Theorem crctcshlem2 27688

Description: Lemma for crctcsh 27694. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcsh.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
crctcshlem2	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)

Proof of Theorem crctcshlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcsh.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
2		crctiswlk 27669	. . . 4 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3		crctcsh.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4	3	wlkf 27488	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
5	1, 2, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
6		crctcsh.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
7		elfzoelz 13072	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
9		cshwlen 14193	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (♯‘(𝐹 cyclShift 𝑆)) = (♯‘𝐹))
10	5, 8, 9	syl2anc 588	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 cyclShift 𝑆)) = (♯‘𝐹))
11		crctcsh.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
12	11	fveq2i 6654	. 2 ⊢ (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 cyclShift 𝑆))
13		crctcsh.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
14	10, 12, 13	3eqtr4g 2819	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5025  dom cdm 5517  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  0cc0 10560  ℤcz 12005  ..^cfzo 13067  ♯chash 13725  Word cword 13898   cyclShift ccsh 14182  Vtxcvtx 26873  iEdgciedg 26874  Walkscwlks 27470  Circuitsccrcts 27657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637  ax-pre-sup 10638

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-sup 8924  df-inf 8925  df-card 9386  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-div 11321  df-nn 11660  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-rp 12416  df-fz 12925  df-fzo 13068  df-fl 13196  df-mod 13272  df-hash 13726  df-word 13899  df-concat 13955  df-substr 14035  df-pfx 14065  df-csh 14183  df-wlks 27473  df-trls 27566  df-crcts 27659

This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0  27691  crctcsh  27694  eucrctshift  28112