Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrexilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrexilem2 27221
 Description: Lemma 2 for cusgrexi 27222. (Contributed by AV, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
usgrexi.p 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
Assertion
Ref Expression
cusgrexilem2 (((𝑉𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑃   𝑥,𝑊   𝑃,𝑒,𝑛,𝑣,𝑥   𝑒,𝑉,𝑛,𝑣   𝑒,𝑊,𝑛,𝑣

Proof of Theorem cusgrexilem2
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
2 eldifi 4087 . . . 4 (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑛𝑉)
3 prelpwi 5321 . . . 4 ((𝑣𝑉𝑛𝑉) → {𝑣, 𝑛} ∈ 𝒫 𝑉)
41, 2, 3syl2an 598 . . 3 (((𝑉𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → {𝑣, 𝑛} ∈ 𝒫 𝑉)
5 eldifsni 4703 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑛𝑣)
65necomd 3068 . . . . 5 (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑣𝑛)
76adantl 485 . . . 4 (((𝑉𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → 𝑣𝑛)
8 hashprg 13750 . . . . 5 ((𝑣𝑉𝑛𝑉) → (𝑣𝑛 ↔ (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2))
91, 2, 8syl2an 598 . . . 4 (((𝑉𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑣𝑛 ↔ (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2))
107, 9mpbid 235 . . 3 (((𝑉𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2)
11 fveqeq2 6660 . . . 4 (𝑥 = {𝑣, 𝑛} → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2))
12 rnresi 5924 . . . . 5 ran ( I ↾ 𝑃) = 𝑃
13 usgrexi.p . . . . 5 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
1412, 13eqtri 2847 . . . 4 ran ( I ↾ 𝑃) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
1511, 14elrab2 3668 . . 3 ({𝑣, 𝑛} ∈ ran ( I ↾ 𝑃) ↔ ({𝑣, 𝑛} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2))
164, 10, 15sylanbrc 586 . 2 (((𝑉𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → {𝑣, 𝑛} ∈ ran ( I ↾ 𝑃))
17 sseq2 3977 . . 3 (𝑒 = {𝑣, 𝑛} → ({𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑣, 𝑛} ⊆ {𝑣, 𝑛}))
1817adantl 485 . 2 ((((𝑉𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛}) → ({𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑣, 𝑛} ⊆ {𝑣, 𝑛}))
19 ssidd 3974 . 2 (((𝑉𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → {𝑣, 𝑛} ⊆ {𝑣, 𝑛})
2016, 18, 19rspcedvd 3611 1 (((𝑉𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3013  ∃wrex 3133  {crab 3136   ∖ cdif 3915   ⊆ wss 3918  𝒫 cpw 4520  {csn 4548  {cpr 4550   I cid 5440  ran crn 5537   ↾ cres 5538  ‘cfv 6336  2c2 11678  ♯chash 13684 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-hash 13685 This theorem is referenced by:  cusgrexi  27222  structtocusgr  27225
 Copyright terms: Public domain W3C validator