Theorem 0ringcring 33860

Description: The zero ring is commutative. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ringcring.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ringcring.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
0ringcring.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
0ringcring	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Proof of Theorem 0ringcring

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ringcring.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		0ringcring.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	mgpbas 20371	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7	2, 6	mgpplusg 20370	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
9	2	ringmgp 20471	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
10	1, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
12	1	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14	3, 6, 11, 12, 13	ringlzd 20532	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅))
15	3, 6, 11, 12, 13	ringrzd 20533	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
16	14, 15	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
17		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
18		0ringcring.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
19	3, 11	0ring 20783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
20	1, 18, 19	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
21	20	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
22	17, 21	eleqtrd 2862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ {(0g‘𝑅)})
23		elsni 4597	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝑅)} → 𝑥 = (0g‘𝑅))
24	22, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 = (0g‘𝑅))
25	24	oveq1d 7436	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦))
26	24	oveq2d 7437	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑦(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
27	16, 25, 26	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
28	5, 8, 10, 27	iscmnd 20014	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
29	2	iscrng 20472	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
30	1, 28, 29	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {csn 4584  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  1c1 11205  ♯chash 14478  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  ._rcmulr 17435  0_gc0g 17616  Mndcmnd 18929  CMndccmn 20000  mulGrpcmgp 20366  Ringcrg 20465  CRingccrg 20466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-hash 14479  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-cring 20468

This theorem is used by: (None)