Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dffrege76 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dffrege76 41077
Description: If from the two propositions that every result of an application of the procedure 𝑅 to 𝐵 has property 𝑓 and that property 𝑓 is hereditary in the 𝑅-sequence, it can be inferred, whatever 𝑓 may be, that 𝐸 has property 𝑓, then we say 𝐸 follows 𝐵 in the 𝑅-sequence. Definition 76 of [Frege1879] p. 60.

Each of 𝐵, 𝐸 and 𝑅 must be sets. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.)

Hypotheses
Ref Expression
frege76.b 𝐵𝑈
frege76.e 𝐸𝑉
frege76.r 𝑅𝑊
Assertion
Ref Expression
dffrege76 (∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝐸𝑓)) ↔ 𝐵(t+‘𝑅)𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑎,𝐵   𝑓,𝐸   𝑅,𝑎,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑎)   𝐸(𝑎)   𝑉(𝑎)   𝑊(𝑎)

Proof of Theorem dffrege76
StepHypRef Expression
1 frege76.b . . 3 𝐵𝑈
2 frege76.e . . 3 𝐸𝑉
3 frege76.r . . 3 𝑅𝑊
4 brtrclfv2 40865 . . 3 ((𝐵𝑈𝐸𝑉𝑅𝑊) → (𝐵(t+‘𝑅)𝐸𝐸 {𝑓 ∣ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓}))
51, 2, 3, 4mp3an 1462 . 2 (𝐵(t+‘𝑅)𝐸𝐸 {𝑓 ∣ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓})
62elexi 3416 . . 3 𝐸 ∈ V
76elintab 4844 . 2 (𝐸 {𝑓 ∣ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓} ↔ ∀𝑓((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓𝐸𝑓))
8 imaundi 5976 . . . . . . . . 9 (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) = ((𝑅 “ {𝐵}) ∪ (𝑅𝑓))
98equncomi 4043 . . . . . . . 8 (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) = ((𝑅𝑓) ∪ (𝑅 “ {𝐵}))
109sseq1i 3903 . . . . . . 7 ((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 ↔ ((𝑅𝑓) ∪ (𝑅 “ {𝐵})) ⊆ 𝑓)
11 unss 4072 . . . . . . 7 (((𝑅𝑓) ⊆ 𝑓 ∧ (𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓) ↔ ((𝑅𝑓) ∪ (𝑅 “ {𝐵})) ⊆ 𝑓)
1210, 11bitr4i 281 . . . . . 6 ((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 ↔ ((𝑅𝑓) ⊆ 𝑓 ∧ (𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓))
13 df-he 40911 . . . . . . . 8 (𝑅 hereditary 𝑓 ↔ (𝑅𝑓) ⊆ 𝑓)
1413bicomi 227 . . . . . . 7 ((𝑅𝑓) ⊆ 𝑓𝑅 hereditary 𝑓)
15 dfss2 3861 . . . . . . . 8 ((𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓 ↔ ∀𝑎(𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) → 𝑎𝑓))
161elexi 3416 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ V
17 vex 3401 . . . . . . . . . . . 12 𝑎 ∈ V
1816, 17elimasn 5922 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝑎⟩ ∈ 𝑅)
19 df-br 5028 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑅𝑎 ↔ ⟨𝐵, 𝑎⟩ ∈ 𝑅)
2018, 19bitr4i 281 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) ↔ 𝐵𝑅𝑎)
2120imbi1i 353 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) → 𝑎𝑓) ↔ (𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓))
2221albii 1826 . . . . . . . 8 (∀𝑎(𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) → 𝑎𝑓) ↔ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓))
2315, 22bitri 278 . . . . . . 7 ((𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓 ↔ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓))
2414, 23anbi12i 630 . . . . . 6 (((𝑅𝑓) ⊆ 𝑓 ∧ (𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓)))
2512, 24bitri 278 . . . . 5 ((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓)))
2625imbi1i 353 . . . 4 (((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓𝐸𝑓) ↔ ((𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓)) → 𝐸𝑓))
27 impexp 454 . . . 4 (((𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓)) → 𝐸𝑓) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝐸𝑓)))
2826, 27bitri 278 . . 3 (((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓𝐸𝑓) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝐸𝑓)))
2928albii 1826 . 2 (∀𝑓((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓𝐸𝑓) ↔ ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝐸𝑓)))
305, 7, 293bitrri 301 1 (∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝐸𝑓)) ↔ 𝐵(t+‘𝑅)𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wal 1540  wcel 2113  {cab 2716  cun 3839  wss 3841  {csn 4513  cop 4519   cint 4833   class class class wbr 5027  cima 5522  cfv 6333  t+ctcl 14427   hereditary whe 40910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-seq 13454  df-trcl 14429  df-relexp 14462  df-he 40911
This theorem is referenced by:  frege77  41078  frege89  41090
  Copyright terms: Public domain W3C validator