Theorem cnfld0 21385

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11315	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 21383	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 20213	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 11130	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 21351	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 21353	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 18945	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 230	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2746	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  0cc0 11032   + caddc 11035  0_gc0g 17396  Grpcgrp 18903  Ringcrg 20208  ℂ_fldccnfld 21347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-cmn 19751  df-mgp 20116  df-ring 20210  df-cring 20211  df-cnfld 21348

This theorem is referenced by:  cnfldneg  21388  cndrng  21391  cndrngOLD  21392  cnflddiv  21393  cnflddivOLD  21394  cnfldinv  21395  cnfldmulg  21396  cnsubmlem  21407  cnsubdrglem  21411  absabv  21417  qsssubdrg  21419  cnmgpabl  21421  cnmsubglem  21423  gzrngunitlem  21425  gzrngunit  21426  gsumfsum  21427  expmhm  21429  nn0srg  21430  rge0srg  21431  zring0  21451  zringunit  21459  expghm  21468  psgninv  21575  zrhpsgnmhm  21577  re0g  21605  regsumsupp  21615  mhpsclcl  22126  mhpvarcl  22127  mhpmulcl  22128  cnfldnm  24756  clm0  25052  cphsubrglem  25157  cphreccllem  25158  tdeglem1  26036  tdeglem3  26037  tdeglem4  26038  plypf1  26190  dvply2g  26264  dvply2gOLD  26265  tayl0  26341  taylpfval  26344  efsubm  26531  jensenlem2  26968  jensen  26969  amgmlem  26970  amgm  26971  dchrghm  27236  dchrabs  27240  sum2dchr  27254  lgseisenlem4  27358  qrng0  27601  1fldgenq  33401  gsumind  33423  xrge0slmod  33426  psrmonprod  33714  esplyfvaln  33736  ccfldextdgrr  33835  constrelextdg2  33910  constrsdrg  33938  2sqr3minply  33943  cos9thpiminply  33951  zringnm  34121  rezh  34132  mhphflem  43046  fsumcnsrcl  43615  cnsrplycl  43616  rngunsnply  43618  proot1ex  43645  deg1mhm  43649  2zrng0  48735  amgmwlem  50292  amgmlemALT  50293