Theorem dffrege76 42680

Description: If from the two propositions that every result of an application of the procedure 𝑅 to 𝐵 has property 𝑓 and that property 𝑓 is hereditary in the 𝑅-sequence, it can be inferred, whatever 𝑓 may be, that 𝐸 has property 𝑓, then we say 𝐸 follows 𝐵 in the 𝑅-sequence. Definition 76 of [Frege1879] p. 60.

Each of 𝐵, 𝐸 and 𝑅 must be sets. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege76.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑈
frege76.e	⊢ 𝐸 ∈ 𝑉
frege76.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊

Assertion

Ref	Expression
dffrege76	⊢ (∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝐸 ∈ 𝑓)) ↔ 𝐵(t+‘𝑅)𝐸)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑎,𝐵   𝑓,𝐸   𝑅,𝑎,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑎)   𝐸(𝑎)   𝑉(𝑎)   𝑊(𝑎)

Proof of Theorem dffrege76

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege76.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑈
2		frege76.e	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ 𝑉
3		frege76.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
4		brtrclfv2 42468	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝐵(t+‘𝑅)𝐸 ↔ 𝐸 ∈ ∩ {𝑓 ∣ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓}))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1461	. 2 ⊢ (𝐵(t+‘𝑅)𝐸 ↔ 𝐸 ∈ ∩ {𝑓 ∣ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓})
6	2	elexi 3493	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ V
7	6	elintab 4962	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ ∩ {𝑓 ∣ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓} ↔ ∀𝑓((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 → 𝐸 ∈ 𝑓))
8		imaundi 6149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) = ((𝑅 “ {𝐵}) ∪ (𝑅 “ 𝑓))
9	8	equncomi 4155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) = ((𝑅 “ 𝑓) ∪ (𝑅 “ {𝐵}))
10	9	sseq1i 4010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 ↔ ((𝑅 “ 𝑓) ∪ (𝑅 “ {𝐵})) ⊆ 𝑓)
11		unss 4184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 “ 𝑓) ⊆ 𝑓 ∧ (𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓) ↔ ((𝑅 “ 𝑓) ∪ (𝑅 “ {𝐵})) ⊆ 𝑓)
12	10, 11	bitr4i 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 ↔ ((𝑅 “ 𝑓) ⊆ 𝑓 ∧ (𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓))
13		df-he 42514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 hereditary 𝑓 ↔ (𝑅 “ 𝑓) ⊆ 𝑓)
14	13	bicomi 223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 “ 𝑓) ⊆ 𝑓 ↔ 𝑅 hereditary 𝑓)
15		dfss2 3968	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓 ↔ ∀𝑎(𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) → 𝑎 ∈ 𝑓))
16	1	elexi 3493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ V
17		vex 3478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑎 ∈ V
18	16, 17	elimasn 6088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝑎⟩ ∈ 𝑅)
19		df-br 5149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵𝑅𝑎 ↔ ⟨𝐵, 𝑎⟩ ∈ 𝑅)
20	18, 19	bitr4i 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) ↔ 𝐵𝑅𝑎)
21	20	imbi1i 349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) → 𝑎 ∈ 𝑓) ↔ (𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓))
22	21	albii 1821	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎(𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) → 𝑎 ∈ 𝑓) ↔ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓))
23	15, 22	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓 ↔ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓))
24	14, 23	anbi12i 627	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 “ 𝑓) ⊆ 𝑓 ∧ (𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓)))
25	12, 24	bitri 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓)))
26	25	imbi1i 349	. . . 4 ⊢ (((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 → 𝐸 ∈ 𝑓) ↔ ((𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓)) → 𝐸 ∈ 𝑓))
27		impexp 451	. . . 4 ⊢ (((𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓)) → 𝐸 ∈ 𝑓) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝐸 ∈ 𝑓)))
28	26, 27	bitri 274	. . 3 ⊢ (((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 → 𝐸 ∈ 𝑓) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝐸 ∈ 𝑓)))
29	28	albii 1821	. 2 ⊢ (∀𝑓((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 → 𝐸 ∈ 𝑓) ↔ ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝐸 ∈ 𝑓)))
30	5, 7, 29	3bitrri 297	1 ⊢ (∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝐸 ∈ 𝑓)) ↔ 𝐵(t+‘𝑅)𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∀wal 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2709   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ⟨cop 4634  ∩ cint 4950   class class class wbr 5148   “ cima 5679  ‘cfv 6543  t+ctcl 14931   hereditary whe 42513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-seq 13966  df-trcl 14933  df-relexp 14966  df-he 42514

This theorem is referenced by:  frege77  42681  frege89  42693