Theorem 0ringcring 33393

Description: The zero ring is commutative. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ringcring.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ringcring.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
0ringcring.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
0ringcring	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Proof of Theorem 0ringcring

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ringcring.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		0ringcring.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	mgpbas 20181	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7	2, 6	mgpplusg 20180	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
9	2	ringmgp 20275	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
10	1, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
11		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
12	1	3ad2ant1 1145	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simp3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14	3, 6, 11, 12, 13	ringlzd 20331	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅))
15	3, 6, 11, 12, 13	ringrzd 20332	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
16	14, 15	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
17		simp2 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
18		0ringcring.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
19	3, 11	0ring 20562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
20	1, 18, 19	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
21	20	3ad2ant1 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
22	17, 21	eleqtrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ {(0g‘𝑅)})
23		elsni 4596	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝑅)} → 𝑥 = (0g‘𝑅))
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 = (0g‘𝑅))
25	24	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦))
26	24	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑦(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
27	16, 25, 26	3eqtr4d 2806	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
28	5, 8, 10, 27	iscmnd 19824	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
29	2	iscrng 20276	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
30	1, 28, 29	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {csn 4579  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  1c1 11067  ♯chash 14336  Basecbs 17235  +_gcplusg 17276  ._rcmulr 17277  0_gc0g 17458  Mndcmnd 18758  CMndccmn 19810  mulGrpcmgp 20176  Ringcrg 20269  CRingccrg 20270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-hash 14337  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-cmn 19812  df-abl 19813  df-mgp 20177  df-rng 20189  df-ur 20218  df-ring 20271  df-cring 20272

This theorem is referenced by: (None)