Theorem ply1dg1rt 33977

Description: Express the root − 𝐵 / 𝐴 of a polynomial 𝐴 · 𝑋 + 𝐵 of degree 1 over a field. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1dg1rt.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1dg1rt.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1dg1rt.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1dg1rt.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1dg1rt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1dg1rt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
ply1dg1rt.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
ply1dg1rt.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
ply1dg1rt.x	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ply1dg1rt.m	⊢ / = (/r‘𝑅)
ply1dg1rt.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐺)
ply1dg1rt.a	⊢ 𝐴 = (𝐶‘1)
ply1dg1rt.b	⊢ 𝐵 = (𝐶‘0)
ply1dg1rt.z	⊢ 𝑍 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ply1dg1rt	⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑍})

Proof of Theorem ply1dg1rt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1dg1rt.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
2		ply1dg1rt.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		ply1dg1rt.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		ply1dg1rt.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
5	4	fldcrngd 20906	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		ply1dg1rt.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	evl1fvf 33960	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
9	8	ffnd 6707	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺) Fn (Base‘𝑅))
10		fniniseg2 7058	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐺) Fn (Base‘𝑅) → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 })
11	9, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 })
12		fveqeq2 6891	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ))
13		ply1dg1rt.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)
14	5	crngringd 20386	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15		ply1dg1rt.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
16	5	crnggrpd 20387	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
17		ply1dg1rt.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝐶‘0)
18		0nn0 12546	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19		ply1dg1rt.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐺)
20	19, 3, 2, 6	coe1fvalcl 22438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐶‘0) ∈ (Base‘𝑅))
21	7, 18, 20	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (Base‘𝑅))
22	17, 21	eqeltrid 2866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))
23	6, 15, 16, 22	grpinvcld 19113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅))
24		ply1dg1rt.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝐶‘1)
25	4	flddrngd 20905	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
26		1nn0 12547	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
27	19, 3, 2, 6	coe1fvalcl 22438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅))
28	7, 26, 27	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅))
29		ply1dg1rt.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
30	29	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐷‘𝐺)) = (𝐶‘1))
31	29, 26	eqeltrdi 2870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
32		ply1dg1rt.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
33		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
34	32, 2, 33, 3	deg1nn0clb 26317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝐺 ≠ (0g‘𝑃) ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
35	34	biimpar 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0) → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
36	14, 7, 31, 35	syl21anc 851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
37		ply1dg1rt.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
38	32, 2, 33, 3, 37, 19	deg1ldg 26319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐶‘(𝐷‘𝐺)) ≠ 0 )
39	14, 7, 36, 38	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐷‘𝐺)) ≠ 0 )
40	30, 39	eqnetrrd 3025	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ≠ 0 )
41		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
42	6, 41, 37	drngunit 20896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐶‘1) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐶‘1) ≠ 0 )))
43	42	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐶‘1) ≠ 0 )) → (𝐶‘1) ∈ (Unit‘𝑅))
44	25, 28, 40, 43	syl12anc 850	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ (Unit‘𝑅))
45	24, 44	eqeltrid 2866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
46		ply1dg1rt.m	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘𝑅)
47	6, 41, 46	dvrcl 20546	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑁‘𝐵) / 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
48	14, 23, 45, 47	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵) / 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
49	13, 48	eqeltrid 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑅))
50		eqidd 2763	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝑍)
51		eqeq1 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑥 = 𝑍 ↔ 𝑍 = 𝑍))
52	51	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑥 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ) ↔ (𝑍 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 )))
53		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑍))
54	53	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 = 𝑍) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑍))
55	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Grp)
56		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
57	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
58	24, 28	eqeltrid 2866	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
59	58	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
60		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
61	6, 56, 57, 59, 60	ringcld 20397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐴(.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
62	23	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅))
63	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))
64		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
65	6, 64	grprcan 19098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵) ↔ (𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑁‘𝐵)))
66	55, 61, 62, 63, 65	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵) ↔ (𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑁‘𝐵)))
67	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
68	48	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑁‘𝐵) / 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
69	6, 56, 67, 68, 59	crngcomd 20395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑁‘𝐵) / 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑁‘𝐵) / 𝐴)))
70	45	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
71	6, 41, 46, 56	dvrcan1 20551	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((𝑁‘𝐵) / 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) = (𝑁‘𝐵))
72	57, 62, 70, 71	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑁‘𝐵) / 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) = (𝑁‘𝐵))
73	69, 72	eqtr3d 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐴(.r‘𝑅)((𝑁‘𝐵) / 𝐴)) = (𝑁‘𝐵))
74	73	eqeq2d 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑁‘𝐵) / 𝐴)) ↔ (𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑁‘𝐵)))
75		drngdomn 20913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Domn)
76	25, 75	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
77		domnnzr 20869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
78	76, 77	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
79	78	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
80	41, 37, 79, 70	unitnz 33665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ≠ 0 )
81	59, 80	eldifsnd 4753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ { 0 }))
82	76	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Domn)
83	6, 37, 56, 81, 60, 68, 82	domnlcanb 20882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑁‘𝐵) / 𝐴)) ↔ 𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)))
84	66, 74, 83	3bitr2rd 311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴) ↔ ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵)))
85	6, 64, 37, 15, 55, 63	grplinvd 19119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵) = 0 )
86	85	eqeq2d 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵) ↔ ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = 0 ))
87	84, 86	bitr2d 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = 0 ↔ 𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)))
88	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐺 ∈ 𝑈)
89	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐷‘𝐺) = 1)
90	2, 1, 6, 3, 56, 64, 19, 32, 24, 17, 67, 88, 89, 60	evl1deg1 33973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵))
91	90	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = 0 ))
92	13	eqeq2i 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑍 ↔ 𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴))
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 = 𝑍 ↔ 𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)))
94	87, 91, 93	3bitr4d 314	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑍))
95	94	biimpar 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 = 𝑍) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 )
96	54, 95	eqtr3d 2799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 = 𝑍) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 )
97	96	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ))
98	97	ralrimiva 3156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ))
99	52, 98, 49	rspcdva 3580	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ))
100	50, 99	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 )
101	94	biimpa 482	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ) → 𝑥 = 𝑍)
102	12, 49, 100, 101	rabeqsnd 4633	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 } = {𝑍})
103	11, 102	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑍})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  {crab 3414  {csn 4587  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11127  1c1 11128  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  ._rcmulr 17347  0_gc0g 17528  Grpcgrp 19058  inv_gcminusg 19059  Ringcrg 20373  CRingccrg 20374  Unitcui 20497  /_rcdvr 20542  NzRingcnzr 20673  Domncdomn 20855  DivRingcdr 20891  Fieldcfield 20892  Poly₁cpl1 22403  coe₁cco1 22404  eval₁ce1 22540  deg₁cdg1 26281

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-srg 20327  df-ring 20375  df-cring 20376  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-dvr 20543  df-rhm 20614  df-nzr 20674  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-rlreg 20857  df-domn 20858  df-drng 20893  df-field 20894  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-cnfld 21587  df-assa 22069  df-asp 22070  df-ascl 22071  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-evls 22291  df-evl 22292  df-psr1 22406  df-vr1 22407  df-ply1 22408  df-coe1 22409  df-evls1 22541  df-evl1 22542  df-mdeg 26282  df-deg1 26283

This theorem is used by:  ply1dg1rtn0  33978