Theorem ply1dg1rt 33569

Description: Express the root − 𝐵 / 𝐴 of a polynomial 𝐴 · 𝑋 + 𝐵 of degree 1 over a field. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1dg1rt.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1dg1rt.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1dg1rt.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1dg1rt.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1dg1rt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1dg1rt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
ply1dg1rt.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
ply1dg1rt.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
ply1dg1rt.x	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ply1dg1rt.m	⊢ / = (/r‘𝑅)
ply1dg1rt.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐺)
ply1dg1rt.a	⊢ 𝐴 = (𝐶‘1)
ply1dg1rt.b	⊢ 𝐵 = (𝐶‘0)
ply1dg1rt.z	⊢ 𝑍 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ply1dg1rt	⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑍})

Proof of Theorem ply1dg1rt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1dg1rt.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
2		ply1dg1rt.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		ply1dg1rt.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		ply1dg1rt.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
5	4	fldcrngd 20764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		ply1dg1rt.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	evl1fvf 33554	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
9	8	ffnd 6748	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺) Fn (Base‘𝑅))
10		fniniseg2 7095	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐺) Fn (Base‘𝑅) → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 })
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 })
12		fveqeq2 6929	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ))
13		ply1dg1rt.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)
14	5	crngringd 20273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15		ply1dg1rt.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
16	5	crnggrpd 20274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
17		ply1dg1rt.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝐶‘0)
18		0nn0 12568	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19		ply1dg1rt.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐺)
20	19, 3, 2, 6	coe1fvalcl 22235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐶‘0) ∈ (Base‘𝑅))
21	7, 18, 20	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (Base‘𝑅))
22	17, 21	eqeltrid 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))
23	6, 15, 16, 22	grpinvcld 19028	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅))
24		ply1dg1rt.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝐶‘1)
25	4	flddrngd 20763	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
26		1nn0 12569	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
27	19, 3, 2, 6	coe1fvalcl 22235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅))
28	7, 26, 27	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅))
29		ply1dg1rt.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
30	29	fveq2d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐷‘𝐺)) = (𝐶‘1))
31	29, 26	eqeltrdi 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
32		ply1dg1rt.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
33		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
34	32, 2, 33, 3	deg1nn0clb 26149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝐺 ≠ (0g‘𝑃) ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
35	34	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0) → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
36	14, 7, 31, 35	syl21anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
37		ply1dg1rt.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
38	32, 2, 33, 3, 37, 19	deg1ldg 26151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐶‘(𝐷‘𝐺)) ≠ 0 )
39	14, 7, 36, 38	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐷‘𝐺)) ≠ 0 )
40	30, 39	eqnetrrd 3015	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ≠ 0 )
41		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
42	6, 41, 37	drngunit 20756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐶‘1) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐶‘1) ≠ 0 )))
43	42	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐶‘1) ≠ 0 )) → (𝐶‘1) ∈ (Unit‘𝑅))
44	25, 28, 40, 43	syl12anc 836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ (Unit‘𝑅))
45	24, 44	eqeltrid 2848	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
46		ply1dg1rt.m	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘𝑅)
47	6, 41, 46	dvrcl 20430	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑁‘𝐵) / 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
48	14, 23, 45, 47	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵) / 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
49	13, 48	eqeltrid 2848	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑅))
50		eqidd 2741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝑍)
51		eqeq1 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑥 = 𝑍 ↔ 𝑍 = 𝑍))
52	51	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑥 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ) ↔ (𝑍 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 )))
53		fveq2 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑍))
54	53	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 = 𝑍) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑍))
55	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Grp)
56		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
57	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
58	24, 28	eqeltrid 2848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
60		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
61	6, 56, 57, 59, 60	ringcld 20286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐴(.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
62	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅))
63	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))
64		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
65	6, 64	grprcan 19013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵) ↔ (𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑁‘𝐵)))
66	55, 61, 62, 63, 65	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵) ↔ (𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑁‘𝐵)))
67	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
68	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑁‘𝐵) / 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
69	6, 56, 67, 68, 59	crngcomd 20282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑁‘𝐵) / 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑁‘𝐵) / 𝐴)))
70	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
71	6, 41, 46, 56	dvrcan1 20435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((𝑁‘𝐵) / 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) = (𝑁‘𝐵))
72	57, 62, 70, 71	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑁‘𝐵) / 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) = (𝑁‘𝐵))
73	69, 72	eqtr3d 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐴(.r‘𝑅)((𝑁‘𝐵) / 𝐴)) = (𝑁‘𝐵))
74	73	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑁‘𝐵) / 𝐴)) ↔ (𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑁‘𝐵)))
75		drngdomn 20771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Domn)
76	25, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
77		domnnzr 20728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
79	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
80	41, 37, 79, 70	unitnz 33219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ≠ 0 )
81	59, 80	eldifsnd 4812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ { 0 }))
82	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Domn)
83	6, 37, 56, 81, 60, 68, 82	domnlcanb 20742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑁‘𝐵) / 𝐴)) ↔ 𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)))
84	66, 74, 83	3bitr2rd 308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴) ↔ ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵)))
85	6, 64, 37, 15, 55, 63	grplinvd 19034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵) = 0 )
86	85	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵) ↔ ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = 0 ))
87	84, 86	bitr2d 280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = 0 ↔ 𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)))
88	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐺 ∈ 𝑈)
89	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐷‘𝐺) = 1)
90	2, 1, 6, 3, 56, 64, 19, 32, 24, 17, 67, 88, 89, 60	evl1deg1 33566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵))
91	90	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = 0 ))
92	13	eqeq2i 2753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑍 ↔ 𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴))
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 = 𝑍 ↔ 𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)))
94	87, 91, 93	3bitr4d 311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑍))
95	94	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 = 𝑍) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 )
96	54, 95	eqtr3d 2782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 = 𝑍) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 )
97	96	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ))
98	97	ralrimiva 3152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ))
99	52, 98, 49	rspcdva 3636	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ))
100	50, 99	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 )
101	94	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ) → 𝑥 = 𝑍)
102	12, 49, 100, 101	rabeqsnd 4691	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 } = {𝑍})
103	11, 102	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑍})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  {crab 3443  {csn 4648  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  Grpcgrp 18973  inv_gcminusg 18974  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261  Unitcui 20381  /_rcdvr 20426  NzRingcnzr 20538  Domncdomn 20714  DivRingcdr 20751  Fieldcfield 20752  Poly₁cpl1 22199  coe₁cco1 22200  eval₁ce1 22339  deg₁cdg1 26113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-srg 20214  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-rhm 20498  df-nzr 20539  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-rlreg 20716  df-domn 20717  df-drng 20753  df-field 20754  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-cnfld 21388  df-assa 21896  df-asp 21897  df-ascl 21898  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-evls 22121  df-evl 22122  df-psr1 22202  df-vr1 22203  df-ply1 22204  df-coe1 22205  df-evls1 22340  df-evl1 22341  df-mdeg 26114  df-deg1 26115

This theorem is referenced by:  ply1dg1rtn0  33570