Theorem crctcshlem4 29819

Description: Lemma for crctcsh 29823. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcsh.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcshlem4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem crctcshlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcsh.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
2		oveq2 7363	. . . 4 ⊢ (𝑆 = 0 → (𝐹 cyclShift 𝑆) = (𝐹 cyclShift 0))
3		crctcsh.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4		crctiswlk 29795	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
5		crctcsh.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
6	5	wlkf 29614	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
7		cshw0 14708	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝐹 cyclShift 0) = 𝐹)
8	3, 4, 6, 7	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 cyclShift 0) = 𝐹)
9	2, 8	sylan9eqr 2790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝐹 cyclShift 𝑆) = 𝐹)
10	1, 9	eqtrid 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝐻 = 𝐹)
11		crctcsh.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
12		oveq2 7363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = 0 → (𝑁 − 𝑆) = (𝑁 − 0))
13		crctcsh.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
14		crctcsh.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
15	13, 5, 3, 14	crctcshlem1 29816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	15	nn0cnd 12455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
17	16	subid1d 11472	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 0) = 𝑁)
18	12, 17	sylan9eqr 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑁 − 𝑆) = 𝑁)
19	18	breq2d 5107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝑥 ≤ 𝑁))
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝑥 ≤ 𝑁))
21		oveq2 7363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = 0 → (𝑥 + 𝑆) = (𝑥 + 0))
22	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑥 + 𝑆) = (𝑥 + 0))
23		elfzelz 13431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ∈ ℂ)
25	24	addridd 11324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑁) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
26	22, 25	sylan9eq 2788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥 + 𝑆) = 𝑥)
27	26	fveq2d 6835	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘𝑥))
28	26	fvoveq1d 7377	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(𝑥 − 𝑁)))
29	20, 27, 28	ifbieq12d 4505	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁))))
30	29	mpteq2dva 5188	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁)))))
31		elfzle2 13435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ≤ 𝑁)
32	31	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → 𝑥 ≤ 𝑁)
33	32	iftrued 4484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁))) = (𝑃‘𝑥))
34	33	mpteq2dva 5188	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃‘𝑥)))
35	13	wlkp 29616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
36	3, 4, 35	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
37		ffn 6659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)))
38	14	eqcomi 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
39	38	oveq2i 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...𝑁)
40	39	fneq2i 6587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)) ↔ 𝑃 Fn (0...𝑁))
41	37, 40	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 Fn (0...𝑁))
42	41	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → 𝑃 Fn (0...𝑁))
43		dffn5 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 Fn (0...𝑁) ↔ 𝑃 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃‘𝑥)))
44	42, 43	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → 𝑃 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃‘𝑥)))
45	44	eqcomd 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃‘𝑥)) = 𝑃)
46	36, 45	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃‘𝑥)) = 𝑃)
47	34, 46	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁)))) = 𝑃)
48	47	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁)))) = 𝑃)
49	30, 48	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))) = 𝑃)
50	11, 49	eqtrid 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝑄 = 𝑃)
51	10, 50	jca 511	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4476   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5621   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  0cc0 11017   + caddc 11020   ≤ cle 11158   − cmin 11355  ...cfz 13414  ..^cfzo 13561  ♯chash 14244  Word cword 14427   cyclShift ccsh 14702  Vtxcvtx 28995  iEdgciedg 28996  Walkscwlks 29596  Circuitsccrcts 29783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-inf 9338  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-mod 13781  df-hash 14245  df-word 14428  df-concat 14485  df-substr 14556  df-pfx 14586  df-csh 14703  df-wlks 29599  df-trls 29690  df-crcts 29785

This theorem is referenced by:  crctcshwlk  29821  crctcsh  29823