Theorem clwlkl1loop 28052

Description: A closed walk of length 1 is a loop. (Contributed by AV, 22-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwlkl1loop	⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 1) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Proof of Theorem clwlkl1loop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isclwlk 28042	. . 3 ⊢ (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
2		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘1))
3	2	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)))
4	3	anbi2d 628	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1))))
5		simp2r 1198	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘1))
6		simp3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → Fun (iEdg‘𝐺))
7		simp2l 1197	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
8		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘1))
9	8	anim2i 616	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1))) → ((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)))
10	9	3adant3 1130	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → ((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)))
11		wlkl1loop 27907	. . . . . . . 8 ⊢ (((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ ((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1))) → {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
12	6, 7, 10, 11	syl21anc 834	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
13	5, 12	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
14	13	3exp 1117	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) → (Fun (iEdg‘𝐺) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
15	4, 14	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (Fun (iEdg‘𝐺) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
16	15	com13 88	. . 3 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
17	1, 16	syl5bi 241	. 2 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
18	17	3imp 1109	1 ⊢ ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 1) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {csn 4558   class class class wbr 5070  Fun wfun 6412  ‘cfv 6418  0cc0 10802  1c1 10803  ♯chash 13972  iEdgciedg 27270  Edgcedg 27320  Walkscwlks 27866  ClWalkscclwlks 28039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-edg 27321  df-wlks 27869  df-clwlks 28040

This theorem is referenced by: (None)