Theorem derangfmla 35403

Description: The derangements formula, which expresses the number of derangements of a finite nonempty set in terms of the factorial. The expression ⌊‘(𝑥 + 1 / 2) is a way of saying "rounded to the nearest integer". This is part of Metamath 100 proof #88. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
derangfmla.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))

Assertion

Ref	Expression
derangfmla	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐷‘𝐴) = (⌊‘(((!‘(♯‘𝐴)) / e) + (1 / 2))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑓)

Proof of Theorem derangfmla

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		derangfmla.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
2		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1...𝑛) = (1...𝑚))
3	2	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐷‘(1...𝑛)) = (𝐷‘(1...𝑚)))
4	3	cbvmptv 5204	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑚)))
5	1, 4	derangen2 35387	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐷‘𝐴) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))‘(♯‘𝐴)))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐷‘𝐴) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))‘(♯‘𝐴)))
7		hashnncl 14301	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
8	7	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
9	1, 4	subfacval3 35402	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))‘(♯‘𝐴)) = (⌊‘(((!‘(♯‘𝐴)) / e) + (1 / 2))))
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))‘(♯‘𝐴)) = (⌊‘(((!‘(♯‘𝐴)) / e) + (1 / 2))))
11	6, 10	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐷‘𝐴) = (⌊‘(((!‘(♯‘𝐴)) / e) + (1 / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∅c0 4287   ↦ cmpt 5181  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  1c1 11039   + caddc 11041   / cdiv 11806  ℕcn 12157  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ...cfz 13435  ⌊cfl 13722  !cfa 14208  ♯chash 14265  eceu 15997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-ico 13279  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-e 16003

This theorem is referenced by: (None)