Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climsuselem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climsuselem1 43855
Description: The subsequence index 𝐼 has the expected properties: it belongs to the same upper integers as the original index, and it is always greater than or equal to the original index. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climsuselem1.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climsuselem1.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climsuselem1.3 (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ 𝑍)
climsuselem1.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)))
Assertion
Ref Expression
climsuselem1 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝐼𝐾) ∈ (ℤ𝐾))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem climsuselem1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climsuselem1.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
21eleq2i 2830 . . . 4 (𝐾𝑍𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
32biimpi 215 . . 3 (𝐾𝑍𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
43adantl 483 . 2 ((𝜑𝐾𝑍) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
5 simpl 484 . 2 ((𝜑𝐾𝑍) → 𝜑)
6 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (𝐼𝑗) = (𝐼𝑀))
7 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑀))
86, 7eleq12d 2832 . . . 4 (𝑗 = 𝑀 → ((𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗) ↔ (𝐼𝑀) ∈ (ℤ𝑀)))
98imbi2d 341 . . 3 (𝑗 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ (ℤ𝑀))))
10 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝐼𝑗) = (𝐼𝑘))
11 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑘))
1210, 11eleq12d 2832 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗) ↔ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)))
1312imbi2d 341 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘))))
14 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐼𝑗) = (𝐼‘(𝑘 + 1)))
15 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘(𝑘 + 1)))
1614, 15eleq12d 2832 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗) ↔ (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))))
1716imbi2d 341 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))))
18 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑗 = 𝐾 → (𝐼𝑗) = (𝐼𝐾))
19 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑗 = 𝐾 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝐾))
2018, 19eleq12d 2832 . . . 4 (𝑗 = 𝐾 → ((𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗) ↔ (𝐼𝐾) ∈ (ℤ𝐾)))
2120imbi2d 341 . . 3 (𝑗 = 𝐾 → ((𝜑 → (𝐼𝑗) ∈ (ℤ𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼𝐾) ∈ (ℤ𝐾))))
22 climsuselem1.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ 𝑍)
2322, 1eleqtrdi 2848 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
2423a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → (𝐼𝑀) ∈ (ℤ𝑀)))
25 simpr 486 . . . . 5 (((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘))) ∧ 𝜑) → 𝜑)
26 simpll 766 . . . . 5 (((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘))) ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
27 simplr 768 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)))
2825, 27mpd 15 . . . . 5 (((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘))
29 eluzelz 12774 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
30293ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3130peano2zd 12611 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
3231zred 12608 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
33 eluzelre 12775 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘) → (𝐼𝑘) ∈ ℝ)
34333ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐼𝑘) ∈ ℝ)
35 1red 11157 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → 1 ∈ ℝ)
3634, 35readdcld 11185 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝐼𝑘) + 1) ∈ ℝ)
371eqimss2i 4004 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑀) ⊆ 𝑍
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℤ𝑀) ⊆ 𝑍)
3938sseld 3944 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘𝑍))
4039imdistani 570 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝜑𝑘𝑍))
41 climsuselem1.4 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)))
43423adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)))
44 eluzelz 12774 . . . . . . . . 9 ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
4543, 44syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
4645zred 12608 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
4730zred 12608 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
48 eluzle 12777 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘) → 𝑘 ≤ (𝐼𝑘))
49483ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑘 ≤ (𝐼𝑘))
5047, 34, 35, 49leadd1dd 11770 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘 + 1) ≤ ((𝐼𝑘) + 1))
51 eluzle 12777 . . . . . . . 8 ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘((𝐼𝑘) + 1)) → ((𝐼𝑘) + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
5243, 51syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝐼𝑘) + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
5332, 36, 46, 50, 52letrd 11313 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
54 eluz 12778 . . . . . . 7 (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1))))
5531, 45, 54syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1))))
5653, 55mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
5725, 26, 28, 56syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
5857exp31 421 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝜑 → (𝐼𝑘) ∈ (ℤ𝑘)) → (𝜑 → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))))
599, 13, 17, 21, 24, 58uzind4 12832 . 2 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → (𝐼𝐾) ∈ (ℤ𝐾)))
604, 5, 59sylc 65 1 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝐼𝐾) ∈ (ℤ𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3911   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  cr 11051  1c1 11053   + caddc 11055  cle 11191  cz 12500  cuz 12764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765
This theorem is referenced by:  climsuse  43856
  Copyright terms: Public domain W3C validator