MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlkneq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlkneq0 27812
Description: Sufficient conditions for ClWWalksN to be empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 24-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
clwwlkneq0 ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)

Proof of Theorem clwwlkneq0
Dummy variables 𝑔 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nel 3116 . . . 4 (𝐺 ∉ V ↔ ¬ 𝐺 ∈ V)
2 ianor 979 . . . 4 (¬ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0))
31, 2orbi12i 912 . . 3 ((𝐺 ∉ V ∨ ¬ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0)) ↔ (¬ 𝐺 ∈ V ∨ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0)))
4 df-nel 3116 . . . . 5 (𝑁 ∉ ℕ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℕ)
5 elnnne0 11899 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
64, 5xchbinx 337 . . . 4 (𝑁 ∉ ℕ ↔ ¬ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
76orbi2i 910 . . 3 ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) ↔ (𝐺 ∉ V ∨ ¬ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0)))
8 orass 919 . . 3 (((¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0) ↔ (¬ 𝐺 ∈ V ∨ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0)))
93, 7, 83bitr4i 306 . 2 ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) ↔ ((¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0))
10 ianor 979 . . . . 5 (¬ (𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ↔ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐺 ∈ V))
11 orcom 867 . . . . 5 ((¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐺 ∈ V) ↔ (¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0))
1210, 11bitri 278 . . . 4 (¬ (𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ↔ (¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0))
13 df-clwwlkn 27808 . . . . 5 ClWWalksN = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛})
1413mpondm0 7371 . . . 4 (¬ (𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
1512, 14sylbir 238 . . 3 ((¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
16 nne 3015 . . . 4 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0)
17 oveq1 7147 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = (0 ClWWalksN 𝐺))
18 clwwlkn0 27811 . . . . 5 (0 ClWWalksN 𝐺) = ∅
1917, 18syl6eq 2873 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
2016, 19sylbi 220 . . 3 𝑁 ≠ 0 → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
2115, 20jaoi 854 . 2 (((¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
229, 21sylbi 220 1 ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  wnel 3115  {crab 3134  Vcvv 3469  c0 4265  cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526  cn 11625  0cn0 11885  chash 13686  ClWWalkscclwwlk 27764   ClWWalksN cclwwlkn 27807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-clwwlk 27765  df-clwwlkn 27808
This theorem is referenced by:  clwwlknnn  27816
  Copyright terms: Public domain W3C validator