Theorem cnfld0 21360

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11415	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 21358	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 20203	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 11232	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 21324	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 21326	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 18963	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 230	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2745	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  0cc0 11134   + caddc 11137  0_gc0g 17458  Grpcgrp 18921  Ringcrg 20198  ℂ_fldccnfld 21320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-cmn 19768  df-mgp 20106  df-ring 20200  df-cring 20201  df-cnfld 21321

This theorem is referenced by:  cnfldneg  21363  cndrng  21366  cndrngOLD  21367  cnflddiv  21368  cnflddivOLD  21369  cnfldinv  21370  cnfldmulg  21371  cnsubmlem  21387  cnsubdrglem  21391  absabv  21397  qsssubdrg  21399  cnmgpabl  21401  cnmsubglem  21403  gzrngunitlem  21405  gzrngunit  21406  gsumfsum  21407  expmhm  21409  nn0srg  21410  rge0srg  21411  zring0  21424  zringunit  21432  expghm  21441  psgninv  21547  zrhpsgnmhm  21549  re0g  21577  regsumsupp  21587  mhpsclcl  22090  mhpvarcl  22091  mhpmulcl  22092  cnfldnm  24722  clm0  25028  cphsubrglem  25134  cphreccllem  25135  tdeglem1  26020  tdeglem3  26021  tdeglem4  26022  plypf1  26174  dvply2g  26249  dvply2gOLD  26250  tayl0  26326  taylpfval  26329  efsubm  26517  jensenlem2  26955  jensen  26956  amgmlem  26957  amgm  26958  dchrghm  27224  dchrabs  27228  sum2dchr  27242  lgseisenlem4  27346  qrng0  27589  1fldgenq  33321  xrge0slmod  33368  ccfldextdgrr  33718  constrelextdg2  33786  constrsdrg  33814  2sqr3minply  33819  cos9thpiminply  33827  zringnm  33994  rezh  34005  mhphflem  42586  fsumcnsrcl  43157  cnsrplycl  43158  rngunsnply  43160  proot1ex  43187  deg1mhm  43191  2zrng0  48186  amgmwlem  49633  amgmlemALT  49634