Theorem clwwlkneq0 30058

Description: Sufficient conditions for ClWWalksN to be empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 24-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkneq0	⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)

Proof of Theorem clwwlkneq0

Dummy variables 𝑔 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3045	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∉ V ↔ ¬ 𝐺 ∈ V)
2		ianor 983	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0))
3	1, 2	orbi12i 914	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ ¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ↔ (¬ 𝐺 ∈ V ∨ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0)))
4		df-nel 3045	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∉ ℕ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℕ)
5		elnnne0 12538	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
6	4, 5	xchbinx 334	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∉ ℕ ↔ ¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
7	6	orbi2i 912	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) ↔ (𝐺 ∉ V ∨ ¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0)))
8		orass 921	. . 3 ⊢ (((¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0) ↔ (¬ 𝐺 ∈ V ∨ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0)))
9	3, 7, 8	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) ↔ ((¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0))
10		ianor 983	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐺 ∈ V))
11		orcom 870	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐺 ∈ V) ↔ (¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0))
12	10, 11	bitri 275	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0))
13		df-clwwlkn 30054	. . . . 5 ⊢ ClWWalksN = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛})
14	13	mpondm0 7673	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
15	12, 14	sylbir 235	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
16		nne 2942	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0)
17		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = (0 ClWWalksN 𝐺))
18		clwwlkn0 30057	. . . . 5 ⊢ (0 ClWWalksN 𝐺) = ∅
19	17, 18	eqtrdi 2791	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
20	16, 19	sylbi 217	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
21	15, 20	jaoi 857	. 2 ⊢ (((¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
22	9, 21	sylbi 217	1 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∉ wnel 3044  {crab 3433  Vcvv 3478  ∅c0 4339  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ♯chash 14366  ClWWalkscclwwlk 30010   ClWWalksN cclwwlkn 30053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-clwwlk 30011  df-clwwlkn 30054

This theorem is referenced by:  clwwlknnn  30062