Theorem cnfld0 21349

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11310	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 21347	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 20175	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 11126	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 21315	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 21317	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 18907	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 230	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2745	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  0cc0 11028   + caddc 11031  0_gc0g 17361  Grpcgrp 18865  Ringcrg 20170  ℂ_fldccnfld 21311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-cmn 19713  df-mgp 20078  df-ring 20172  df-cring 20173  df-cnfld 21312

This theorem is referenced by:  cnfldneg  21352  cndrng  21355  cndrngOLD  21356  cnflddiv  21357  cnflddivOLD  21358  cnfldinv  21359  cnfldmulg  21360  cnsubmlem  21371  cnsubdrglem  21375  absabv  21381  qsssubdrg  21383  cnmgpabl  21385  cnmsubglem  21387  gzrngunitlem  21389  gzrngunit  21390  gsumfsum  21391  expmhm  21393  nn0srg  21394  rge0srg  21395  zring0  21415  zringunit  21423  expghm  21432  psgninv  21539  zrhpsgnmhm  21541  re0g  21569  regsumsupp  21579  mhpsclcl  22092  mhpvarcl  22093  mhpmulcl  22094  cnfldnm  24724  clm0  25030  cphsubrglem  25135  cphreccllem  25136  tdeglem1  26021  tdeglem3  26022  tdeglem4  26023  plypf1  26175  dvply2g  26250  dvply2gOLD  26251  tayl0  26327  taylpfval  26330  efsubm  26518  jensenlem2  26956  jensen  26957  amgmlem  26958  amgm  26959  dchrghm  27225  dchrabs  27229  sum2dchr  27243  lgseisenlem4  27347  qrng0  27590  1fldgenq  33406  gsumind  33428  xrge0slmod  33431  ccfldextdgrr  33831  constrelextdg2  33906  constrsdrg  33934  2sqr3minply  33939  cos9thpiminply  33947  zringnm  34117  rezh  34128  mhphflem  42860  fsumcnsrcl  43429  cnsrplycl  43430  rngunsnply  43432  proot1ex  43459  deg1mhm  43463  2zrng0  48511  amgmwlem  50068  amgmlemALT  50069