Theorem clwwlk0on0 29345

Description: There is no word over the set of vertices representing a closed walk on vertex 𝑋 of length 0 in a graph 𝐺. (Contributed by AV, 17-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlk0on0	⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅

Proof of Theorem clwwlk0on0

Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ((𝑤‘0) = 𝑣 ↔ (𝑤‘0) = 𝑋))
2	1	rabbidv 3441	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣} = {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
3		oveq1 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 ClWWalksN 𝐺) = (0 ClWWalksN 𝐺))
4		clwwlkn0 29281	. . . . . 6 ⊢ (0 ClWWalksN 𝐺) = ∅
5	3, 4	eqtrdi 2789	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
6	5	rabeqdv 3448	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑤 ∈ ∅ ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
7		clwwlknonmpo 29342	. . . 4 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
8		0ex 5308	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	rabex 5333	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ ∅ ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ V
10	2, 6, 7, 9	ovmpo 7568	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = {𝑤 ∈ ∅ ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
11		rab0 4383	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ ∅ ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = ∅
12	10, 11	eqtrdi 2789	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅)
13	7	mpondm0 7647	. 2 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅)
14	12, 13	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  ∅c0 4323  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  ℕ₀cn0 12472  Vtxcvtx 28256   ClWWalksN cclwwlkn 29277  ClWWalksNOncclwwlknon 29340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-clwwlk 29235  df-clwwlkn 29278  df-clwwlknon 29341

This theorem is referenced by:  clwwlknon0  29346