Theorem cusgrexilem2 29405

Description: Lemma 2 for cusgrexi 29406. (Contributed by AV, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrexi.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Assertion

Ref	Expression
cusgrexilem2	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑃   𝑥,𝑊   𝑃,𝑒,𝑛,𝑣,𝑥   𝑒,𝑉,𝑛,𝑣   𝑒,𝑊,𝑛,𝑣

Proof of Theorem cusgrexilem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
2		eldifi 4084	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑛 ∈ 𝑉)
3		prelpwi 5394	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → {𝑣, 𝑛} ∈ 𝒫 𝑉)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → {𝑣, 𝑛} ∈ 𝒫 𝑉)
5		eldifsni 4744	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑛 ≠ 𝑣)
6	5	necomd 2980	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑣 ≠ 𝑛)
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → 𝑣 ≠ 𝑛)
8		hashprg 14320	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (𝑣 ≠ 𝑛 ↔ (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2))
9	1, 2, 8	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑣 ≠ 𝑛 ↔ (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2))
10	7, 9	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2)
11		fveqeq2 6835	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑣, 𝑛} → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2))
12		rnresi 6030	. . . . 5 ⊢ ran ( I ↾ 𝑃) = 𝑃
13		usgrexi.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
14	12, 13	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ran ( I ↾ 𝑃) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
15	11, 14	elrab2 3653	. . 3 ⊢ ({𝑣, 𝑛} ∈ ran ( I ↾ 𝑃) ↔ ({𝑣, 𝑛} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2))
16	4, 10, 15	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → {𝑣, 𝑛} ∈ ran ( I ↾ 𝑃))
17		sseq2 3964	. . 3 ⊢ (𝑒 = {𝑣, 𝑛} → ({𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑣, 𝑛} ⊆ {𝑣, 𝑛}))
18	17	adantl 481	. 2 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛}) → ({𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑣, 𝑛} ⊆ {𝑣, 𝑛}))
19		ssidd 3961	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → {𝑣, 𝑛} ⊆ {𝑣, 𝑛})
20	16, 18, 19	rspcedvd 3581	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3396   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4553  {csn 4579  {cpr 4581   I cid 5517  ran crn 5624   ↾ cres 5625  ‘cfv 6486  2c2 12201  ♯chash 14255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-hash 14256

This theorem is referenced by:  cusgrexi  29406  structtocusgr  29409