Theorem crctcshlem4 29723

Description: Lemma for crctcsh 29727. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcsh.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
crctcshlem4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem crctcshlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcsh.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
2		oveq2 7377	. . . 4 ⊢ (𝑆 = 0 → (𝐹 cyclShift 𝑆) = (𝐹 cyclShift 0))
3		crctcsh.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4		crctiswlk 29699	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
5		crctcsh.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
6	5	wlkf 29518	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
7		cshw0 14735	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝐹 cyclShift 0) = 𝐹)
8	3, 4, 6, 7	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 cyclShift 0) = 𝐹)
9	2, 8	sylan9eqr 2786	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝐹 cyclShift 𝑆) = 𝐹)
10	1, 9	eqtrid 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝐻 = 𝐹)
11		crctcsh.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
12		oveq2 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = 0 → (𝑁 − 𝑆) = (𝑁 − 0))
13		crctcsh.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
14		crctcsh.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
15	13, 5, 3, 14	crctcshlem1 29720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	15	nn0cnd 12481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
17	16	subid1d 11498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 0) = 𝑁)
18	12, 17	sylan9eqr 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑁 − 𝑆) = 𝑁)
19	18	breq2d 5114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝑥 ≤ 𝑁))
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆) ↔ 𝑥 ≤ 𝑁))
21		oveq2 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = 0 → (𝑥 + 𝑆) = (𝑥 + 0))
22	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑥 + 𝑆) = (𝑥 + 0))
23		elfzelz 13461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ∈ ℂ)
25	24	addridd 11350	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑁) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
26	22, 25	sylan9eq 2784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥 + 𝑆) = 𝑥)
27	26	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘𝑥))
28	26	fvoveq1d 7391	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(𝑥 − 𝑁)))
29	20, 27, 28	ifbieq12d 4513	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁))))
30	29	mpteq2dva 5195	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁)))))
31		elfzle2 13465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ≤ 𝑁)
32	31	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → 𝑥 ≤ 𝑁)
33	32	iftrued 4492	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁))) = (𝑃‘𝑥))
34	33	mpteq2dva 5195	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃‘𝑥)))
35	13	wlkp 29520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
36	3, 4, 35	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
37		ffn 6670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)))
38	14	eqcomi 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
39	38	oveq2i 7380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...𝑁)
40	39	fneq2i 6598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)) ↔ 𝑃 Fn (0...𝑁))
41	37, 40	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → 𝑃 Fn (0...𝑁))
42	41	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → 𝑃 Fn (0...𝑁))
43		dffn5 6901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 Fn (0...𝑁) ↔ 𝑃 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃‘𝑥)))
44	42, 43	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → 𝑃 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃‘𝑥)))
45	44	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃‘𝑥)) = 𝑃)
46	36, 45	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃‘𝑥)) = 𝑃)
47	34, 46	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁)))) = 𝑃)
48	47	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ 𝑁, (𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 − 𝑁)))) = 𝑃)
49	30, 48	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))) = 𝑃)
50	11, 49	eqtrid 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝑄 = 𝑃)
51	10, 50	jca 511	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹 ∧ 𝑄 = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4484   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5631   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044   + caddc 11047   ≤ cle 11185   − cmin 11381  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591  ♯chash 14271  Word cword 14454   cyclShift ccsh 14729  Vtxcvtx 28899  iEdgciedg 28900  Walkscwlks 29500  Circuitsccrcts 29687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-hash 14272  df-word 14455  df-concat 14512  df-substr 14582  df-pfx 14612  df-csh 14730  df-wlks 29503  df-trls 29594  df-crcts 29689

This theorem is referenced by:  crctcshwlk  29725  crctcsh  29727