Theorem disjxwwlkn 29942

Description: Sets of walks (as words) extended by an edge are disjunct if each set contains extensions of distinct walks. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (Revised by AV, 26-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlksnextprop.x	⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
wwlksnextprop.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
wwlksnextprop.y	⊢ 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}

Assertion

Ref	Expression
disjxwwlkn	⊢ Disj 𝑦 ∈ 𝑌 {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑦,𝐸   𝑥,𝑁,𝑦   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑥,𝑤,𝐺   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝐺(𝑦)   𝑀(𝑥,𝑤)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑥,𝑤)

Proof of Theorem disjxwwlkn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸) → (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦)
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸) → (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦))
3	2	ss2rabi 4086	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦}
4		wwlksnextprop.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
5		wwlkssswwlksn 29895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ⊆ (WWalks‘𝐺)
6		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7	6	wwlkssswrd 29891	. . . . . . 7 ⊢ (WWalks‘𝐺) ⊆ Word (Vtx‘𝐺)
8	5, 7	sstri 4004	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ⊆ Word (Vtx‘𝐺)
9	4, 8	eqsstri 4029	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ⊆ Word (Vtx‘𝐺)
10		rabss2 4087	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ Word (Vtx‘𝐺) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦} ⊆ {𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦})
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦} ⊆ {𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦}
12	3, 11	sstri 4004	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)} ⊆ {𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦}
13	12	rgenw 3062	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝑌 {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)} ⊆ {𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦}
14		disjwrdpfx 14734	. 2 ⊢ Disj 𝑦 ∈ 𝑌 {𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦}
15		disjss2 5117	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑌 {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)} ⊆ {𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦} → (Disj 𝑦 ∈ 𝑌 {𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦} → Disj 𝑦 ∈ 𝑌 {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}))
16	13, 14, 15	mp2 9	1 ⊢ Disj 𝑦 ∈ 𝑌 {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  {crab 3432   ⊆ wss 3962  {cpr 4632  Disj wdisj 5114  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  Word cword 14548  lastSclsw 14596   prefix cpfx 14704  Vtxcvtx 29027  Edgcedg 29078  WWalkscwwlks 29854   WWalksN cwwlksn 29855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-wwlks 29859  df-wwlksn 29860

This theorem is referenced by:  hashwwlksnext  29943