Theorem cnfld0 21329

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11288	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 21327	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 20156	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 11104	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 21295	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 21297	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 18888	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 230	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2740	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006   + caddc 11009  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18846  Ringcrg 20151  ℂ_fldccnfld 21291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-cmn 19694  df-mgp 20059  df-ring 20153  df-cring 20154  df-cnfld 21292

This theorem is referenced by:  cnfldneg  21332  cndrng  21335  cndrngOLD  21336  cnflddiv  21337  cnflddivOLD  21338  cnfldinv  21339  cnfldmulg  21340  cnsubmlem  21351  cnsubdrglem  21355  absabv  21361  qsssubdrg  21363  cnmgpabl  21365  cnmsubglem  21367  gzrngunitlem  21369  gzrngunit  21370  gsumfsum  21371  expmhm  21373  nn0srg  21374  rge0srg  21375  zring0  21395  zringunit  21403  expghm  21412  psgninv  21519  zrhpsgnmhm  21521  re0g  21549  regsumsupp  21559  mhpsclcl  22062  mhpvarcl  22063  mhpmulcl  22064  cnfldnm  24693  clm0  24999  cphsubrglem  25104  cphreccllem  25105  tdeglem1  25990  tdeglem3  25991  tdeglem4  25992  plypf1  26144  dvply2g  26219  dvply2gOLD  26220  tayl0  26296  taylpfval  26299  efsubm  26487  jensenlem2  26925  jensen  26926  amgmlem  26927  amgm  26928  dchrghm  27194  dchrabs  27198  sum2dchr  27212  lgseisenlem4  27316  qrng0  27559  1fldgenq  33288  gsumind  33310  xrge0slmod  33313  ccfldextdgrr  33685  constrelextdg2  33760  constrsdrg  33788  2sqr3minply  33793  cos9thpiminply  33801  zringnm  33971  rezh  33982  mhphflem  42699  fsumcnsrcl  43269  cnsrplycl  43270  rngunsnply  43272  proot1ex  43299  deg1mhm  43303  2zrng0  48354  amgmwlem  49913  amgmlemALT  49914