Theorem clwlkl1loop 29856

Description: A closed walk of length 1 is a loop. (Contributed by AV, 22-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwlkl1loop	⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 1) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Proof of Theorem clwlkl1loop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isclwlk 29846	. . 3 ⊢ (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
2		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘1))
3	2	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)))
4	3	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1))))
5		simp2r 1201	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘1))
6		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → Fun (iEdg‘𝐺))
7		simp2l 1200	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
8		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘1))
9	8	anim2i 617	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1))) → ((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)))
10	9	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → ((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)))
11		wlkl1loop 29711	. . . . . . . 8 ⊢ (((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ ((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1))) → {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
12	6, 7, 10, 11	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
13	5, 12	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
14	13	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) → (Fun (iEdg‘𝐺) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
15	4, 14	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (Fun (iEdg‘𝐺) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
16	15	com13 88	. . 3 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
17	1, 16	biimtrid 242	. 2 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
18	17	3imp 1110	1 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 1) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4580   class class class wbr 5098  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492  0cc0 11026  1c1 11027  ♯chash 14253  iEdgciedg 29070  Edgcedg 29120  Walkscwlks 29670  ClWalkscclwlks 29843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-edg 29121  df-wlks 29673  df-clwlks 29844

This theorem is referenced by: (None)