Theorem cnfld0 21345

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11306	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 21343	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 20171	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 11122	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 21311	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 21313	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 18903	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 230	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2743	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  0cc0 11024   + caddc 11027  0_gc0g 17357  Grpcgrp 18861  Ringcrg 20166  ℂ_fldccnfld 21307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-cmn 19709  df-mgp 20074  df-ring 20168  df-cring 20169  df-cnfld 21308

This theorem is referenced by:  cnfldneg  21348  cndrng  21351  cndrngOLD  21352  cnflddiv  21353  cnflddivOLD  21354  cnfldinv  21355  cnfldmulg  21356  cnsubmlem  21367  cnsubdrglem  21371  absabv  21377  qsssubdrg  21379  cnmgpabl  21381  cnmsubglem  21383  gzrngunitlem  21385  gzrngunit  21386  gsumfsum  21387  expmhm  21389  nn0srg  21390  rge0srg  21391  zring0  21411  zringunit  21419  expghm  21428  psgninv  21535  zrhpsgnmhm  21537  re0g  21565  regsumsupp  21575  mhpsclcl  22088  mhpvarcl  22089  mhpmulcl  22090  cnfldnm  24720  clm0  25026  cphsubrglem  25131  cphreccllem  25132  tdeglem1  26017  tdeglem3  26018  tdeglem4  26019  plypf1  26171  dvply2g  26246  dvply2gOLD  26247  tayl0  26323  taylpfval  26326  efsubm  26514  jensenlem2  26952  jensen  26953  amgmlem  26954  amgm  26955  dchrghm  27221  dchrabs  27225  sum2dchr  27239  lgseisenlem4  27343  qrng0  27586  1fldgenq  33353  gsumind  33375  xrge0slmod  33378  ccfldextdgrr  33778  constrelextdg2  33853  constrsdrg  33881  2sqr3minply  33886  cos9thpiminply  33894  zringnm  34064  rezh  34075  mhphflem  42781  fsumcnsrcl  43350  cnsrplycl  43351  rngunsnply  43353  proot1ex  43380  deg1mhm  43384  2zrng0  48432  amgmwlem  49989  amgmlemALT  49990