Theorem cnfld0 21515

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11385	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 21513	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 20320	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 11198	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 21495	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 21497	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 19042	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 233	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2778	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  0cc0 11100   + caddc 11103  0_gc0g 17492  Grpcgrp 19000  Ringcrg 20315  ℂ_fldccnfld 21491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-cmn 19852  df-mgp 20217  df-ring 20317  df-cring 20318  df-cnfld 21492

This theorem is referenced by:  cnfldneg  21517  cndrng  21520  cnflddiv  21521  cnfldinv  21522  cnfldmulg  21523  cnsubmlem  21534  cnsubdrglem  21537  absabv  21543  qsssubdrg  21545  cnmgpabl  21547  cnmsubglem  21549  gzrngunitlem  21551  gzrngunit  21552  gsumfsum  21553  expmhm  21555  nn0srg  21556  rge0srg  21557  zring0  21577  zringunit  21585  expghm  21594  psgninv  21701  zrhpsgnmhm  21703  re0g  21731  regsumsupp  21741  mhpsclcl  22279  mhpvarcl  22280  mhpmulcl  22281  cnfldnm  24904  clm0  25200  cphsubrglem  25305  cphreccllem  25306  tdeglem1  26184  tdeglem3  26185  tdeglem4  26186  plypf1  26338  dvply2g  26415  tayl0  26491  taylpfval  26494  efsubm  26682  jensenlem2  27118  jensen  27119  amgmlem  27120  amgm  27121  dchrghm  27386  dchrabs  27390  sum2dchr  27404  lgseisenlem4  27508  qrng0  27751  1fldgenq  33586  gsumind  33608  xrge0slmod  33611  psrmonprod  33887  esplyfvaln  33909  ccfldextdgrr  34007  constrelextdg2  34082  constrsdrg  34110  2sqr3minply  34115  cos9thpiminply  34123  zringnm  34293  rezh  34304  mhphflem  43254  fsumcnsrcl  43819  cnsrplycl  43820  rngunsnply  43822  proot1ex  43849  deg1mhm  43853  2zrng0  48932  amgmwlem  50510  amgmlemALT  50511