Theorem cnfld0 21612

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11412	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 21610	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 20380	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 11225	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 21592	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 21594	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 19102	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 233	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2769	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  0cc0 11127   + caddc 11130  0_gc0g 17527  Grpcgrp 19060  Ringcrg 20375  ℂ_fldccnfld 21588

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-grp 19063  df-cmn 19912  df-mgp 20277  df-ring 20377  df-cring 20378  df-cnfld 21589

This theorem is used by:  cnfldneg  21614  cndrng  21617  cnflddiv  21618  cnfldinv  21619  cnfldmulg  21620  cnsubmlem  21631  cnsubdrglem  21634  absabv  21640  qsssubdrg  21642  cnmgpabl  21644  cnmsubglem  21646  gzrngunitlem  21648  gzrngunit  21649  gsumfsum  21650  expmhm  21652  nn0srg  21653  rge0srg  21654  zring0  21674  zringunit  21682  expghm  21691  psgninv  21798  zrhpsgnmhm  21800  re0g  21828  regsumsupp  21838  mhpsclcl  22378  mhpvarcl  22379  mhpmulcl  22380  cnfldnm  25007  clm0  25303  cphsubrglem  25408  cphreccllem  25409  tdeglem1  26286  tdeglem3  26287  tdeglem4  26288  plypf1  26441  dvply2g  26518  tayl0  26601  taylpfval  26604  efsubm  26791  jensenlem2  27227  jensen  27228  amgmlem  27229  amgm  27230  dchrghm  27495  dchrabs  27499  sum2dchr  27513  lgseisenlem4  27617  qrng0  27860  1fldgenq  33766  gsumind  33788  xrge0slmod  33791  psrmonprod  34065  esplyfvaln  34087  ccfldextdgrr  34185  constrelextdg2  34260  constrsdrg  34288  2sqr3minply  34293  cos9thpiminply  34301  zringnm  34471  rezh  34482  mhphflem  43445  fsumcnsrcl  44010  cnsrplycl  44011  rngunsnply  44013  proot1ex  44040  deg1mhm  44044  2zrng0  49162  amgmwlem  50823  amgmlemALT  50824