MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfld0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfld0 20043
Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnfld0 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0
StepHypRef Expression
1 00id 10465 . . 3 (0 + 0) = 0
2 cnring 20041 . . . . 5 fld ∈ Ring
3 ringgrp 18819 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Grp
5 0cn 10285 . . . 4 0 ∈ ℂ
6 cnfldbas 20023 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
7 cnfldadd 20024 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
8 eqid 2765 . . . . 5 (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
96, 7, 8grpid 17724 . . . 4 ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
104, 5, 9mp2an 683 . . 3 ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
111, 10mpbi 221 . 2 (0g‘ℂfld) = 0
1211eqcomi 2774 1 0 = (0g‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197   = wceq 1652  wcel 2155  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  0cc0 10189   + caddc 10192  0gc0g 16366  Grpcgrp 17689  Ringcrg 18814  fldccnfld 20019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-fz 12534  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-0g 16368  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-grp 17692  df-cmn 18461  df-mgp 18757  df-ring 18816  df-cring 18817  df-cnfld 20020
This theorem is referenced by:  cnfldneg  20045  cndrng  20048  cnflddiv  20049  cnfldinv  20050  cnfldmulg  20051  cnsubmlem  20067  cnsubdrglem  20070  absabv  20076  qsssubdrg  20078  cnmgpabl  20080  cnmsubglem  20082  gzrngunitlem  20084  gzrngunit  20085  gsumfsum  20086  expmhm  20088  nn0srg  20089  rge0srg  20090  zring0  20101  zringunit  20109  expghm  20117  psgninv  20200  zrhpsgnmhm  20202  re0g  20232  regsumsupp  20242  cnfldnm  22861  clm0  23150  cphsubrglem  23255  cphreccllem  23256  tdeglem1  24109  tdeglem3  24110  tdeglem4  24111  plypf1  24259  dvply2g  24331  tayl0  24407  taylpfval  24410  efsubm  24589  jensenlem2  25005  jensen  25006  amgmlem  25007  amgm  25008  dchrghm  25272  dchrabs  25276  sum2dchr  25290  lgseisenlem4  25394  qrng0  25601  xrge0slmod  30291  zringnm  30451  rezh  30462  fsumcnsrcl  38413  cnsrplycl  38414  rngunsnply  38420  proot1ex  38456  deg1mhm  38462  2zrng0  42607  amgmwlem  43220  amgmlemALT  43221
  Copyright terms: Public domain W3C validator