Theorem clwlkl1loop 30375

Description: A closed walk of length 1 is a loop. (Contributed by AV, 22-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwlkl1loop	⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 1) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Proof of Theorem clwlkl1loop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isclwlk 30365	. . 3 ⊢ (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
2		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘1))
3	2	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)))
4	3	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1))))
5		simp2r 1219	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘1))
6		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → Fun (iEdg‘𝐺))
7		simp2l 1218	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
8		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘1))
9	8	anim2i 629	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1))) → ((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)))
10	9	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → ((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)))
11		wlkl1loop 30223	. . . . . . . 8 ⊢ (((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ ((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1))) → {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
12	6, 7, 10, 11	syl21anc 851	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
13	5, 12	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
14	13	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) → (Fun (iEdg‘𝐺) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
15	4, 14	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (Fun (iEdg‘𝐺) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
16	15	com13 89	. . 3 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
17	1, 16	biimtrid 245	. 2 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
18	17	3imp 1128	1 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 1) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {csn 4584   class class class wbr 5102  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538  0cc0 11203  1c1 11204  ♯chash 14477  iEdgciedg 29580  Edgcedg 29630  Walkscwlks 30182  ClWalkscclwlks 30362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-edg 29631  df-wlks 30185  df-clwlks 30363

This theorem is used by: (None)