MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isclwwlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isclwwlk 29275
Description: Properties of a word to represent a closed walk (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlk.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
clwwlk.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
isclwwlk (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem isclwwlk
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neeq1 3003 . . . 4 (𝑀 = π‘Š β†’ (𝑀 β‰  βˆ… ↔ π‘Š β‰  βˆ…))
2 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Š β†’ (β™―β€˜π‘€) = (β™―β€˜π‘Š))
32oveq1d 7426 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ ((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
43oveq2d 7427 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)) = (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
5 fveq1 6890 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Š β†’ (π‘€β€˜π‘–) = (π‘Šβ€˜π‘–))
6 fveq1 6890 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘Š β†’ (π‘€β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
75, 6preq12d 4745 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ {(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} = {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))})
87eleq1d 2818 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ ({(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
94, 8raleqbidv 3342 . . . 4 (𝑀 = π‘Š β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
10 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ (lastSβ€˜π‘€) = (lastSβ€˜π‘Š))
11 fveq1 6890 . . . . . 6 (𝑀 = π‘Š β†’ (π‘€β€˜0) = (π‘Šβ€˜0))
1210, 11preq12d 4745 . . . . 5 (𝑀 = π‘Š β†’ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} = {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)})
1312eleq1d 2818 . . . 4 (𝑀 = π‘Š β†’ ({(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸 ↔ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
141, 9, 133anbi123d 1436 . . 3 (𝑀 = π‘Š β†’ ((𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸) ↔ (π‘Š β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
1514elrab 3683 . 2 (π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)} ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘Š β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
16 clwwlk.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
17 clwwlk.e . . . 4 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
1816, 17clwwlk 29274 . . 3 (ClWWalksβ€˜πΊ) = {𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)}
1918eleq2i 2825 . 2 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ π‘Š ∈ {𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)})
20 3anass 1095 . . 3 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
21 anass 469 . . 3 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘Š β‰  βˆ… ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))))
22 3anass 1095 . . . . 5 ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ↔ (π‘Š β‰  βˆ… ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
2322bicomi 223 . . . 4 ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ↔ (π‘Š β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
2423anbi2i 623 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘Š β‰  βˆ… ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))) ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘Š β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
2520, 21, 243bitri 296 . 2 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘Š β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
2615, 19, 253bitr4i 302 1 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3432  βˆ…c0 4322  {cpr 4630  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   βˆ’ cmin 11446  ..^cfzo 13629  β™―chash 14292  Word cword 14466  lastSclsw 14514  Vtxcvtx 28294  Edgcedg 28345  ClWWalkscclwwlk 29272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-hash 14293  df-word 14467  df-clwwlk 29273
This theorem is referenced by:  clwwlkbp  29276  clwwlk1loop  29279  clwwlkccat  29281  clwlkclwwlk  29293  clwwisshclwws  29306  isclwwlknx  29327  clwwlknwwlksn  29329  clwwlkinwwlk  29331  clwwlkwwlksb  29345  clwwlknonel  29386
  Copyright terms: Public domain W3C validator