Theorem cnfld0 21546

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11380	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 21544	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 20315	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 11193	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 21526	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 21528	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 19037	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 233	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2772	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  0cc0 11095   + caddc 11098  0_gc0g 17487  Grpcgrp 18995  Ringcrg 20310  ℂ_fldccnfld 21522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-cmn 19847  df-mgp 20212  df-ring 20312  df-cring 20313  df-cnfld 21523

This theorem is referenced by:  cnfldneg  21548  cndrng  21551  cnflddiv  21552  cnfldinv  21553  cnfldmulg  21554  cnsubmlem  21565  cnsubdrglem  21568  absabv  21574  qsssubdrg  21576  cnmgpabl  21578  cnmsubglem  21580  gzrngunitlem  21582  gzrngunit  21583  gsumfsum  21584  expmhm  21586  nn0srg  21587  rge0srg  21588  zring0  21608  zringunit  21616  expghm  21625  psgninv  21732  zrhpsgnmhm  21734  re0g  21762  regsumsupp  21772  mhpsclcl  22310  mhpvarcl  22311  mhpmulcl  22312  cnfldnm  24935  clm0  25231  cphsubrglem  25336  cphreccllem  25337  tdeglem1  26215  tdeglem3  26216  tdeglem4  26217  plypf1  26369  dvply2g  26446  tayl0  26525  taylpfval  26528  efsubm  26716  jensenlem2  27152  jensen  27153  amgmlem  27154  amgm  27155  dchrghm  27420  dchrabs  27424  sum2dchr  27438  lgseisenlem4  27542  qrng0  27785  1fldgenq  33643  gsumind  33665  xrge0slmod  33668  psrmonprod  33942  esplyfvaln  33964  ccfldextdgrr  34062  constrelextdg2  34137  constrsdrg  34165  2sqr3minply  34170  cos9thpiminply  34178  zringnm  34348  rezh  34359  mhphflem  43348  fsumcnsrcl  43913  cnsrplycl  43914  rngunsnply  43916  proot1ex  43943  deg1mhm  43947  2zrng0  49029  amgmwlem  50669  amgmlemALT  50670