Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0ringcring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ringcring 33224
Description: The zero ring is commutative. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
0ringcring.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ringcring.2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
0ringcring.3 (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
Assertion
Ref Expression
0ringcring (𝜑𝑅 ∈ CRing)

Proof of Theorem 0ringcring
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ringcring.2 . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2740 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3 0ringcring.1 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
42, 3mgpbas 20167 . . . 4 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
54a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
6 eqid 2740 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
72, 6mgpplusg 20165 . . . 4 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
92ringmgp 20266 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
101, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
11 eqid 2740 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
1213ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
13 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
143, 6, 11, 12, 13ringlzd 20318 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑦) = (0g𝑅))
153, 6, 11, 12, 13ringrzd 20319 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑦(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
1614, 15eqtr4d 2783 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)(0g𝑅)))
17 simp2 1137 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
18 0ringcring.3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
193, 110ring 20552 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g𝑅)})
201, 18, 19syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = {(0g𝑅)})
21203ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝐵 = {(0g𝑅)})
2217, 21eleqtrd 2846 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥 ∈ {(0g𝑅)})
23 elsni 4665 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {(0g𝑅)} → 𝑥 = (0g𝑅))
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥 = (0g𝑅))
2524oveq1d 7463 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = ((0g𝑅)(.r𝑅)𝑦))
2624oveq2d 7464 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (𝑦(.r𝑅)(0g𝑅)))
2716, 25, 263eqtr4d 2790 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)𝑥))
285, 8, 10, 27iscmnd 19836 . 2 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
292iscrng 20267 . 2 (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
301, 28, 29sylanbrc 582 1 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  {csn 4648  cfv 6573  (class class class)co 7448  1c1 11185  chash 14379  Basecbs 17258  +gcplusg 17311  .rcmulr 17312  0gc0g 17499  Mndcmnd 18772  CMndccmn 19822  mulGrpcmgp 20161  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-hash 14380  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator