Theorem 0ringcring 33328

Description: The zero ring is commutative. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ringcring.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ringcring.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
0ringcring.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
0ringcring	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Proof of Theorem 0ringcring

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ringcring.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		0ringcring.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	mgpbas 20117	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7	2, 6	mgpplusg 20116	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
9	2	ringmgp 20211	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
10	1, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
12	1	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14	3, 6, 11, 12, 13	ringlzd 20267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅))
15	3, 6, 11, 12, 13	ringrzd 20268	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
16	14, 15	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
17		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
18		0ringcring.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
19	3, 11	0ring 20494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
20	1, 18, 19	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
21	20	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
22	17, 21	eleqtrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ {(0g‘𝑅)})
23		elsni 4585	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝑅)} → 𝑥 = (0g‘𝑅))
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 = (0g‘𝑅))
25	24	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦))
26	24	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑦(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
27	16, 25, 26	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
28	5, 8, 10, 27	iscmnd 19760	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
29	2	iscrng 20212	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
30	1, 28, 29	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1c1 11030  ♯chash 14283  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393  Mndcmnd 18693  CMndccmn 19746  mulGrpcmgp 20112  Ringcrg 20205  CRingccrg 20206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208

This theorem is referenced by: (None)