MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkl1loop Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clwlkl1loop 29304
Description: A closed walk of length 1 is a loop. (Contributed by AV, 22-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwlkl1loop ((Fun (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝐹(ClWalksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (β™―β€˜πΉ) = 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1) ∧ {(π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
Proof of Theorem clwlkl1loop
StepHypRef Expression
1 isclwlk 29294 . . 3 (𝐹(ClWalksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
2 fveq2 6892 . . . . . . 7 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = (π‘ƒβ€˜1))
32eqeq2d 2742 . . . . . 6 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) ↔ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1)))
43anbi2d 628 . . . . 5 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) ↔ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1))))
5 simp2r 1199 . . . . . . 7 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1)) ∧ Fun (iEdgβ€˜πΊ)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1))
6 simp3 1137 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1)) ∧ Fun (iEdgβ€˜πΊ)) β†’ Fun (iEdgβ€˜πΊ))
7 simp2l 1198 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1)) ∧ Fun (iEdgβ€˜πΊ)) β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
8 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1))
98anim2i 616 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1)))
1093adant3 1131 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1)) ∧ Fun (iEdgβ€˜πΊ)) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1)))
11 wlkl1loop 29159 . . . . . . . 8 (((Fun (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1))) β†’ {(π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
126, 7, 10, 11syl21anc 835 . . . . . . 7 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1)) ∧ Fun (iEdgβ€˜πΊ)) β†’ {(π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
135, 12jca 511 . . . . . 6 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1)) ∧ Fun (iEdgβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1) ∧ {(π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
14133exp 1118 . . . . 5 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1)) β†’ (Fun (iEdgβ€˜πΊ) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1) ∧ {(π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
154, 14sylbid 239 . . . 4 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (Fun (iEdgβ€˜πΊ) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1) ∧ {(π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
1615com13 88 . . 3 (Fun (iEdgβ€˜πΊ) β†’ ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1) ∧ {(π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
171, 16biimtrid 241 . 2 (Fun (iEdgβ€˜πΊ) β†’ (𝐹(ClWalksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1) ∧ {(π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
18173imp 1110 1 ((Fun (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝐹(ClWalksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (β™―β€˜πΉ) = 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜1) ∧ {(π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {csn 4629   class class class wbr 5149  Fun wfun 6538  β€˜cfv 6544  0cc0 11113  1c1 11114  β™―chash 14295  iEdgciedg 28521  Edgcedg 28571  Walkscwlks 29117  ClWalkscclwlks 29291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-edg 28572  df-wlks 29120  df-clwlks 29292
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator