Theorem cnfld0 20534

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11080	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 20532	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 19703	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 10898	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 20514	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 20515	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 18530	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 229	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2747	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   + caddc 10805  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  Ringcrg 19698  ℂ_fldccnfld 20510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ring 19700  df-cring 19701  df-cnfld 20511

This theorem is referenced by:  cnfldneg  20536  cndrng  20539  cnflddiv  20540  cnfldinv  20541  cnfldmulg  20542  cnsubmlem  20558  cnsubdrglem  20561  absabv  20567  qsssubdrg  20569  cnmgpabl  20571  cnmsubglem  20573  gzrngunitlem  20575  gzrngunit  20576  gsumfsum  20577  expmhm  20579  nn0srg  20580  rge0srg  20581  zring0  20592  zringunit  20600  expghm  20609  psgninv  20699  zrhpsgnmhm  20701  re0g  20729  regsumsupp  20739  mhpsclcl  21247  mhpvarcl  21248  mhpmulcl  21249  cnfldnm  23848  clm0  24141  cphsubrglem  24246  cphreccllem  24247  tdeglem1  25125  tdeglem1OLD  25126  tdeglem3  25127  tdeglem3OLD  25128  tdeglem4  25129  tdeglem4OLD  25130  plypf1  25278  dvply2g  25350  tayl0  25426  taylpfval  25429  efsubm  25612  jensenlem2  26042  jensen  26043  amgmlem  26044  amgm  26045  dchrghm  26309  dchrabs  26313  sum2dchr  26327  lgseisenlem4  26431  qrng0  26674  xrge0slmod  31450  ccfldextdgrr  31644  zringnm  31810  rezh  31821  mhphflem  40207  fsumcnsrcl  40907  cnsrplycl  40908  rngunsnply  40914  proot1ex  40942  deg1mhm  40948  2zrng0  45384  amgmwlem  46392  amgmlemALT  46393