imbi2d 339 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘))))
14 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐼𝑗) = (𝐼‘(𝑘 + 1)))
15 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘(𝑘 + 1)))
1614, 15eleq12d 2819 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗) ↔ (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))))
1716imbi2d 339 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))))
18 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑗 = 𝐾 → (𝐼𝑗) = (𝐼𝐾))
19 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑗 = 𝐾 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝐾))
2018, 19eleq12d 2819 . . . 4 (𝑗 = 𝐾 → ((𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗) ↔ (𝐼𝐾) ∈ (ℤ𝐾)))
2120imbi2d 339 . . 3 (𝑗 = 𝐾 → ((𝜑 → (𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼𝐾) ∈ (ℤ𝐾))))
22 climsuselem1.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ 𝑍)
2322, 1eleqtrdi 2835 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
2423a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ (ℤ𝑀)))
25 simpr 483 . . . . 5 (((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘))) ∧ 𝜑) → 𝜑)
26 simpll 765 . . . . 5 (((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘))) ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
27 simplr 767 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)))
2825, 27mpd 15 . . . . 5 (((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘))
29 eluzelz 12857 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
30293ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3130peano2zd 12694 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
3231zred 12691 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
33 eluzelre 12858 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘) → (𝐼𝑘) ∈ ℝ)
34333ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐼𝑘) ∈ ℝ)
35 1red 11240 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → 1 ∈ ℝ)
3634, 35readdcld 11268 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝐼𝑘) + 1) ∈ ℝ)
371eqimss2i 4035 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑀) ⊆ 𝑍
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℤ𝑀) ⊆ 𝑍)
3938sseld 3972 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘𝑍))
4039imdistani 567 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝜑𝑘𝑍))
41 climsuselem1.4 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)))
43423adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)))
44 eluzelz 12857 . . . . . . . . 9 ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
4645zred 12691 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
4730zred 12691 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
48 eluzle 12860 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘) → 𝑘 ≤ (𝐼𝑘))
49483ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ≤ (𝐼𝑘))
5047, 34, 35, 49leadd1dd 11853 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘 + 1) ≤ ((𝐼𝑘) + 1))
51 eluzle 12860 . . . . . . . 8 ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)) → ((𝐼𝑘) + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
5243, 51syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝐼𝑘) + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
5332, 36, 46, 50, 52letrd 11396 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
54 eluz 12861 . . . . . . 7 (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1))))
5531, 45, 54syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1))))
5653, 55mpbird 256 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
5725, 26, 28, 56syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
5857exp31 418 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝜑 → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))))
599, 13, 17, 21, 24, 58uzind4 12915 . 2 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → (𝐼𝐾) ∈ (ℤ𝐾)))
604, 5, 59sylc 65 1 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝐼𝐾) ∈ (ℤ𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3941   class class class wbr 5144  cfv 6543  (class class class)co 7413  cr 11132  1c1 11134   + caddc 11136  cle 11274  cz 12583  cuz 12847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848
This theorem is referenced by:  climsuse  45055
  Copyright terms: Public domain W3C validator