MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crctcshlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcshlem2 28649
Description: Lemma for crctcsh 28655. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
Assertion
Ref Expression
crctcshlem2 (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)

Proof of Theorem crctcshlem2
StepHypRef Expression
1 crctcsh.d . . . 4 (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
2 crctiswlk 28630 . . . 4 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3 crctcsh.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
43wlkf 28448 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
51, 2, 43syl 18 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
6 crctcsh.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
7 elfzoelz 13564 . . . 4 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
9 cshwlen 14679 . . 3 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑆 ∈ ℤ) → (♯‘(𝐹 cyclShift 𝑆)) = (♯‘𝐹))
105, 8, 9syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (♯‘(𝐹 cyclShift 𝑆)) = (♯‘𝐹))
11 crctcsh.h . . 3 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
1211fveq2i 6842 . 2 (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 cyclShift 𝑆))
13 crctcsh.n . 2 𝑁 = (♯‘𝐹)
1410, 12, 133eqtr4g 2801 1 (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5103  dom cdm 5631  cfv 6493  (class class class)co 7353  0cc0 11047  cz 12495  ..^cfzo 13559  chash 14222  Word cword 14394   cyclShift ccsh 14668  Vtxcvtx 27833  iEdgciedg 27834  Walkscwlks 28430  Circuitsccrcts 28618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9374  df-inf 9375  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-rp 12908  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-fl 13689  df-mod 13767  df-hash 14223  df-word 14395  df-concat 14451  df-substr 14521  df-pfx 14551  df-csh 14669  df-wlks 28433  df-trls 28526  df-crcts 28620
This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0  28652  crctcsh  28655  eucrctshift  29073
  Copyright terms: Public domain W3C validator