MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crctcshlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcshlem4 28807
Description: Lemma for crctcsh 28811. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
crctcsh.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
crctcsh.d (πœ‘ β†’ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃)
crctcsh.n 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
crctcsh.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q 𝑄 = (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ if(π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcshlem4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = 0) β†’ (𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑆   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐻(π‘₯)   𝐼(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem crctcshlem4
StepHypRef Expression
1 crctcsh.h . . 3 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
2 oveq2 7366 . . . 4 (𝑆 = 0 β†’ (𝐹 cyclShift 𝑆) = (𝐹 cyclShift 0))
3 crctcsh.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃)
4 crctiswlk 28786 . . . . . 6 (𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
5 crctcsh.i . . . . . . 7 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
65wlkf 28604 . . . . . 6 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
73, 4, 63syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
8 cshw0 14688 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 β†’ (𝐹 cyclShift 0) = 𝐹)
97, 8syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 cyclShift 0) = 𝐹)
102, 9sylan9eqr 2795 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = 0) β†’ (𝐹 cyclShift 𝑆) = 𝐹)
111, 10eqtrid 2785 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = 0) β†’ 𝐻 = 𝐹)
12 crctcsh.q . . 3 𝑄 = (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ if(π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁))))
13 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (𝑆 = 0 β†’ (𝑁 βˆ’ 𝑆) = (𝑁 βˆ’ 0))
14 crctcsh.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
15 crctcsh.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
1614, 5, 3, 15crctcshlem1 28804 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1716nn0cnd 12480 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1817subid1d 11506 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 0) = 𝑁)
1913, 18sylan9eqr 2795 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = 0) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝑆) = 𝑁)
2019breq2d 5118 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = 0) β†’ (π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆) ↔ π‘₯ ≀ 𝑁))
2120adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑆 = 0) ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆) ↔ π‘₯ ≀ 𝑁))
22 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (𝑆 = 0 β†’ (π‘₯ + 𝑆) = (π‘₯ + 0))
2322adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = 0) β†’ (π‘₯ + 𝑆) = (π‘₯ + 0))
24 elfzelz 13447 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
2524zcnd 12613 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2625addid1d 11360 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0...𝑁) β†’ (π‘₯ + 0) = π‘₯)
2723, 26sylan9eq 2793 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑆 = 0) ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘₯ + 𝑆) = π‘₯)
2827fveq2d 6847 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑆 = 0) ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)) = (π‘ƒβ€˜π‘₯))
2927fvoveq1d 7380 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑆 = 0) ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁)) = (π‘ƒβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑁)))
3021, 28, 29ifbieq12d 4515 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑆 = 0) ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑁)) β†’ if(π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁))) = if(π‘₯ ≀ 𝑁, (π‘ƒβ€˜π‘₯), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑁))))
3130mpteq2dva 5206 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = 0) β†’ (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ if(π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁)))) = (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ if(π‘₯ ≀ 𝑁, (π‘ƒβ€˜π‘₯), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑁)))))
32 elfzle2 13451 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘₯ ≀ 𝑁)
3332adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘₯ ≀ 𝑁)
3433iftrued 4495 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0...𝑁)) β†’ if(π‘₯ ≀ 𝑁, (π‘ƒβ€˜π‘₯), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑁))) = (π‘ƒβ€˜π‘₯))
3534mpteq2dva 5206 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ if(π‘₯ ≀ 𝑁, (π‘ƒβ€˜π‘₯), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑁)))) = (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
3614wlkp 28606 . . . . . . . 8 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰)
373, 4, 363syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰)
38 ffn 6669 . . . . . . . . . . 11 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ β†’ 𝑃 Fn (0...(β™―β€˜πΉ)))
3915eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (β™―β€˜πΉ) = 𝑁
4039oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . 12 (0...(β™―β€˜πΉ)) = (0...𝑁)
4140fneq2i 6601 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 Fn (0...(β™―β€˜πΉ)) ↔ 𝑃 Fn (0...𝑁))
4238, 41sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ β†’ 𝑃 Fn (0...𝑁))
4342adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰) β†’ 𝑃 Fn (0...𝑁))
44 dffn5 6902 . . . . . . . . 9 (𝑃 Fn (0...𝑁) ↔ 𝑃 = (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
4543, 44sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰) β†’ 𝑃 = (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ (π‘ƒβ€˜π‘₯)))
4645eqcomd 2739 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰) β†’ (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ (π‘ƒβ€˜π‘₯)) = 𝑃)
4737, 46mpdan 686 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ (π‘ƒβ€˜π‘₯)) = 𝑃)
4835, 47eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ if(π‘₯ ≀ 𝑁, (π‘ƒβ€˜π‘₯), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑁)))) = 𝑃)
4948adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = 0) β†’ (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ if(π‘₯ ≀ 𝑁, (π‘ƒβ€˜π‘₯), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑁)))) = 𝑃)
5031, 49eqtrd 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = 0) β†’ (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ if(π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁)))) = 𝑃)
5112, 50eqtrid 2785 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = 0) β†’ 𝑄 = 𝑃)
5211, 51jca 513 1 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = 0) β†’ (𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4487   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056   + caddc 11059   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  ...cfz 13430  ..^cfzo 13573  β™―chash 14236  Word cword 14408   cyclShift ccsh 14682  Vtxcvtx 27989  iEdgciedg 27990  Walkscwlks 28586  Circuitsccrcts 28774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-hash 14237  df-word 14409  df-concat 14465  df-substr 14535  df-pfx 14565  df-csh 14683  df-wlks 28589  df-trls 28682  df-crcts 28776
This theorem is referenced by:  crctcshwlk  28809  crctcsh  28811
  Copyright terms: Public domain W3C validator