Theorem cusgrexilem2 29733

Description: Lemma 2 for cusgrexi 29734. (Contributed by AV, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrexi.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Assertion

Ref	Expression
cusgrexilem2	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑃   𝑥,𝑊   𝑃,𝑒,𝑛,𝑣,𝑥   𝑒,𝑉,𝑛,𝑣   𝑒,𝑊,𝑛,𝑣

Proof of Theorem cusgrexilem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
2		eldifi 4091	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑛 ∈ 𝑉)
3		prelpwi 5429	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → {𝑣, 𝑛} ∈ 𝒫 𝑉)
4	1, 2, 3	syl2an 607	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → {𝑣, 𝑛} ∈ 𝒫 𝑉)
5		eldifsni 4760	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑛 ≠ 𝑣)
6	5	necomd 3019	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑣 ≠ 𝑛)
7	6	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → 𝑣 ≠ 𝑛)
8		hashprg 14431	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (𝑣 ≠ 𝑛 ↔ (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2))
9	1, 2, 8	syl2an 607	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑣 ≠ 𝑛 ↔ (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2))
10	7, 9	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2)
11		fveqeq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑣, 𝑛} → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2))
12		rnresi 6078	. . . . 5 ⊢ ran ( I ↾ 𝑃) = 𝑃
13		usgrexi.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
14	12, 13	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ran ( I ↾ 𝑃) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
15	11, 14	elrab2 3661	. . 3 ⊢ ({𝑣, 𝑛} ∈ ran ( I ↾ 𝑃) ↔ ({𝑣, 𝑛} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2))
16	4, 10, 15	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → {𝑣, 𝑛} ∈ ran ( I ↾ 𝑃))
17		sseq2 3969	. . 3 ⊢ (𝑒 = {𝑣, 𝑛} → ({𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑣, 𝑛} ⊆ {𝑣, 𝑛}))
18	17	adantl 486	. 2 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛}) → ({𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑣, 𝑛} ⊆ {𝑣, 𝑛}))
19		ssidd 3966	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → {𝑣, 𝑛} ⊆ {𝑣, 𝑛})
20	16, 18, 19	rspcedvd 3590	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  {crab 3422   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4565  {csn 4592  {cpr 4594   I cid 5556  ran crn 5663   ↾ cres 5664  ‘cfv 6537  2c2 12295  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-hash 14367

This theorem is referenced by:  cusgrexi  29734  structtocusgr  29737