Theorem disjxwwlkn 29435

Description: Sets of walks (as words) extended by an edge are disjunct if each set contains extensions of distinct walks. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (Revised by AV, 26-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlksnextprop.x	⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
wwlksnextprop.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
wwlksnextprop.y	⊢ 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}

Assertion

Ref	Expression
disjxwwlkn	⊢ Disj 𝑦 ∈ 𝑌 {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑦,𝐸   𝑥,𝑁,𝑦   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑥,𝑤,𝐺   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝐺(𝑦)   𝑀(𝑥,𝑤)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑥,𝑤)

Proof of Theorem disjxwwlkn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸) → (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦)
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸) → (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦))
3	2	ss2rabi 4074	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦}
4		wwlksnextprop.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
5		wwlkssswwlksn 29388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ⊆ (WWalks‘𝐺)
6		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7	6	wwlkssswrd 29384	. . . . . . 7 ⊢ (WWalks‘𝐺) ⊆ Word (Vtx‘𝐺)
8	5, 7	sstri 3991	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ⊆ Word (Vtx‘𝐺)
9	4, 8	eqsstri 4016	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ⊆ Word (Vtx‘𝐺)
10		rabss2 4075	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ Word (Vtx‘𝐺) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦} ⊆ {𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦})
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦} ⊆ {𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦}
12	3, 11	sstri 3991	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)} ⊆ {𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦}
13	12	rgenw 3064	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝑌 {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)} ⊆ {𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦}
14		disjwrdpfx 14655	. 2 ⊢ Disj 𝑦 ∈ 𝑌 {𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦}
15		disjss2 5116	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑌 {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)} ⊆ {𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦} → (Disj 𝑦 ∈ 𝑌 {𝑥 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦} → Disj 𝑦 ∈ 𝑌 {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}))
16	13, 14, 15	mp2 9	1 ⊢ Disj 𝑦 ∈ 𝑌 {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ((𝑥 prefix 𝑀) = 𝑦 ∧ (𝑦‘0) = 𝑃 ∧ {(lastS‘𝑦), (lastS‘𝑥)} ∈ 𝐸)}

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  {crab 3431   ⊆ wss 3948  {cpr 4630  Disj wdisj 5113  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117  Word cword 14469  lastSclsw 14517   prefix cpfx 14625  Vtxcvtx 28524  Edgcedg 28575  WWalkscwwlks 29347   WWalksN cwwlksn 29348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-wwlks 29352  df-wwlksn 29353

This theorem is referenced by:  hashwwlksnext  29436