Theorem clwwlkneq0 30010

Description: Sufficient conditions for ClWWalksN to be empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 24-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkneq0	⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)

Proof of Theorem clwwlkneq0

Dummy variables 𝑔 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3037	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∉ V ↔ ¬ 𝐺 ∈ V)
2		ianor 983	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0))
3	1, 2	orbi12i 914	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ ¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ↔ (¬ 𝐺 ∈ V ∨ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0)))
4		df-nel 3037	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∉ ℕ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℕ)
5		elnnne0 12515	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
6	4, 5	xchbinx 334	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∉ ℕ ↔ ¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
7	6	orbi2i 912	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) ↔ (𝐺 ∉ V ∨ ¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0)))
8		orass 921	. . 3 ⊢ (((¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0) ↔ (¬ 𝐺 ∈ V ∨ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0)))
9	3, 7, 8	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) ↔ ((¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0))
10		ianor 983	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐺 ∈ V))
11		orcom 870	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐺 ∈ V) ↔ (¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0))
12	10, 11	bitri 275	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0))
13		df-clwwlkn 30006	. . . . 5 ⊢ ClWWalksN = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛})
14	13	mpondm0 7647	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
15	12, 14	sylbir 235	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
16		nne 2936	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0)
17		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = (0 ClWWalksN 𝐺))
18		clwwlkn0 30009	. . . . 5 ⊢ (0 ClWWalksN 𝐺) = ∅
19	17, 18	eqtrdi 2786	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
20	16, 19	sylbi 217	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
21	15, 20	jaoi 857	. 2 ⊢ (((¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
22	9, 21	sylbi 217	1 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∉ wnel 3036  {crab 3415  Vcvv 3459  ∅c0 4308  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ♯chash 14348  ClWWalkscclwwlk 29962   ClWWalksN cclwwlkn 30005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-clwwlk 29963  df-clwwlkn 30006

This theorem is referenced by:  clwwlknnn  30014