Theorem dfring3 20454

Description: The predicate "is a (unital) ring" based on a ring being abelian and with the definition of a monoid expanded. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Nov-2006.) (Revised by AV, 24-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isringrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isringrng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
dfring2.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
dfring2.p	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dfring3	⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐺 ∈ Mgm) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥, · ,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧

Proof of Theorem dfring3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isringrng.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isringrng.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		dfring2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
4		dfring2.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	dfring2 20453	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))))
6	3, 1	mgpbas 20301	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7	3, 2	mgpplusg 20300	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘𝐺)
8	6, 7	ismnddef 18861	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd ↔ (𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
9	6, 7	issgrp 18845	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Smgrp ↔ (𝐺 ∈ Mgm ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))))
10	8, 9	bianbi 639	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd ↔ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
11	10	anbi1i 636	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))) ↔ (((𝐺 ∈ Mgm ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))))
12		anass 474	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mgm ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))) ↔ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))))
13		anass 474	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mgm ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))) ↔ (𝐺 ∈ Mgm ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))))))
14	12, 13	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mgm ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))) ↔ (𝐺 ∈ Mgm ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))))))
15		ancom 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
16	15	anbi2i 635	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))))
17		anass 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))))
18		r19.26-2 3147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))))
19		r19.26 3122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))) ↔ (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))))
20		3anass 1111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))))
21	20	bicomi 227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))) ↔ (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
22	21	ralbii 3108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
23	19, 22	bitr3i 280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
24	23	2ralbii 3137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
25	18, 24	bitr3i 280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))
26	25	anbi1i 636	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
27	17, 26	bitr3i 280	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
28	16, 27	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
29	28	anbi2i 635	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))))) ↔ (𝐺 ∈ Mgm ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))))
30	14, 29	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mgm ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))) ↔ (𝐺 ∈ Mgm ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))))
31	11, 30	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))) ↔ (𝐺 ∈ Mgm ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))))
32	31	anbi2i 635	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))) ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ (𝐺 ∈ Mgm ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))))
33		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))) ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))))))
34		3anass 1111	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐺 ∈ Mgm) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) ↔ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐺 ∈ Mgm) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))))
35		anass 474	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐺 ∈ Mgm) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦))) ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ (𝐺 ∈ Mgm ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))))
36	34, 35	bitri 278	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐺 ∈ Mgm) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)) ↔ (𝑅 ∈ Abel ∧ (𝐺 ∈ Mgm ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))))
37	32, 33, 36	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))) ↔ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐺 ∈ Mgm) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))
38	5, 37	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐺 ∈ Mgm) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)) ∧ (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)) ∧ ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦 · 𝑥) = 𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ‘cfv 6534  (class class class)co 7415  Basecbs 17323  +_gcplusg 17364  ._rcmulr 17365  Mgmcmgm 18750  Smgrpcsgrp 18843  Mndcmnd 18859  Abelcabl 19931  mulGrpcmgp 20296  Ringcrg 20395

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-nn 12280  df-2 12349  df-sets 17278  df-slot 17296  df-ndx 17308  df-base 17324  df-plusg 17377  df-0g 17548  df-mgm 18752  df-sgrp 18844  df-mnd 18860  df-grp 19083  df-minusg 19084  df-cmn 19932  df-abl 19933  df-mgp 20297  df-ur 20344  df-ring 20397

This theorem is used by: (None)