Theorem cnfld0 21376

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11321	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 21374	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 20219	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 11136	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 21356	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 21358	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 18951	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 230	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2745	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038   + caddc 11041  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18909  Ringcrg 20214  ℂ_fldccnfld 21352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-cmn 19757  df-mgp 20122  df-ring 20216  df-cring 20217  df-cnfld 21353

This theorem is referenced by:  cnfldneg  21378  cndrng  21381  cnflddiv  21382  cnfldinv  21383  cnfldmulg  21384  cnsubmlem  21395  cnsubdrglem  21398  absabv  21404  qsssubdrg  21406  cnmgpabl  21408  cnmsubglem  21410  gzrngunitlem  21412  gzrngunit  21413  gsumfsum  21414  expmhm  21416  nn0srg  21417  rge0srg  21418  zring0  21438  zringunit  21446  expghm  21455  psgninv  21562  zrhpsgnmhm  21564  re0g  21592  regsumsupp  21602  mhpsclcl  22113  mhpvarcl  22114  mhpmulcl  22115  cnfldnm  24743  clm0  25039  cphsubrglem  25144  cphreccllem  25145  tdeglem1  26023  tdeglem3  26024  tdeglem4  26025  plypf1  26177  dvply2g  26251  tayl0  26327  taylpfval  26330  efsubm  26515  jensenlem2  26951  jensen  26952  amgmlem  26953  amgm  26954  dchrghm  27219  dchrabs  27223  sum2dchr  27237  lgseisenlem4  27341  qrng0  27584  1fldgenq  33383  gsumind  33405  xrge0slmod  33408  psrmonprod  33696  esplyfvaln  33718  ccfldextdgrr  33816  constrelextdg2  33891  constrsdrg  33919  2sqr3minply  33924  cos9thpiminply  33932  zringnm  34102  rezh  34113  mhphflem  43029  fsumcnsrcl  43594  cnsrplycl  43595  rngunsnply  43597  proot1ex  43624  deg1mhm  43628  2zrng0  48720  amgmwlem  50277  amgmlemALT  50278