Theorem distps 21295

Description: The discrete topology on a set 𝐴 expressed as a topological space. (Contributed by FL, 20-Aug-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
distps.a	⊢ 𝐴 ∈ V
distps.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝒫 𝐴⟩}

Assertion

Ref	Expression
distps	⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Proof of Theorem distps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distps.k	. 2 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝒫 𝐴⟩}
2		unipw 5227	. . 3 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
3	2	eqcomi 2802	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝒫 𝐴
4		distps.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
5		distop 21275	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝒫 𝐴 ∈ Top
7	1, 3, 6	eltpsi 21224	1 ⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Syntax hints:   = wceq 1520   ∈ wcel 2079  Vcvv 3432  𝒫 cpw 4447  {cpr 4468  ⟨cop 4472  ∪ cuni 4739  ‘cfv 6217  ndxcnx 16297  Basecbs 16300  TopSetcts 16388  Topctop 21173  TopSpctps 21212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-fz 12732  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-tset 16401  df-rest 16513  df-topn 16514  df-top 21174  df-topon 21191  df-topsp 21213

This theorem is referenced by: (None)