Theorem climsuselem1 46726

Description: The subsequence index 𝐼 has the expected properties: it belongs to the same upper integers as the original index, and it is always greater than or equal to the original index. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climsuselem1.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climsuselem1.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climsuselem1.3	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ 𝑍)
climsuselem1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)))

Assertion

Ref	Expression
climsuselem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem climsuselem1

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climsuselem1.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	eleq2i 2852	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑍 ↔ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	2	bilani 510	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → 𝜑)
5		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑀))
6		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑀))
7	5, 6	eleq12d 2854	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝐼‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
8	7	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
9		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝑘))
10		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑘))
11	9, 10	eleq12d 2854	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))))
13		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘(𝑘 + 1)))
14		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
15	13, 14	eleq12d 2854	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))))
16	15	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))))
17		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝐼‘𝑗) = (𝐼‘𝐾))
18		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝐾))
19	17, 18	eleq12d 2854	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↔ (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
20	19	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝜑 → (𝐼‘𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ↔ (𝜑 → (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾))))
21		climsuselem1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ 𝑍)
22	21, 1	eleqtrdi 2870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → (𝐼‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
24		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → 𝜑)
25		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
27	24, 26	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))
28		eluzelz 12980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
29	28	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
30	29	peano2zd 12811	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
31	30	zred 12808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
32		eluzelre 12981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘) → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ)
33	32	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘𝑘) ∈ ℝ)
34		1red 11314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 1 ∈ ℝ)
35	33, 34	readdcld 11343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐼‘𝑘) + 1) ∈ ℝ)
36	1	eqimss2i 3970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑍
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ 𝑍)
38	37	sseld 3908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑍))
39	38	imdistani 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍))
40		climsuselem1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)))
41	39, 40	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)))
42	41	3adant3 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)))
43		eluzelz 12980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
45	44	zred 12808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
46	29	zred 12808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
47		eluzle 12983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘) → 𝑘 ≤ (𝐼‘𝑘))
48	47	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑘 ≤ (𝐼‘𝑘))
49	46, 33, 34, 48	leadd1dd 11935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ≤ ((𝐼‘𝑘) + 1))
50		eluzle 12983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘((𝐼‘𝑘) + 1)) → ((𝐼‘𝑘) + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
51	42, 50	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐼‘𝑘) + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
52	31, 35, 45, 49, 51	letrd 11472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1)))
53		eluz 12984	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1))))
54	30, 44, 53	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝐼‘(𝑘 + 1))))
55	52, 54	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
56	24, 25, 27, 55	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘))) ∧ 𝜑) → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
57	56	exp31 425	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝜑 → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (𝜑 → (𝐼‘(𝑘 + 1)) ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))))
58	8, 12, 16, 20, 23, 57	uzind4 13038	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝜑 → (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
59	3, 4, 58	sylc 66	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (𝐼‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   class class class wbr 5102  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℝcr 11204  1c1 11206   + caddc 11208   ≤ cle 11349  ℤcz 12698  ℤ_≥cuz 12970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971

This theorem is used by:  climsuse  46727