Theorem cnfld0 21340

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11402	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 21338	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 20183	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 11219	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 21304	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 21306	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 18943	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 230	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2743	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  ℂcc 11119  0cc0 11121   + caddc 11124  0_gc0g 17438  Grpcgrp 18901  Ringcrg 20178  ℂ_fldccnfld 21300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-addf 11200

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-n0 12494  df-z 12581  df-dec 12701  df-uz 12845  df-fz 13514  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-starv 17271  df-tset 17275  df-ple 17276  df-ds 17278  df-unif 17279  df-0g 17440  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18904  df-cmn 19748  df-mgp 20086  df-ring 20180  df-cring 20181  df-cnfld 21301

This theorem is referenced by:  cnfldneg  21343  cndrng  21346  cndrngOLD  21347  cnflddiv  21348  cnflddivOLD  21349  cnfldinv  21350  cnfldmulg  21351  cnsubmlem  21367  cnsubdrglem  21371  absabv  21377  qsssubdrg  21379  cnmgpabl  21381  cnmsubglem  21383  gzrngunitlem  21385  gzrngunit  21386  gsumfsum  21387  expmhm  21389  nn0srg  21390  rge0srg  21391  zring0  21404  zringunit  21412  expghm  21421  psgninv  21527  zrhpsgnmhm  21529  re0g  21557  regsumsupp  21567  mhpsclcl  22070  mhpvarcl  22071  mhpmulcl  22072  cnfldnm  24702  clm0  25008  cphsubrglem  25114  cphreccllem  25115  tdeglem1  26000  tdeglem3  26001  tdeglem4  26002  plypf1  26154  dvply2g  26229  dvply2gOLD  26230  tayl0  26306  taylpfval  26309  efsubm  26496  jensenlem2  26934  jensen  26935  amgmlem  26936  amgm  26937  dchrghm  27203  dchrabs  27207  sum2dchr  27221  lgseisenlem4  27325  qrng0  27568  1fldgenq  33234  xrge0slmod  33281  ccfldextdgrr  33629  constrelextdg2  33697  constrsdrg  33725  2sqr3minply  33730  zringnm  33897  rezh  33908  mhphflem  42544  fsumcnsrcl  43115  cnsrplycl  43116  rngunsnply  43118  proot1ex  43145  deg1mhm  43149  2zrng0  48105  amgmwlem  49386  amgmlemALT  49387