MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  disjxwwlkn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem disjxwwlkn 29933
Description: Sets of walks (as words) extended by an edge are disjunct if each set contains extensions of distinct walks. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (Revised by AV, 26-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlksnextprop.x 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
wwlksnextprop.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
wwlksnextprop.y 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}
Assertion
Ref Expression
disjxwwlkn Disj 𝑦𝑌 {𝑥𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑦,𝐸   𝑥,𝑁,𝑦   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑥,𝑤,𝐺   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝐺(𝑦)   𝑀(𝑥,𝑤)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑥,𝑤)

Proof of Theorem disjxwwlkn
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . . . 6 (((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸) → (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦)
21a1i 11 . . . . 5 (𝑥𝑋 → (((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸) → (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦))
32ss2rabi 4077 . . . 4 {𝑥𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)} ⊆ {𝑥𝑋 ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦}
4 wwlksnextprop.x . . . . . 6 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
5 wwlkssswwlksn 29886 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ⊆ (WWalks‘𝐺)
6 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
76wwlkssswrd 29882 . . . . . . 7 (WWalks‘𝐺) ⊆ Word (Vtx‘𝐺)
85, 7sstri 3993 . . . . . 6 ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ⊆ Word (Vtx‘𝐺)
94, 8eqsstri 4030 . . . . 5 𝑋 ⊆ Word (Vtx‘𝐺)
10 rabss2 4078 . . . . 5 (𝑋 ⊆ Word (Vtx‘𝐺) → {𝑥𝑋 ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦} ⊆ {𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦})
119, 10ax-mp 5 . . . 4 {𝑥𝑋 ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦} ⊆ {𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦}
123, 11sstri 3993 . . 3 {𝑥𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)} ⊆ {𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦}
1312rgenw 3065 . 2 𝑦𝑌 {𝑥𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)} ⊆ {𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦}
14 disjwrdpfx 14738 . 2 Disj 𝑦𝑌 {𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦}
15 disjss2 5113 . 2 (∀𝑦𝑌 {𝑥𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)} ⊆ {𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦} → (Disj 𝑦𝑌 {𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦} → Disj 𝑦𝑌 {𝑥𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}))
1613, 14, 15mp2 9 1 Disj 𝑦𝑌 {𝑥𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  wss 3951  {cpr 4628  Disj wdisj 5110  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  Word cword 14552  lastSclsw 14600   prefix cpfx 14708  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064  WWalkscwwlks 29845   WWalksN cwwlksn 29846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-wwlks 29850  df-wwlksn 29851
This theorem is referenced by:  hashwwlksnext  29934
  Copyright terms: Public domain W3C validator