MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crctcshlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcshlem4 29840
Description: Lemma for crctcsh 29844. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcshlem4 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem crctcshlem4
StepHypRef Expression
1 crctcsh.h . . 3 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
2 oveq2 7439 . . . 4 (𝑆 = 0 → (𝐹 cyclShift 𝑆) = (𝐹 cyclShift 0))
3 crctcsh.d . . . . 5 (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4 crctiswlk 29816 . . . . 5 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
5 crctcsh.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
65wlkf 29632 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
7 cshw0 14832 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝐹 cyclShift 0) = 𝐹)
83, 4, 6, 74syl 19 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 cyclShift 0) = 𝐹)
92, 8sylan9eqr 2799 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝐹 cyclShift 𝑆) = 𝐹)
101, 9eqtrid 2789 . 2 ((𝜑𝑆 = 0) → 𝐻 = 𝐹)
11 crctcsh.q . . 3 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
12 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑆 = 0 → (𝑁𝑆) = (𝑁 − 0))
13 crctcsh.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
14 crctcsh.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (♯‘𝐹)
1513, 5, 3, 14crctcshlem1 29837 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1615nn0cnd 12589 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1716subid1d 11609 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 − 0) = 𝑁)
1812, 17sylan9eqr 2799 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝑁𝑆) = 𝑁)
1918breq2d 5155 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝑥 ≤ (𝑁𝑆) ↔ 𝑥𝑁))
2019adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥 ≤ (𝑁𝑆) ↔ 𝑥𝑁))
21 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑆 = 0 → (𝑥 + 𝑆) = (𝑥 + 0))
2221adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝑥 + 𝑆) = (𝑥 + 0))
23 elfzelz 13564 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
2423zcnd 12723 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ∈ ℂ)
2524addridd 11461 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
2622, 25sylan9eq 2797 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥 + 𝑆) = 𝑥)
2726fveq2d 6910 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃𝑥))
2826fvoveq1d 7453 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(𝑥𝑁)))
2920, 27, 28ifbieq12d 4554 . . . . 5 (((𝜑𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝑥𝑁, (𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥𝑁))))
3029mpteq2dva 5242 . . . 4 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥𝑁, (𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥𝑁)))))
31 elfzle2 13568 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥𝑁)
3231adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁)) → 𝑥𝑁)
3332iftrued 4533 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑥𝑁, (𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥𝑁))) = (𝑃𝑥))
3433mpteq2dva 5242 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥𝑁, (𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑥)))
3513wlkp 29634 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
363, 4, 353syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
37 ffn 6736 . . . . . . . . . . 11 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)))
3814eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘𝐹) = 𝑁
3938oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . 12 (0...(♯‘𝐹)) = (0...𝑁)
4039fneq2i 6666 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)) ↔ 𝑃 Fn (0...𝑁))
4137, 40sylib 218 . . . . . . . . . 10 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉𝑃 Fn (0...𝑁))
4241adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → 𝑃 Fn (0...𝑁))
43 dffn5 6967 . . . . . . . . 9 (𝑃 Fn (0...𝑁) ↔ 𝑃 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑥)))
4442, 43sylib 218 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → 𝑃 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑥)))
4544eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑥)) = 𝑃)
4636, 45mpdan 687 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑥)) = 𝑃)
4734, 46eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥𝑁, (𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥𝑁)))) = 𝑃)
4847adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥𝑁, (𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥𝑁)))) = 𝑃)
4930, 48eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))) = 𝑃)
5011, 49eqtrid 2789 . 2 ((𝜑𝑆 = 0) → 𝑄 = 𝑃)
5110, 50jca 511 1 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155   + caddc 11158  cle 11296  cmin 11492  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552   cyclShift ccsh 14826  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  Walkscwlks 29614  Circuitsccrcts 29804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-csh 14827  df-wlks 29617  df-trls 29710  df-crcts 29806
This theorem is referenced by:  crctcshwlk  29842  crctcsh  29844
  Copyright terms: Public domain W3C validator