Theorem cnfld0 21362

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11320	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 21360	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 20188	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 11136	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 21328	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 21330	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 18920	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 230	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2746	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038   + caddc 11041  0_gc0g 17371  Grpcgrp 18878  Ringcrg 20183  ℂ_fldccnfld 21324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18881  df-cmn 19726  df-mgp 20091  df-ring 20185  df-cring 20186  df-cnfld 21325

This theorem is referenced by:  cnfldneg  21365  cndrng  21368  cndrngOLD  21369  cnflddiv  21370  cnflddivOLD  21371  cnfldinv  21372  cnfldmulg  21373  cnsubmlem  21384  cnsubdrglem  21388  absabv  21394  qsssubdrg  21396  cnmgpabl  21398  cnmsubglem  21400  gzrngunitlem  21402  gzrngunit  21403  gsumfsum  21404  expmhm  21406  nn0srg  21407  rge0srg  21408  zring0  21428  zringunit  21436  expghm  21445  psgninv  21552  zrhpsgnmhm  21554  re0g  21582  regsumsupp  21592  mhpsclcl  22105  mhpvarcl  22106  mhpmulcl  22107  cnfldnm  24737  clm0  25043  cphsubrglem  25148  cphreccllem  25149  tdeglem1  26034  tdeglem3  26035  tdeglem4  26036  plypf1  26188  dvply2g  26263  dvply2gOLD  26264  tayl0  26340  taylpfval  26343  efsubm  26531  jensenlem2  26969  jensen  26970  amgmlem  26971  amgm  26972  dchrghm  27238  dchrabs  27242  sum2dchr  27256  lgseisenlem4  27360  qrng0  27603  1fldgenq  33420  gsumind  33442  xrge0slmod  33445  psrmonprod  33733  esplyfvaln  33755  ccfldextdgrr  33854  constrelextdg2  33929  constrsdrg  33957  2sqr3minply  33962  cos9thpiminply  33970  zringnm  34140  rezh  34151  mhphflem  42958  fsumcnsrcl  43527  cnsrplycl  43528  rngunsnply  43530  proot1ex  43557  deg1mhm  43561  2zrng0  48608  amgmwlem  50165  amgmlemALT  50166