Theorem cnfld0 21702

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11485	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 21700	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 20464	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 11298	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 21682	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 21684	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 19186	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 233	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2770	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200   + caddc 11203  0_gc0g 17610  Grpcgrp 19144  Ringcrg 20459  ℂ_fldccnfld 21678

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-cmn 19996  df-mgp 20361  df-ring 20461  df-cring 20462  df-cnfld 21679

This theorem is used by:  cnfldneg  21704  cndrng  21707  cnflddiv  21708  cnfldinv  21709  cnfldmulg  21710  cnsubmlem  21721  cnsubdrglem  21724  absabv  21730  qsssubdrg  21732  cnmgpabl  21734  cnmsubglem  21736  gzrngunitlem  21738  gzrngunit  21739  gsumfsum  21740  expmhm  21742  nn0srg  21743  rge0srg  21744  zring0  21764  zringunit  21772  expghm  21781  psgninv  21888  zrhpsgnmhm  21890  re0g  21918  regsumsupp  21928  mhpsclcl  22468  mhpvarcl  22469  mhpmulcl  22470  cnfldnm  25097  clm0  25393  cphsubrglem  25498  cphreccllem  25499  tdeglem1  26376  tdeglem3  26377  tdeglem4  26378  plypf1  26531  dvply2g  26606  tayl0  26689  taylpfval  26692  efsubm  26879  jensenlem2  27315  jensen  27316  amgmlem  27317  amgm  27318  dchrghm  27583  dchrabs  27587  sum2dchr  27601  lgseisenlem4  27705  qrng0  27948  1fldgenq  33884  gsumind  33906  xrge0slmod  33909  psrmonprod  34184  esplyfvaln  34206  ccfldextdgrr  34304  constrelextdg2  34379  constrsdrg  34407  2sqr3minply  34412  cos9thpiminply  34420  zringnm  34590  rezh  34601  mhphflem  43624  fsumcnsrcl  44167  cnsrplycl  44168  rngunsnply  44170  proot1ex  44197  deg1mhm  44201  2zrng0  49340  amgmwlem  50986  amgmlemALT  50987