Theorem dfodd4 44675

Description: Alternate definition for odd numbers. (Contributed by AV, 18-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfodd4	⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 mod 2) = 1}

Proof of Theorem dfodd4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfodd2 44652	. 2 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ}
2		peano2zm 12109	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 − 1) ∈ ℤ)
3	2	zred 12171	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 − 1) ∈ ℝ)
4		2rp 12480	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5		mod0 13338	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 − 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (((𝑧 − 1) mod 2) = 0 ↔ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ))
6	3, 4, 5	sylancl 589	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 − 1) mod 2) = 0 ↔ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ))
7		zre 12069	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
8		2re 11793	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
10		1lt2 11890	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 1 < 2)
12		m1mod0mod1 44385	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (((𝑧 − 1) mod 2) = 0 ↔ (𝑧 mod 2) = 1))
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 − 1) mod 2) = 0 ↔ (𝑧 mod 2) = 1))
14	6, 13	bitr3d 284	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑧 mod 2) = 1))
15	14	rabbiia 3374	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 mod 2) = 1}
16	1, 15	eqtri 2762	1 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 mod 2) = 1}

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3058   class class class wbr 5031  (class class class)co 7173  ℝcr 10617  0cc0 10618  1c1 10619   < clt 10756   − cmin 10951   / cdiv 11378  2c2 11774  ℤcz 12065  ℝ⁺crp 12475   mod cmo 13331   Odd codd 44641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695  ax-pre-sup 10696

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-sup 8982  df-inf 8983  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-div 11379  df-nn 11720  df-2 11782  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-rp 12476  df-fl 13256  df-mod 13332  df-odd 44643

This theorem is referenced by:  dfodd5  44676