Theorem cnfld0 21423

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11434	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 21421	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 20256	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 11251	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 21386	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 21388	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 19006	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 230	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2744	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153   + caddc 11156  0_gc0g 17486  Grpcgrp 18964  Ringcrg 20251  ℂ_fldccnfld 21382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-cmn 19815  df-mgp 20153  df-ring 20253  df-cring 20254  df-cnfld 21383

This theorem is referenced by:  cnfldneg  21426  cndrng  21429  cndrngOLD  21430  cnflddiv  21431  cnflddivOLD  21432  cnfldinv  21433  cnfldmulg  21434  cnsubmlem  21450  cnsubdrglem  21454  absabv  21460  qsssubdrg  21462  cnmgpabl  21464  cnmsubglem  21466  gzrngunitlem  21468  gzrngunit  21469  gsumfsum  21470  expmhm  21472  nn0srg  21473  rge0srg  21474  zring0  21487  zringunit  21495  expghm  21504  psgninv  21618  zrhpsgnmhm  21620  re0g  21648  regsumsupp  21658  mhpsclcl  22169  mhpvarcl  22170  mhpmulcl  22171  cnfldnm  24815  clm0  25119  cphsubrglem  25225  cphreccllem  25226  tdeglem1  26112  tdeglem3  26113  tdeglem4  26114  plypf1  26266  dvply2g  26341  dvply2gOLD  26342  tayl0  26418  taylpfval  26421  efsubm  26608  jensenlem2  27046  jensen  27047  amgmlem  27048  amgm  27049  dchrghm  27315  dchrabs  27319  sum2dchr  27333  lgseisenlem4  27437  qrng0  27680  1fldgenq  33304  xrge0slmod  33356  ccfldextdgrr  33697  constrelextdg2  33752  2sqr3minply  33753  zringnm  33919  rezh  33932  mhphflem  42583  fsumcnsrcl  43155  cnsrplycl  43156  rngunsnply  43158  proot1ex  43185  deg1mhm  43189  2zrng0  48088  amgmwlem  49033  amgmlemALT  49034