Theorem cnfld0 21598

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11402	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 21596	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 20366	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 11215	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 21578	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 21580	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 19088	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 233	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2774	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  0cc0 11117   + caddc 11120  0_gc0g 17516  Grpcgrp 19046  Ringcrg 20361  ℂ_fldccnfld 21574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-addf 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-grp 19049  df-cmn 19898  df-mgp 20263  df-ring 20363  df-cring 20364  df-cnfld 21575

This theorem is used by:  cnfldneg  21600  cndrng  21603  cnflddiv  21604  cnfldinv  21605  cnfldmulg  21606  cnsubmlem  21617  cnsubdrglem  21620  absabv  21626  qsssubdrg  21628  cnmgpabl  21630  cnmsubglem  21632  gzrngunitlem  21634  gzrngunit  21635  gsumfsum  21636  expmhm  21638  nn0srg  21639  rge0srg  21640  zring0  21660  zringunit  21668  expghm  21677  psgninv  21784  zrhpsgnmhm  21786  re0g  21814  regsumsupp  21824  mhpsclcl  22362  mhpvarcl  22363  mhpmulcl  22364  cnfldnm  24988  clm0  25284  cphsubrglem  25389  cphreccllem  25390  tdeglem1  26268  tdeglem3  26269  tdeglem4  26270  plypf1  26422  dvply2g  26499  tayl0  26578  taylpfval  26581  efsubm  26769  jensenlem2  27205  jensen  27206  amgmlem  27207  amgm  27208  dchrghm  27473  dchrabs  27477  sum2dchr  27491  lgseisenlem4  27595  qrng0  27838  1fldgenq  33709  gsumind  33731  xrge0slmod  33734  psrmonprod  34008  esplyfvaln  34030  ccfldextdgrr  34128  constrelextdg2  34203  constrsdrg  34231  2sqr3minply  34236  cos9thpiminply  34244  zringnm  34414  rezh  34425  mhphflem  43388  fsumcnsrcl  43953  cnsrplycl  43954  rngunsnply  43956  proot1ex  43983  deg1mhm  43987  2zrng0  49068  amgmwlem  50709  amgmlemALT  50710