Theorem 0ringcring 33137

Description: The zero ring is commutative. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ringcring.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ringcring.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
0ringcring.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
0ringcring	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Proof of Theorem 0ringcring

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ringcring.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		0ringcring.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	mgpbas 20145	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7	2, 6	mgpplusg 20143	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
9	2	ringmgp 20244	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
10	1, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
11		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
12	1	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simp3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14	3, 6, 11, 12, 13	ringlzd 20296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅))
15	3, 6, 11, 12, 13	ringrzd 20297	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
16	14, 15	eqtr4d 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
17		simp2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
18		0ringcring.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
19	3, 11	0ring 20530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
20	1, 18, 19	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
21	20	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
22	17, 21	eleqtrd 2831	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ {(0g‘𝑅)})
23		elsni 4653	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝑅)} → 𝑥 = (0g‘𝑅))
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 = (0g‘𝑅))
25	24	oveq1d 7445	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦))
26	24	oveq2d 7446	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑦(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
27	16, 25, 26	3eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
28	5, 8, 10, 27	iscmnd 19814	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
29	2	iscrng 20245	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
30	1, 28, 29	sylanbrc 581	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2100  {csn 4636  ‘cfv 6558  (class class class)co 7430  1c1 11166  ♯chash 14359  Basecbs 17234  +_gcplusg 17287  ._rcmulr 17288  0_gc0g 17475  Mndcmnd 18748  CMndccmn 19800  mulGrpcmgp 20139  Ringcrg 20238  CRingccrg 20239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-icn 11224  ax-addcl 11225  ax-addrcl 11226  ax-mulcl 11227  ax-mulrcl 11228  ax-mulcom 11229  ax-addass 11230  ax-mulass 11231  ax-distr 11232  ax-i2m1 11233  ax-1ne0 11234  ax-1rid 11235  ax-rnegex 11236  ax-rrecex 11237  ax-cnre 11238  ax-pre-lttri 11239  ax-pre-lttrn 11240  ax-pre-ltadd 11241  ax-pre-mulgt0 11242

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-pss 3979  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-int 4960  df-iun 5008  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-tr 5274  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7386  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7885  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8742  df-en 8983  df-dom 8984  df-sdom 8985  df-fin 8986  df-card 9989  df-pnf 11307  df-mnf 11308  df-xr 11309  df-ltxr 11310  df-le 11311  df-sub 11503  df-neg 11504  df-nn 12275  df-2 12337  df-n0 12535  df-z 12621  df-uz 12885  df-fz 13549  df-hash 14360  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-plusg 17300  df-0g 17477  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18952  df-minusg 18953  df-cmn 19802  df-abl 19803  df-mgp 20140  df-rng 20158  df-ur 20187  df-ring 20240  df-cring 20241

This theorem is referenced by: (None)