Theorem cusgrexilem2 29829

Description: Lemma 2 for cusgrexi 29830. (Contributed by AV, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrexi.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Assertion

Ref	Expression
cusgrexilem2	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑃   𝑥,𝑊   𝑃,𝑒,𝑛,𝑣,𝑥   𝑒,𝑉,𝑛,𝑣   𝑒,𝑊,𝑛,𝑣

Proof of Theorem cusgrexilem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
2		eldifi 4088	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑛 ∈ 𝑉)
3		prelpwi 5433	. . . 4 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → {𝑣, 𝑛} ∈ 𝒫 𝑉)
4	1, 2, 3	syl2an 608	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → {𝑣, 𝑛} ∈ 𝒫 𝑉)
5		eldifsni 4763	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑛 ≠ 𝑣)
6	5	necomd 3016	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑣 ≠ 𝑛)
7	6	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → 𝑣 ≠ 𝑛)
8		hashprg 14451	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ 𝑉) → (𝑣 ≠ 𝑛 ↔ (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2))
9	1, 2, 8	syl2an 608	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑣 ≠ 𝑛 ↔ (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2))
10	7, 9	mpbid 235	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2)
11		fveqeq2 6897	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑣, 𝑛} → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2))
12		rnresi 6082	. . . . 5 ⊢ ran ( I ↾ 𝑃) = 𝑃
13		usgrexi.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
14	12, 13	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ ran ( I ↾ 𝑃) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
15	11, 14	elrab2 3657	. . 3 ⊢ ({𝑣, 𝑛} ∈ ran ( I ↾ 𝑃) ↔ ({𝑣, 𝑛} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑣, 𝑛}) = 2))
16	4, 10, 15	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → {𝑣, 𝑛} ∈ ran ( I ↾ 𝑃))
17		sseq2 3966	. . 3 ⊢ (𝑒 = {𝑣, 𝑛} → ({𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑣, 𝑛} ⊆ {𝑣, 𝑛}))
18	17	adantl 487	. 2 ⊢ ((((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) ∧ 𝑒 = {𝑣, 𝑛}) → ({𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑣, 𝑛} ⊆ {𝑣, 𝑛}))
19		ssidd 3963	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → {𝑣, 𝑛} ⊆ {𝑣, 𝑛})
20	16, 18, 19	rspcedvd 3586	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ 𝑛 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃wrex 3092  {crab 3419   ∖ cdif 3905   ⊆ wss 3908  𝒫 cpw 4567  {csn 4594  {cpr 4596   I cid 5560  ran crn 5667   ↾ cres 5668  ‘cfv 6543  2c2 12313  ♯chash 14386

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-hash 14387

This theorem is used by:  cusgrexi  29830  structtocusgr  29833