Theorem 0ringcring 33228

Description: The zero ring is commutative. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ringcring.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ringcring.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
0ringcring.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
0ringcring	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Proof of Theorem 0ringcring

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ringcring.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		0ringcring.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	mgpbas 20067	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
6		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7	2, 6	mgpplusg 20066	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
9	2	ringmgp 20161	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
10	1, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
11		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
12	1	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14	3, 6, 11, 12, 13	ringlzd 20217	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅))
15	3, 6, 11, 12, 13	ringrzd 20218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
16	14, 15	eqtr4d 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
17		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
18		0ringcring.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
19	3, 11	0ring 20445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
20	1, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
21	20	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
22	17, 21	eleqtrd 2835	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ {(0g‘𝑅)})
23		elsni 4594	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝑅)} → 𝑥 = (0g‘𝑅))
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 = (0g‘𝑅))
25	24	oveq1d 7369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦))
26	24	oveq2d 7370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑦(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
27	16, 25, 26	3eqtr4d 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
28	5, 8, 10, 27	iscmnd 19710	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
29	2	iscrng 20162	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
30	1, 28, 29	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4577  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  1c1 11016  ♯chash 14241  Basecbs 17124  +_gcplusg 17165  ._rcmulr 17166  0_gc0g 17347  Mndcmnd 18646  CMndccmn 19696  mulGrpcmgp 20062  Ringcrg 20155  CRingccrg 20156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-hash 14242  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-plusg 17178  df-0g 17349  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-ring 20157  df-cring 20158

This theorem is referenced by: (None)