Theorem cnfld0 20622

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11150	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 20620	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 19788	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 10967	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 20601	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 20602	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 18615	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 229	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2747	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871   + caddc 10874  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  Ringcrg 19783  ℂ_fldccnfld 20597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-cmn 19388  df-mgp 19721  df-ring 19785  df-cring 19786  df-cnfld 20598

This theorem is referenced by:  cnfldneg  20624  cndrng  20627  cnflddiv  20628  cnfldinv  20629  cnfldmulg  20630  cnsubmlem  20646  cnsubdrglem  20649  absabv  20655  qsssubdrg  20657  cnmgpabl  20659  cnmsubglem  20661  gzrngunitlem  20663  gzrngunit  20664  gsumfsum  20665  expmhm  20667  nn0srg  20668  rge0srg  20669  zring0  20680  zringunit  20688  expghm  20697  psgninv  20787  zrhpsgnmhm  20789  re0g  20817  regsumsupp  20827  mhpsclcl  21337  mhpvarcl  21338  mhpmulcl  21339  cnfldnm  23942  clm0  24235  cphsubrglem  24341  cphreccllem  24342  tdeglem1  25220  tdeglem1OLD  25221  tdeglem3  25222  tdeglem3OLD  25223  tdeglem4  25224  tdeglem4OLD  25225  plypf1  25373  dvply2g  25445  tayl0  25521  taylpfval  25524  efsubm  25707  jensenlem2  26137  jensen  26138  amgmlem  26139  amgm  26140  dchrghm  26404  dchrabs  26408  sum2dchr  26422  lgseisenlem4  26526  qrng0  26769  xrge0slmod  31548  ccfldextdgrr  31742  zringnm  31908  rezh  31921  mhphflem  40284  fsumcnsrcl  40991  cnsrplycl  40992  rngunsnply  40998  proot1ex  41026  deg1mhm  41032  2zrng0  45496  amgmwlem  46506  amgmlemALT  46507