Theorem crctcshlem4 29784

Description: Lemma for crctcsh 29788. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcsh.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcshlem4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem crctcshlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcsh.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
2		oveq2 7361	. . . 4 ⊢ (𝑆 = 0 → (𝐹 cyclShift 𝑆) = (𝐹 cyclShift 0))
3		crctcsh.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4		crctiswlk 29760	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
5		crctcsh.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
6	5	wlkf 29579	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
7		cshw0 14719	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝐹 cyclShift 0) = 𝐹)
8	3, 4, 6, 7	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 cyclShift 0) = 𝐹)
9	2, 8	sylan9eqr 2786	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝐹 cyclShift 𝑆) = 𝐹)
10	1, 9	eqtrid 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝐻 = 𝐹)
11		crctcsh.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
12		oveq2 7361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = 0 → (𝑁 − 𝑆) = (𝑁 − 0))
13		crctcsh.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
14		crctcsh.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
15	13, 5, 3, 14	crctcshlem1 29781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	15	nn0cnd 12466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
17	16	subid1d 11483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 0) = 𝑁)
18	12, 17	sylan9eqr 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑁 − 𝑆) = 𝑁)
19	18	breq2d 5107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝑥 ≤ 𝑁))
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝑥 ≤ 𝑁))
21		oveq2 7361	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = 0 → (𝑥 + 𝑆) = (𝑥 + 0))
22	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑥 + 𝑆) = (𝑥 + 0))
23		elfzelz 13446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ∈ ℂ)
25	24	addridd 11335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑁) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
26	22, 25	sylan9eq 2784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥 + 𝑆) = 𝑥)
27	26	fveq2d 6830	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘𝑥))
28	26	fvoveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(𝑥 − 𝑁)))
29	20, 27, 28	ifbieq12d 4507	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁))))
30	29	mpteq2dva 5188	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁)))))
31		elfzle2 13450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ≤ 𝑁)
32	31	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → 𝑥 ≤ 𝑁)
33	32	iftrued 4486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁))) = (𝑃‘𝑥))
34	33	mpteq2dva 5188	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃‘𝑥)))
35	13	wlkp 29581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
36	3, 4, 35	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
37		ffn 6656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)))
38	14	eqcomi 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
39	38	oveq2i 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...𝑁)
40	39	fneq2i 6584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)) ↔ 𝑃 Fn (0...𝑁))
41	37, 40	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 Fn (0...𝑁))
42	41	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → 𝑃 Fn (0...𝑁))
43		dffn5 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 Fn (0...𝑁) ↔ 𝑃 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃‘𝑥)))
44	42, 43	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → 𝑃 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃‘𝑥)))
45	44	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃‘𝑥)) = 𝑃)
46	36, 45	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃‘𝑥)) = 𝑃)
47	34, 46	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁)))) = 𝑃)
48	47	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁)))) = 𝑃)
49	30, 48	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))) = 𝑃)
50	11, 49	eqtrid 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝑄 = 𝑃)
51	10, 50	jca 511	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4478   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5623   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028   + caddc 11031   ≤ cle 11169   − cmin 11366  ...cfz 13429  ..^cfzo 13576  ♯chash 14256  Word cword 14439   cyclShift ccsh 14713  Vtxcvtx 28960  iEdgciedg 28961  Walkscwlks 29561  Circuitsccrcts 29748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-rp 12913  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-fl 13715  df-mod 13793  df-hash 14257  df-word 14440  df-concat 14497  df-substr 14567  df-pfx 14597  df-csh 14714  df-wlks 29564  df-trls 29655  df-crcts 29750

This theorem is referenced by:  crctcshwlk  29786  crctcsh  29788