Theorem clwwlk0on0 30443

Description: There is no word over the set of vertices representing a closed walk on vertex 𝑋 of length 0 in a graph 𝐺. (Contributed by AV, 17-Feb-2022.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlk0on0	⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅

Proof of Theorem clwwlk0on0

Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ((𝑤‘0) = 𝑣 ↔ (𝑤‘0) = 𝑋))
2	1	rabbidv 3423	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣} = {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
3		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 ClWWalksN 𝐺) = (0 ClWWalksN 𝐺))
4		clwwlkn0 30379	. . . . . 6 ⊢ (0 ClWWalksN 𝐺) = ∅
5	3, 4	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
6	5	rabeqdv 3431	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑤 ∈ ∅ ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
7		clwwlknonmpo 30440	. . . 4 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺), 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
8		0ex 5270	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	rabex 5309	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ ∅ ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ∈ V
10	2, 6, 7, 9	ovmpo 7570	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = {𝑤 ∈ ∅ ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
11		rab0 4342	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ ∅ ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = ∅
12	10, 11	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅)
13	7	mpondm0 7650	. 2 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅)
14	12, 13	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)0) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416  ∅c0 4286  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  ℕ₀cn0 12499  Vtxcvtx 29346   ClWWalksN cclwwlkn 30375  ClWWalksNOncclwwlknon 30438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-clwwlk 30333  df-clwwlkn 30376  df-clwwlknon 30439

This theorem is referenced by:  clwwlknon0  30444