MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isclwwlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isclwwlk 29814
Description: Properties of a word to represent a closed walk (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlk.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
isclwwlk (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem isclwwlk
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neeq1 3000 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤 ≠ ∅ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
2 fveq2 6902 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
32oveq1d 7441 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
43oveq2d 7442 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = (0..^((♯‘𝑊) − 1)))
5 fveq1 6901 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤𝑖) = (𝑊𝑖))
6 fveq1 6901 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
75, 6preq12d 4750 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))})
87eleq1d 2814 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → ({(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
94, 8raleqbidv 3340 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
10 fveq2 6902 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (lastS‘𝑤) = (lastS‘𝑊))
11 fveq1 6901 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘0) = (𝑊‘0))
1210, 11preq12d 4750 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} = {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)})
1312eleq1d 2814 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → ({(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
141, 9, 133anbi123d 1432 . . 3 (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
1514elrab 3684 . 2 (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
16 clwwlk.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
17 clwwlk.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
1816, 17clwwlk 29813 . . 3 (ClWWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)}
1918eleq2i 2821 . 2 (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)})
20 3anass 1092 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
21 anass 467 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
22 3anass 1092 . . . . 5 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
2322bicomi 223 . . . 4 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
2423anbi2i 621 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
2520, 21, 243bitri 296 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
2615, 19, 253bitr4i 302 1 (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  wral 3058  {crab 3430  c0 4326  {cpr 4634  cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149  cmin 11482  ..^cfzo 13667  chash 14329  Word cword 14504  lastSclsw 14552  Vtxcvtx 28829  Edgcedg 28880  ClWWalkscclwwlk 29811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-clwwlk 29812
This theorem is referenced by:  clwwlkbp  29815  clwwlk1loop  29818  clwwlkccat  29820  clwlkclwwlk  29832  clwwisshclwws  29845  isclwwlknx  29866  clwwlknwwlksn  29868  clwwlkinwwlk  29870  clwwlkwwlksb  29884  clwwlknonel  29925
  Copyright terms: Public domain W3C validator