Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dffrege76 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dffrege76 43156
Description: If from the two propositions that every result of an application of the procedure 𝑅 to 𝐵 has property 𝑓 and that property 𝑓 is hereditary in the 𝑅-sequence, it can be inferred, whatever 𝑓 may be, that 𝐸 has property 𝑓, then we say 𝐸 follows 𝐵 in the 𝑅-sequence. Definition 76 of [Frege1879] p. 60.

Each of 𝐵, 𝐸 and 𝑅 must be sets. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.)

Hypotheses
Ref Expression
frege76.b 𝐵𝑈
frege76.e 𝐸𝑉
frege76.r 𝑅𝑊
Assertion
Ref Expression
dffrege76 (∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝐸𝑓)) ↔ 𝐵(t+‘𝑅)𝐸)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑎,𝐵   𝑓,𝐸   𝑅,𝑎,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑎)   𝐸(𝑎)   𝑉(𝑎)   𝑊(𝑎)

Proof of Theorem dffrege76
StepHypRef Expression
1 frege76.b . . 3 𝐵𝑈
2 frege76.e . . 3 𝐸𝑉
3 frege76.r . . 3 𝑅𝑊
4 brtrclfv2 42944 . . 3 ((𝐵𝑈𝐸𝑉𝑅𝑊) → (𝐵(t+‘𝑅)𝐸𝐸 {𝑓 ∣ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓}))
51, 2, 3, 4mp3an 1460 . 2 (𝐵(t+‘𝑅)𝐸𝐸 {𝑓 ∣ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓})
62elexi 3493 . . 3 𝐸 ∈ V
76elintab 4962 . 2 (𝐸 {𝑓 ∣ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓} ↔ ∀𝑓((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓𝐸𝑓))
8 imaundi 6149 . . . . . . . . 9 (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) = ((𝑅 “ {𝐵}) ∪ (𝑅𝑓))
98equncomi 4155 . . . . . . . 8 (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) = ((𝑅𝑓) ∪ (𝑅 “ {𝐵}))
109sseq1i 4010 . . . . . . 7 ((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 ↔ ((𝑅𝑓) ∪ (𝑅 “ {𝐵})) ⊆ 𝑓)
11 unss 4184 . . . . . . 7 (((𝑅𝑓) ⊆ 𝑓 ∧ (𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓) ↔ ((𝑅𝑓) ∪ (𝑅 “ {𝐵})) ⊆ 𝑓)
1210, 11bitr4i 278 . . . . . 6 ((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 ↔ ((𝑅𝑓) ⊆ 𝑓 ∧ (𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓))
13 df-he 42990 . . . . . . . 8 (𝑅 hereditary 𝑓 ↔ (𝑅𝑓) ⊆ 𝑓)
1413bicomi 223 . . . . . . 7 ((𝑅𝑓) ⊆ 𝑓𝑅 hereditary 𝑓)
15 dfss2 3968 . . . . . . . 8 ((𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓 ↔ ∀𝑎(𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) → 𝑎𝑓))
161elexi 3493 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ V
17 vex 3477 . . . . . . . . . . . 12 𝑎 ∈ V
1816, 17elimasn 6088 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝑎⟩ ∈ 𝑅)
19 df-br 5149 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑅𝑎 ↔ ⟨𝐵, 𝑎⟩ ∈ 𝑅)
2018, 19bitr4i 278 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) ↔ 𝐵𝑅𝑎)
2120imbi1i 349 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) → 𝑎𝑓) ↔ (𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓))
2221albii 1820 . . . . . . . 8 (∀𝑎(𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) → 𝑎𝑓) ↔ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓))
2315, 22bitri 275 . . . . . . 7 ((𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓 ↔ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓))
2414, 23anbi12i 626 . . . . . 6 (((𝑅𝑓) ⊆ 𝑓 ∧ (𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓)))
2512, 24bitri 275 . . . . 5 ((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓)))
2625imbi1i 349 . . . 4 (((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓𝐸𝑓) ↔ ((𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓)) → 𝐸𝑓))
27 impexp 450 . . . 4 (((𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓)) → 𝐸𝑓) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝐸𝑓)))
2826, 27bitri 275 . . 3 (((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓𝐸𝑓) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝐸𝑓)))
2928albii 1820 . 2 (∀𝑓((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓𝐸𝑓) ↔ ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝐸𝑓)))
305, 7, 293bitrri 298 1 (∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝐸𝑓)) ↔ 𝐵(t+‘𝑅)𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wal 1538  wcel 2105  {cab 2708  cun 3946  wss 3948  {csn 4628  cop 4634   cint 4950   class class class wbr 5148  cima 5679  cfv 6543  t+ctcl 14939   hereditary whe 42989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-seq 13974  df-trcl 14941  df-relexp 14974  df-he 42990
This theorem is referenced by:  frege77  43157  frege89  43169
  Copyright terms: Public domain W3C validator