Theorem clwwlkneq0 30048

Description: Sufficient conditions for ClWWalksN to be empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 24-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkneq0	⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)

Proof of Theorem clwwlkneq0

Dummy variables 𝑔 𝑛 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3047	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∉ V ↔ ¬ 𝐺 ∈ V)
2		ianor 984	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0))
3	1, 2	orbi12i 915	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ ¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ↔ (¬ 𝐺 ∈ V ∨ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0)))
4		df-nel 3047	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∉ ℕ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ℕ)
5		elnnne0 12540	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
6	4, 5	xchbinx 334	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∉ ℕ ↔ ¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
7	6	orbi2i 913	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) ↔ (𝐺 ∉ V ∨ ¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0)))
8		orass 922	. . 3 ⊢ (((¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0) ↔ (¬ 𝐺 ∈ V ∨ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0)))
9	3, 7, 8	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) ↔ ((¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0))
10		ianor 984	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐺 ∈ V))
11		orcom 871	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑁 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐺 ∈ V) ↔ (¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0))
12	10, 11	bitri 275	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0))
13		df-clwwlkn 30044	. . . . 5 ⊢ ClWWalksN = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ (ClWWalks‘𝑔) ∣ (♯‘𝑤) = 𝑛})
14	13	mpondm0 7673	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
15	12, 14	sylbir 235	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
16		nne 2944	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0)
17		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = (0 ClWWalksN 𝐺))
18		clwwlkn0 30047	. . . . 5 ⊢ (0 ClWWalksN 𝐺) = ∅
19	17, 18	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
20	16, 19	sylbi 217	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
21	15, 20	jaoi 858	. 2 ⊢ (((¬ 𝐺 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∨ ¬ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)
22	9, 21	sylbi 217	1 ⊢ ((𝐺 ∉ V ∨ 𝑁 ∉ ℕ) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∉ wnel 3046  {crab 3436  Vcvv 3480  ∅c0 4333  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ♯chash 14369  ClWWalkscclwwlk 30000   ClWWalksN cclwwlkn 30043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-clwwlk 30001  df-clwwlkn 30044

This theorem is referenced by:  clwwlknnn  30052