Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dffrege76 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dffrege76 40146
 Description: If from the two propositions that every result of an application of the procedure 𝑅 to 𝐵 has property 𝑓 and that property 𝑓 is hereditary in the 𝑅-sequence, it can be inferred, whatever 𝑓 may be, that 𝐸 has property 𝑓, then we say 𝐸 follows 𝐵 in the 𝑅-sequence. Definition 76 of [Frege1879] p. 60. Each of 𝐵, 𝐸 and 𝑅 must be sets. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frege76.b 𝐵𝑈
frege76.e 𝐸𝑉
frege76.r 𝑅𝑊
Assertion
Ref Expression
dffrege76 (∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝐸𝑓)) ↔ 𝐵(t+‘𝑅)𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑎,𝐵   𝑓,𝐸   𝑅,𝑎,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑎)   𝐸(𝑎)   𝑉(𝑎)   𝑊(𝑎)

Proof of Theorem dffrege76
StepHypRef Expression
1 frege76.b . . 3 𝐵𝑈
2 frege76.e . . 3 𝐸𝑉
3 frege76.r . . 3 𝑅𝑊
4 brtrclfv2 39933 . . 3 ((𝐵𝑈𝐸𝑉𝑅𝑊) → (𝐵(t+‘𝑅)𝐸𝐸 {𝑓 ∣ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓}))
51, 2, 3, 4mp3an 1454 . 2 (𝐵(t+‘𝑅)𝐸𝐸 {𝑓 ∣ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓})
62elexi 3518 . . 3 𝐸 ∈ V
76elintab 4884 . 2 (𝐸 {𝑓 ∣ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓} ↔ ∀𝑓((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓𝐸𝑓))
8 imaundi 6005 . . . . . . . . 9 (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) = ((𝑅 “ {𝐵}) ∪ (𝑅𝑓))
98equncomi 4134 . . . . . . . 8 (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) = ((𝑅𝑓) ∪ (𝑅 “ {𝐵}))
109sseq1i 3998 . . . . . . 7 ((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 ↔ ((𝑅𝑓) ∪ (𝑅 “ {𝐵})) ⊆ 𝑓)
11 unss 4163 . . . . . . 7 (((𝑅𝑓) ⊆ 𝑓 ∧ (𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓) ↔ ((𝑅𝑓) ∪ (𝑅 “ {𝐵})) ⊆ 𝑓)
1210, 11bitr4i 279 . . . . . 6 ((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 ↔ ((𝑅𝑓) ⊆ 𝑓 ∧ (𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓))
13 df-he 39980 . . . . . . . 8 (𝑅 hereditary 𝑓 ↔ (𝑅𝑓) ⊆ 𝑓)
1413bicomi 225 . . . . . . 7 ((𝑅𝑓) ⊆ 𝑓𝑅 hereditary 𝑓)
15 dfss2 3958 . . . . . . . 8 ((𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓 ↔ ∀𝑎(𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) → 𝑎𝑓))
161elexi 3518 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ V
17 vex 3502 . . . . . . . . . . . 12 𝑎 ∈ V
1816, 17elimasn 5951 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝑎⟩ ∈ 𝑅)
19 df-br 5063 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑅𝑎 ↔ ⟨𝐵, 𝑎⟩ ∈ 𝑅)
2018, 19bitr4i 279 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) ↔ 𝐵𝑅𝑎)
2120imbi1i 351 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) → 𝑎𝑓) ↔ (𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓))
2221albii 1813 . . . . . . . 8 (∀𝑎(𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) → 𝑎𝑓) ↔ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓))
2315, 22bitri 276 . . . . . . 7 ((𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓 ↔ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓))
2414, 23anbi12i 626 . . . . . 6 (((𝑅𝑓) ⊆ 𝑓 ∧ (𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓)))
2512, 24bitri 276 . . . . 5 ((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓)))
2625imbi1i 351 . . . 4 (((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓𝐸𝑓) ↔ ((𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓)) → 𝐸𝑓))
27 impexp 451 . . . 4 (((𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓)) → 𝐸𝑓) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝐸𝑓)))
2826, 27bitri 276 . . 3 (((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓𝐸𝑓) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝐸𝑓)))
2928albii 1813 . 2 (∀𝑓((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓𝐸𝑓) ↔ ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝐸𝑓)))
305, 7, 293bitrri 299 1 (∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝐸𝑓)) ↔ 𝐵(t+‘𝑅)𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396  ∀wal 1528   ∈ wcel 2107  {cab 2803   ∪ cun 3937   ⊆ wss 3939  {csn 4563  ⟨cop 4569  ∩ cint 4873   class class class wbr 5062   “ cima 5556  ‘cfv 6351  t+ctcl 14338   hereditary whe 39979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-seq 13363  df-trcl 14340  df-relexp 14373  df-he 39980 This theorem is referenced by:  frege77  40147  frege89  40159
 Copyright terms: Public domain W3C validator