Theorem dffrege76 39193

Description: If from the two propositions that every result of an application of the procedure 𝑅 to 𝐵 has property 𝑓 and that property 𝑓 is hereditary in the 𝑅-sequence, it can be inferred, whatever 𝑓 may be, that 𝐸 has property 𝑓, then we say 𝐸 follows 𝐵 in the 𝑅-sequence. Definition 76 of [Frege1879] p. 60.

Each of 𝐵, 𝐸 and 𝑅 must be sets. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege76.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑈
frege76.e	⊢ 𝐸 ∈ 𝑉
frege76.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑊

Assertion

Ref	Expression
dffrege76	⊢ (∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝐸 ∈ 𝑓)) ↔ 𝐵(t+‘𝑅)𝐸)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑎,𝐵   𝑓,𝐸   𝑅,𝑎,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑎)   𝐸(𝑎)   𝑉(𝑎)   𝑊(𝑎)

Proof of Theorem dffrege76

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege76.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑈
2		frege76.e	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ 𝑉
3		frege76.r	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑊
4		brtrclfv2 38980	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝐵(t+‘𝑅)𝐸 ↔ 𝐸 ∈ ∩ {𝑓 ∣ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓}))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1534	. 2 ⊢ (𝐵(t+‘𝑅)𝐸 ↔ 𝐸 ∈ ∩ {𝑓 ∣ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓})
6	2	elexi 3415	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ V
7	6	elintab 4721	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ ∩ {𝑓 ∣ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓} ↔ ∀𝑓((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 → 𝐸 ∈ 𝑓))
8		imaundi 5799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) = ((𝑅 “ {𝐵}) ∪ (𝑅 “ 𝑓))
9	8	equncomi 3982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) = ((𝑅 “ 𝑓) ∪ (𝑅 “ {𝐵}))
10	9	sseq1i 3848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 ↔ ((𝑅 “ 𝑓) ∪ (𝑅 “ {𝐵})) ⊆ 𝑓)
11		unss 4010	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 “ 𝑓) ⊆ 𝑓 ∧ (𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓) ↔ ((𝑅 “ 𝑓) ∪ (𝑅 “ {𝐵})) ⊆ 𝑓)
12	10, 11	bitr4i 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 ↔ ((𝑅 “ 𝑓) ⊆ 𝑓 ∧ (𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓))
13		df-he 39027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 hereditary 𝑓 ↔ (𝑅 “ 𝑓) ⊆ 𝑓)
14	13	bicomi 216	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 “ 𝑓) ⊆ 𝑓 ↔ 𝑅 hereditary 𝑓)
15		dfss2 3809	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓 ↔ ∀𝑎(𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) → 𝑎 ∈ 𝑓))
16	1	elexi 3415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ V
17		vex 3401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑎 ∈ V
18	16, 17	elimasn 5744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝑎⟩ ∈ 𝑅)
19		df-br 4887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵𝑅𝑎 ↔ ⟨𝐵, 𝑎⟩ ∈ 𝑅)
20	18, 19	bitr4i 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) ↔ 𝐵𝑅𝑎)
21	20	imbi1i 341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) → 𝑎 ∈ 𝑓) ↔ (𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓))
22	21	albii 1863	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑎(𝑎 ∈ (𝑅 “ {𝐵}) → 𝑎 ∈ 𝑓) ↔ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓))
23	15, 22	bitri 267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓 ↔ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓))
24	14, 23	anbi12i 620	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 “ 𝑓) ⊆ 𝑓 ∧ (𝑅 “ {𝐵}) ⊆ 𝑓) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓)))
25	12, 24	bitri 267	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓)))
26	25	imbi1i 341	. . . 4 ⊢ (((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 → 𝐸 ∈ 𝑓) ↔ ((𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓)) → 𝐸 ∈ 𝑓))
27		impexp 443	. . . 4 ⊢ (((𝑅 hereditary 𝑓 ∧ ∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓)) → 𝐸 ∈ 𝑓) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝐸 ∈ 𝑓)))
28	26, 27	bitri 267	. . 3 ⊢ (((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 → 𝐸 ∈ 𝑓) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝐸 ∈ 𝑓)))
29	28	albii 1863	. 2 ⊢ (∀𝑓((𝑅 “ ({𝐵} ∪ 𝑓)) ⊆ 𝑓 → 𝐸 ∈ 𝑓) ↔ ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝐸 ∈ 𝑓)))
30	5, 7, 29	3bitrri 290	1 ⊢ (∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝐵𝑅𝑎 → 𝑎 ∈ 𝑓) → 𝐸 ∈ 𝑓)) ↔ 𝐵(t+‘𝑅)𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386  ∀wal 1599   ∈ wcel 2107  {cab 2763   ∪ cun 3790   ⊆ wss 3792  {csn 4398  ⟨cop 4404  ∩ cint 4710   class class class wbr 4886   “ cima 5358  ‘cfv 6135  t+ctcl 14133   hereditary whe 39026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-seq 13120  df-trcl 14135  df-relexp 14168  df-he 39027

This theorem is referenced by:  frege77  39194  frege89  39206