Theorem cnfld0 21371

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11312	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 21369	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 20210	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 11127	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 21351	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 21353	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 18942	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 698	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 231	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2748	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029   + caddc 11032  0_gc0g 17393  Grpcgrp 18900  Ringcrg 20205  ℂ_fldccnfld 21347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-cmn 19748  df-mgp 20113  df-ring 20207  df-cring 20208  df-cnfld 21348

This theorem is referenced by:  cnfldneg  21373  cndrng  21376  cnflddiv  21377  cnfldinv  21378  cnfldmulg  21379  cnsubmlem  21390  cnsubdrglem  21393  absabv  21399  qsssubdrg  21401  cnmgpabl  21403  cnmsubglem  21405  gzrngunitlem  21407  gzrngunit  21408  gsumfsum  21409  expmhm  21411  nn0srg  21412  rge0srg  21413  zring0  21433  zringunit  21441  expghm  21450  psgninv  21557  zrhpsgnmhm  21559  re0g  21587  regsumsupp  21597  mhpsclcl  22135  mhpvarcl  22136  mhpmulcl  22137  cnfldnm  24761  clm0  25057  cphsubrglem  25162  cphreccllem  25163  tdeglem1  26041  tdeglem3  26042  tdeglem4  26043  plypf1  26195  dvply2g  26269  tayl0  26345  taylpfval  26348  efsubm  26533  jensenlem2  26969  jensen  26970  amgmlem  26971  amgm  26972  dchrghm  27237  dchrabs  27241  sum2dchr  27255  lgseisenlem4  27359  qrng0  27602  1fldgenq  33406  gsumind  33428  xrge0slmod  33431  psrmonprod  33736  esplyfvaln  33758  ccfldextdgrr  33856  constrelextdg2  33931  constrsdrg  33959  2sqr3minply  33964  cos9thpiminply  33972  zringnm  34142  rezh  34153  mhphflem  43046  fsumcnsrcl  43611  cnsrplycl  43612  rngunsnply  43614  proot1ex  43641  deg1mhm  43645  2zrng0  48735  amgmwlem  50292  amgmlemALT  50293