Theorem dfodd4 42589

Description: Alternate definition for odd numbers. (Contributed by AV, 18-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfodd4	⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 mod 2) = 1}

Proof of Theorem dfodd4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfodd2 42567	. 2 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ}
2		peano2zm 11772	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 − 1) ∈ ℤ)
3	2	zred 11834	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 − 1) ∈ ℝ)
4		2rp 12142	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5		mod0 12994	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 − 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (((𝑧 − 1) mod 2) = 0 ↔ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ))
6	3, 4, 5	sylancl 580	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 − 1) mod 2) = 0 ↔ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ))
7		zre 11732	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
8		2re 11449	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
10		1lt2 11553	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 1 < 2)
12		m1mod0mod1 42364	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (((𝑧 − 1) mod 2) = 0 ↔ (𝑧 mod 2) = 1))
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1439	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 − 1) mod 2) = 0 ↔ (𝑧 mod 2) = 1))
14	6, 13	bitr3d 273	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ (𝑧 mod 2) = 1))
15	14	rabbiia 3380	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ((𝑧 − 1) / 2) ∈ ℤ} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 mod 2) = 1}
16	1, 15	eqtri 2801	1 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑧 mod 2) = 1}

Syntax hints:   ↔ wb 198   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  {crab 3093   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  ℝcr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   < clt 10411   − cmin 10606   / cdiv 11032  2c2 11430  ℤcz 11728  ℝ⁺crp 12137   mod cmo 12987   Odd codd 42556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fl 12912  df-mod 12988  df-odd 42558

This theorem is referenced by:  dfodd5  42590