Theorem cnfld0 21406

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11437	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 21404	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 20236	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 11254	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 21369	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 21371	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 18994	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 230	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2745	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  0cc0 11156   + caddc 11159  0_gc0g 17485  Grpcgrp 18952  Ringcrg 20231  ℂ_fldccnfld 21365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-cmn 19801  df-mgp 20139  df-ring 20233  df-cring 20234  df-cnfld 21366

This theorem is referenced by:  cnfldneg  21409  cndrng  21412  cndrngOLD  21413  cnflddiv  21414  cnflddivOLD  21415  cnfldinv  21416  cnfldmulg  21417  cnsubmlem  21433  cnsubdrglem  21437  absabv  21443  qsssubdrg  21445  cnmgpabl  21447  cnmsubglem  21449  gzrngunitlem  21451  gzrngunit  21452  gsumfsum  21453  expmhm  21455  nn0srg  21456  rge0srg  21457  zring0  21470  zringunit  21478  expghm  21487  psgninv  21601  zrhpsgnmhm  21603  re0g  21631  regsumsupp  21641  mhpsclcl  22152  mhpvarcl  22153  mhpmulcl  22154  cnfldnm  24800  clm0  25106  cphsubrglem  25212  cphreccllem  25213  tdeglem1  26098  tdeglem3  26099  tdeglem4  26100  plypf1  26252  dvply2g  26327  dvply2gOLD  26328  tayl0  26404  taylpfval  26407  efsubm  26594  jensenlem2  27032  jensen  27033  amgmlem  27034  amgm  27035  dchrghm  27301  dchrabs  27305  sum2dchr  27319  lgseisenlem4  27423  qrng0  27666  1fldgenq  33325  xrge0slmod  33377  ccfldextdgrr  33723  constrelextdg2  33789  2sqr3minply  33792  zringnm  33958  rezh  33971  mhphflem  42611  fsumcnsrcl  43183  cnsrplycl  43184  rngunsnply  43186  proot1ex  43213  deg1mhm  43217  2zrng0  48165  amgmwlem  49376  amgmlemALT  49377