Theorem clwwlkneq0 30099

Description: Sufficient conditions for ClWWalksN to be empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 24-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkneq0	⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)

Proof of Theorem clwwlkneq0

Dummy variables 𝑔 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3037	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∉ V ↔ ¬ 𝐺 ∈ V)
2		ianor 984	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0))
3	1, 2	orbi12i 915	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ ¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ↔ (¬ 𝐺 ∈ V ∨ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0)))
4		df-nel 3037	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∉ ℕ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℕ)
5		elnnne0 12451	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
6	4, 5	xchbinx 334	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∉ ℕ ↔ ¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
7	6	orbi2i 913	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) ↔ (𝐺 ∉ V ∨ ¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0)))
8		orass 922	. . 3 ⊢ (((¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0) ↔ (¬ 𝐺 ∈ V ∨ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0)))
9	3, 7, 8	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) ↔ ((¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0))
10		ianor 984	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐺 ∈ V))
11		orcom 871	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐺 ∈ V) ↔ (¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0))
12	10, 11	bitri 275	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0))
13		df-clwwlkn 30095	. . . . 5 ⊢ ClWWalksN = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛})
14	13	mpondm0 7607	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
15	12, 14	sylbir 235	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
16		nne 2936	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0)
17		oveq1 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = (0 ClWWalksN 𝐺))
18		clwwlkn0 30098	. . . . 5 ⊢ (0 ClWWalksN 𝐺) = ∅
19	17, 18	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
20	16, 19	sylbi 217	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
21	15, 20	jaoi 858	. 2 ⊢ (((¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
22	9, 21	sylbi 217	1 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∉ wnel 3036  {crab 3389  Vcvv 3429  ∅c0 4273  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ♯chash 14292  ClWWalkscclwwlk 30051   ClWWalksN cclwwlkn 30094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-clwwlk 30052  df-clwwlkn 30095

This theorem is referenced by:  clwwlknnn  30103