Theorem cnfld0 21448

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11358	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 21446	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 20288	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 11171	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 21428	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 21430	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 19017	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 702	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 232	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2771	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  0cc0 11073   + caddc 11076  0_gc0g 17468  Grpcgrp 18975  Ringcrg 20283  ℂ_fldccnfld 21424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-cmn 19822  df-mgp 20187  df-ring 20285  df-cring 20286  df-cnfld 21425

This theorem is referenced by:  cnfldneg  21450  cndrng  21453  cnflddiv  21454  cnfldinv  21455  cnfldmulg  21456  cnsubmlem  21467  cnsubdrglem  21470  absabv  21476  qsssubdrg  21478  cnmgpabl  21480  cnmsubglem  21482  gzrngunitlem  21484  gzrngunit  21485  gsumfsum  21486  expmhm  21488  nn0srg  21489  rge0srg  21490  zring0  21510  zringunit  21518  expghm  21527  psgninv  21634  zrhpsgnmhm  21636  re0g  21664  regsumsupp  21674  mhpsclcl  22212  mhpvarcl  22213  mhpmulcl  22214  cnfldnm  24838  clm0  25134  cphsubrglem  25239  cphreccllem  25240  tdeglem1  26118  tdeglem3  26119  tdeglem4  26120  plypf1  26272  dvply2g  26349  tayl0  26425  taylpfval  26428  efsubm  26616  jensenlem2  27052  jensen  27053  amgmlem  27054  amgm  27055  dchrghm  27320  dchrabs  27324  sum2dchr  27338  lgseisenlem4  27442  qrng0  27685  1fldgenq  33509  gsumind  33531  xrge0slmod  33534  psrmonprod  33849  esplyfvaln  33871  ccfldextdgrr  33969  constrelextdg2  34044  constrsdrg  34072  2sqr3minply  34077  cos9thpiminply  34085  zringnm  34255  rezh  34266  mhphflem  43178  fsumcnsrcl  43743  cnsrplycl  43744  rngunsnply  43746  proot1ex  43773  deg1mhm  43777  2zrng0  48866  amgmwlem  50423  amgmlemALT  50424