Theorem dffrege76 43266

Description: If from the two propositions that every result of an application of the procedure 𝑅 to 𝐵 has property 𝑓 and that property 𝑓 is hereditary in the 𝑅-sequence, it can be inferred, whatever 𝑓 may be, that 𝐸 has property 𝑓, then we say 𝐸 follows 𝐵 in the 𝑅-sequence. Definition 76 of [Frege1879] p. 60.

Each of 𝐵, 𝐸 and 𝑅 must be sets. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege76.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑈
frege76.e	⊢ 𝐸 ∈ 𝑉
frege76.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊

Assertion

Ref	Expression
dffrege76	⊢ (∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝐸 ∈ 𝑓)) ↔ 𝐵(t+‘𝑅)𝐸)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑎,𝐵   𝑓,𝐸   𝑅,𝑎,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑎)   𝐸(𝑎)   𝑉(𝑎)   𝑊(𝑎)

Proof of Theorem dffrege76

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege76.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑈
2		frege76.e	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ 𝑉
3		frege76.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
4		brtrclfv2 43054	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝐵(t+‘𝑅)𝐸 ↔ 𝐸 ∈ ∩ {𝑓 ∣ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓}))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1457	. 2 ⊢ (𝐵(t+‘𝑅)𝐸 ↔ 𝐸 ∈ ∩ {𝑓 ∣ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓})
6	2	elexi 3488	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ V
7	6	elintab 4955	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ ∩ {𝑓 ∣ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓} ↔ ∀𝑓((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 → 𝐸 ∈ 𝑓))
8		imaundi 6143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) = ((𝑅 “ {𝐵}) ∪ (𝑅 “ 𝑓))
9	8	equncomi 4150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) = ((𝑅 “ 𝑓) ∪ (𝑅 “ {𝐵}))
10	9	sseq1i 4005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 ↔ ((𝑅 “ 𝑓) ∪ (𝑅 “ {𝐵})) ⊆ 𝑓)
11		unss 4179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 “ 𝑓) ⊆ 𝑓 ∧ (𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓) ↔ ((𝑅 “ 𝑓) ∪ (𝑅 “ {𝐵})) ⊆ 𝑓)
12	10, 11	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 ↔ ((𝑅 “ 𝑓) ⊆ 𝑓 ∧ (𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓))
13		df-he 43100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 hereditary 𝑓 ↔ (𝑅 “ 𝑓) ⊆ 𝑓)
14	13	bicomi 223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 “ 𝑓) ⊆ 𝑓 ↔ 𝑅 hereditary 𝑓)
15		dfss2 3963	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓 ↔ ∀𝑎(𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) → 𝑎 ∈ 𝑓))
16	1	elexi 3488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ V
17		vex 3472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑎 ∈ V
18	16, 17	elimasn 6082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝑎⟩ ∈ 𝑅)
19		df-br 5142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵𝑅𝑎 ↔ ⟨𝐵, 𝑎⟩ ∈ 𝑅)
20	18, 19	bitr4i 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) ↔ 𝐵𝑅𝑎)
21	20	imbi1i 349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) → 𝑎 ∈ 𝑓) ↔ (𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓))
22	21	albii 1813	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎(𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) → 𝑎 ∈ 𝑓) ↔ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓))
23	15, 22	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓 ↔ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓))
24	14, 23	anbi12i 626	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 “ 𝑓) ⊆ 𝑓 ∧ (𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓)))
25	12, 24	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓)))
26	25	imbi1i 349	. . . 4 ⊢ (((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 → 𝐸 ∈ 𝑓) ↔ ((𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓)) → 𝐸 ∈ 𝑓))
27		impexp 450	. . . 4 ⊢ (((𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓)) → 𝐸 ∈ 𝑓) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝐸 ∈ 𝑓)))
28	26, 27	bitri 275	. . 3 ⊢ (((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 → 𝐸 ∈ 𝑓) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝐸 ∈ 𝑓)))
29	28	albii 1813	. 2 ⊢ (∀𝑓((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 → 𝐸 ∈ 𝑓) ↔ ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝐸 ∈ 𝑓)))
30	5, 7, 29	3bitrri 298	1 ⊢ (∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝐸 ∈ 𝑓)) ↔ 𝐵(t+‘𝑅)𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∀wal 1531   ∈ wcel 2098  {cab 2703   ∪ cun 3941   ⊆ wss 3943  {csn 4623  ⟨cop 4629  ∩ cint 4943   class class class wbr 5141   “ cima 5672  ‘cfv 6537  t+ctcl 14938   hereditary whe 43099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13973  df-trcl 14940  df-relexp 14973  df-he 43100

This theorem is referenced by:  frege77  43267  frege89  43279