Theorem cnfld0 21717

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11498	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 21715	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 20479	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 11311	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 21697	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 21699	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 19201	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 233	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2772	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℂcc 11211  0cc0 11213   + caddc 11216  0_gc0g 17625  Grpcgrp 19159  Ringcrg 20474  ℂ_fldccnfld 21693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-addf 11292

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-cmn 20011  df-mgp 20376  df-ring 20476  df-cring 20477  df-cnfld 21694

This theorem is used by:  cnfldneg  21719  cndrng  21722  cnflddiv  21723  cnfldinv  21724  cnfldmulg  21725  cnsubmlem  21736  cnsubdrglem  21739  absabv  21745  qsssubdrg  21747  cnmgpabl  21749  cnmsubglem  21751  gzrngunitlem  21753  gzrngunit  21754  gsumfsum  21755  expmhm  21757  nn0srg  21758  rge0srg  21759  zring0  21779  zringunit  21787  expghm  21796  psgninv  21903  zrhpsgnmhm  21905  re0g  21933  regsumsupp  21943  mhpsclcl  22483  mhpvarcl  22484  mhpmulcl  22485  cnfldnm  25112  clm0  25408  cphsubrglem  25513  cphreccllem  25514  tdeglem1  26391  tdeglem3  26392  tdeglem4  26393  plypf1  26546  dvply2g  26621  tayl0  26704  taylpfval  26707  efsubm  26894  jensenlem2  27330  jensen  27331  amgmlem  27332  amgm  27333  dchrghm  27598  dchrabs  27602  sum2dchr  27616  lgseisenlem4  27720  qrng0  27963  1fldgenq  33940  gsumind  33962  xrge0slmod  33965  psrmonprod  34240  esplyfvaln  34262  ccfldextdgrr  34360  constrelextdg2  34435  constrsdrg  34463  2sqr3minply  34468  cos9thpiminply  34476  zringnm  34646  rezh  34657  mhphflem  43767  fsumcnsrcl  44311  cnsrplycl  44312  rngunsnply  44314  proot1ex  44341  deg1mhm  44345  2zrng0  49483  amgmwlem  51204  amgmlemALT  51205