MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfld0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfld0 20561
Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnfld0 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0
StepHypRef Expression
1 00id 10807 . . 3 (0 + 0) = 0
2 cnring 20559 . . . . 5 fld ∈ Ring
3 ringgrp 19294 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Grp
5 0cn 10625 . . . 4 0 ∈ ℂ
6 cnfldbas 20541 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
7 cnfldadd 20542 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
8 eqid 2819 . . . . 5 (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
96, 7, 8grpid 18131 . . . 4 ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
104, 5, 9mp2an 690 . . 3 ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
111, 10mpbi 232 . 2 (0g‘ℂfld) = 0
1211eqcomi 2828 1 0 = (0g‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208   = wceq 1531  wcel 2108  cfv 6348  (class class class)co 7148  cc 10527  0cc0 10529   + caddc 10532  0gc0g 16705  Grpcgrp 18095  Ringcrg 19289  fldccnfld 20537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-cmn 18900  df-mgp 19232  df-ring 19291  df-cring 19292  df-cnfld 20538
This theorem is referenced by:  cnfldneg  20563  cndrng  20566  cnflddiv  20567  cnfldinv  20568  cnfldmulg  20569  cnsubmlem  20585  cnsubdrglem  20588  absabv  20594  qsssubdrg  20596  cnmgpabl  20598  cnmsubglem  20600  gzrngunitlem  20602  gzrngunit  20603  gsumfsum  20604  expmhm  20606  nn0srg  20607  rge0srg  20608  zring0  20619  zringunit  20627  expghm  20635  psgninv  20718  zrhpsgnmhm  20720  re0g  20748  regsumsupp  20758  cnfldnm  23379  clm0  23668  cphsubrglem  23773  cphreccllem  23774  tdeglem1  24644  tdeglem3  24645  tdeglem4  24646  plypf1  24794  dvply2g  24866  tayl0  24942  taylpfval  24945  efsubm  25127  jensenlem2  25557  jensen  25558  amgmlem  25559  amgm  25560  dchrghm  25824  dchrabs  25828  sum2dchr  25842  lgseisenlem4  25946  qrng0  26189  xrge0slmod  30910  ccfldextdgrr  31050  zringnm  31194  rezh  31205  fsumcnsrcl  39757  cnsrplycl  39758  rngunsnply  39764  proot1ex  39792  deg1mhm  39798  2zrng0  44200  amgmwlem  44894  amgmlemALT  44895
  Copyright terms: Public domain W3C validator