MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  disjxwwlkn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem disjxwwlkn 28566
Description: Sets of walks (as words) extended by an edge are disjunct if each set contains extensions of distinct walks. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (Revised by AV, 26-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlksnextprop.x 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
wwlksnextprop.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
wwlksnextprop.y π‘Œ = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (π‘€β€˜0) = 𝑃}
Assertion
Ref Expression
disjxwwlkn Disj 𝑦 ∈ π‘Œ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ ((π‘₯ prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (π‘¦β€˜0) = 𝑃 ∧ {(lastSβ€˜π‘¦), (lastSβ€˜π‘₯)} ∈ 𝐸)}
Distinct variable groups:   𝑀,𝐺   𝑀,𝑁   𝑀,𝑃   𝑦,𝐸   π‘₯,𝑁,𝑦   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋   𝑦,π‘Œ   π‘₯,𝑀,𝐺   𝑦,𝑀   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯)   𝐸(π‘₯,𝑀)   𝐺(𝑦)   𝑀(π‘₯,𝑀)   𝑋(𝑀)   π‘Œ(π‘₯,𝑀)

Proof of Theorem disjxwwlkn
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . . . 6 (((π‘₯ prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (π‘¦β€˜0) = 𝑃 ∧ {(lastSβ€˜π‘¦), (lastSβ€˜π‘₯)} ∈ 𝐸) β†’ (π‘₯ prefix 𝑀) = 𝑦)
21a1i 11 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ (((π‘₯ prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (π‘¦β€˜0) = 𝑃 ∧ {(lastSβ€˜π‘¦), (lastSβ€˜π‘₯)} ∈ 𝐸) β†’ (π‘₯ prefix 𝑀) = 𝑦))
32ss2rabi 4022 . . . 4 {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ ((π‘₯ prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (π‘¦β€˜0) = 𝑃 ∧ {(lastSβ€˜π‘¦), (lastSβ€˜π‘₯)} ∈ 𝐸)} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯ prefix 𝑀) = 𝑦}
4 wwlksnextprop.x . . . . . 6 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
5 wwlkssswwlksn 28519 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) βŠ† (WWalksβ€˜πΊ)
6 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
76wwlkssswrd 28515 . . . . . . 7 (WWalksβ€˜πΊ) βŠ† Word (Vtxβ€˜πΊ)
85, 7sstri 3941 . . . . . 6 ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) βŠ† Word (Vtxβ€˜πΊ)
94, 8eqsstri 3966 . . . . 5 𝑋 βŠ† Word (Vtxβ€˜πΊ)
10 rabss2 4023 . . . . 5 (𝑋 βŠ† Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯ prefix 𝑀) = 𝑦} βŠ† {π‘₯ ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∣ (π‘₯ prefix 𝑀) = 𝑦})
119, 10ax-mp 5 . . . 4 {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (π‘₯ prefix 𝑀) = 𝑦} βŠ† {π‘₯ ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∣ (π‘₯ prefix 𝑀) = 𝑦}
123, 11sstri 3941 . . 3 {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ ((π‘₯ prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (π‘¦β€˜0) = 𝑃 ∧ {(lastSβ€˜π‘¦), (lastSβ€˜π‘₯)} ∈ 𝐸)} βŠ† {π‘₯ ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∣ (π‘₯ prefix 𝑀) = 𝑦}
1312rgenw 3065 . 2 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ ((π‘₯ prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (π‘¦β€˜0) = 𝑃 ∧ {(lastSβ€˜π‘¦), (lastSβ€˜π‘₯)} ∈ 𝐸)} βŠ† {π‘₯ ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∣ (π‘₯ prefix 𝑀) = 𝑦}
14 disjwrdpfx 14511 . 2 Disj 𝑦 ∈ π‘Œ {π‘₯ ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∣ (π‘₯ prefix 𝑀) = 𝑦}
15 disjss2 5060 . 2 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ ((π‘₯ prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (π‘¦β€˜0) = 𝑃 ∧ {(lastSβ€˜π‘¦), (lastSβ€˜π‘₯)} ∈ 𝐸)} βŠ† {π‘₯ ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∣ (π‘₯ prefix 𝑀) = 𝑦} β†’ (Disj 𝑦 ∈ π‘Œ {π‘₯ ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∣ (π‘₯ prefix 𝑀) = 𝑦} β†’ Disj 𝑦 ∈ π‘Œ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ ((π‘₯ prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (π‘¦β€˜0) = 𝑃 ∧ {(lastSβ€˜π‘¦), (lastSβ€˜π‘₯)} ∈ 𝐸)}))
1613, 14, 15mp2 9 1 Disj 𝑦 ∈ π‘Œ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ ((π‘₯ prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (π‘¦β€˜0) = 𝑃 ∧ {(lastSβ€˜π‘¦), (lastSβ€˜π‘₯)} ∈ 𝐸)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3061  {crab 3403   βŠ† wss 3898  {cpr 4575  Disj wdisj 5057  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975  Word cword 14317  lastSclsw 14365   prefix cpfx 14481  Vtxcvtx 27655  Edgcedg 27706  WWalkscwwlks 28478   WWalksN cwwlksn 28479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-disj 5058  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-hash 14146  df-word 14318  df-wwlks 28483  df-wwlksn 28484
This theorem is referenced by:  hashwwlksnext  28567
  Copyright terms: Public domain W3C validator