Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1dg1rt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1dg1rt 33583
Description: Express the root 𝐵 / 𝐴 of a polynomial 𝐴 · 𝑋 + 𝐵 of degree 1 over a field. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1dg1rt.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1dg1rt.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1dg1rt.o 𝑂 = (eval1𝑅)
ply1dg1rt.d 𝐷 = (deg1𝑅)
ply1dg1rt.0 0 = (0g𝑅)
ply1dg1rt.r (𝜑𝑅 ∈ Field)
ply1dg1rt.g (𝜑𝐺𝑈)
ply1dg1rt.1 (𝜑 → (𝐷𝐺) = 1)
ply1dg1rt.x 𝑁 = (invg𝑅)
ply1dg1rt.m / = (/r𝑅)
ply1dg1rt.c 𝐶 = (coe1𝐺)
ply1dg1rt.a 𝐴 = (𝐶‘1)
ply1dg1rt.b 𝐵 = (𝐶‘0)
ply1dg1rt.z 𝑍 = ((𝑁𝐵) / 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ply1dg1rt (𝜑 → ((𝑂𝐺) “ { 0 }) = {𝑍})

Proof of Theorem ply1dg1rt
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1dg1rt.o . . . . 5 𝑂 = (eval1𝑅)
2 ply1dg1rt.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 ply1dg1rt.u . . . . 5 𝑈 = (Base‘𝑃)
4 ply1dg1rt.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Field)
54fldcrngd 20758 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
6 eqid 2734 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7 ply1dg1rt.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝑈)
81, 2, 3, 5, 6, 7evl1fvf 33568 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐺):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
98ffnd 6737 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝐺) Fn (Base‘𝑅))
10 fniniseg2 7081 . . 3 ((𝑂𝐺) Fn (Base‘𝑅) → ((𝑂𝐺) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 })
119, 10syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝐺) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 })
12 fveqeq2 6915 . . 3 (𝑥 = 𝑍 → (((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝑂𝐺)‘𝑍) = 0 ))
13 ply1dg1rt.z . . . 4 𝑍 = ((𝑁𝐵) / 𝐴)
145crngringd 20263 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
15 ply1dg1rt.x . . . . . 6 𝑁 = (invg𝑅)
165crnggrpd 20264 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
17 ply1dg1rt.b . . . . . . 7 𝐵 = (𝐶‘0)
18 0nn0 12538 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
19 ply1dg1rt.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (coe1𝐺)
2019, 3, 2, 6coe1fvalcl 22229 . . . . . . . 8 ((𝐺𝑈 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐶‘0) ∈ (Base‘𝑅))
217, 18, 20sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (Base‘𝑅))
2217, 21eqeltrid 2842 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (Base‘𝑅))
236, 15, 16, 22grpinvcld 19018 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝐵) ∈ (Base‘𝑅))
24 ply1dg1rt.a . . . . . 6 𝐴 = (𝐶‘1)
254flddrngd 20757 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
26 1nn0 12539 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
2719, 3, 2, 6coe1fvalcl 22229 . . . . . . . 8 ((𝐺𝑈 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅))
287, 26, 27sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅))
29 ply1dg1rt.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷𝐺) = 1)
3029fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶‘(𝐷𝐺)) = (𝐶‘1))
3129, 26eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
32 ply1dg1rt.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (deg1𝑅)
33 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑃) = (0g𝑃)
3432, 2, 33, 3deg1nn0clb 26143 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝑈) → (𝐺 ≠ (0g𝑃) ↔ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0))
3534biimpar 477 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝑈) ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0) → 𝐺 ≠ (0g𝑃))
3614, 7, 31, 35syl21anc 838 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ≠ (0g𝑃))
37 ply1dg1rt.0 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑅)
3832, 2, 33, 3, 37, 19deg1ldg 26145 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝑈𝐺 ≠ (0g𝑃)) → (𝐶‘(𝐷𝐺)) ≠ 0 )
3914, 7, 36, 38syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶‘(𝐷𝐺)) ≠ 0 )
4030, 39eqnetrrd 3006 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶‘1) ≠ 0 )
41 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
426, 41, 37drngunit 20750 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐶‘1) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐶‘1) ≠ 0 )))
4342biimpar 477 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐶‘1) ≠ 0 )) → (𝐶‘1) ∈ (Unit‘𝑅))
4425, 28, 40, 43syl12anc 837 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ (Unit‘𝑅))
4524, 44eqeltrid 2842 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
46 ply1dg1rt.m . . . . . 6 / = (/r𝑅)
476, 41, 46dvrcl 20420 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁𝐵) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑁𝐵) / 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
4814, 23, 45, 47syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐵) / 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
4913, 48eqeltrid 2842 . . 3 (𝜑𝑍 ∈ (Base‘𝑅))
50 eqidd 2735 . . . 4 (𝜑𝑍 = 𝑍)
51 eqeq1 2738 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑍 → (𝑥 = 𝑍𝑍 = 𝑍))
5251imbi1d 341 . . . . 5 (𝑥 = 𝑍 → ((𝑥 = 𝑍 → ((𝑂𝐺)‘𝑍) = 0 ) ↔ (𝑍 = 𝑍 → ((𝑂𝐺)‘𝑍) = 0 )))
53 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑍 → ((𝑂𝐺)‘𝑥) = ((𝑂𝐺)‘𝑍))
5453adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 = 𝑍) → ((𝑂𝐺)‘𝑥) = ((𝑂𝐺)‘𝑍))
5516adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Grp)
56 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5714adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
5824, 28eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
60 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
616, 56, 57, 59, 60ringcld 20276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐴(.r𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
6223adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁𝐵) ∈ (Base‘𝑅))
6322adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))
64 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝑅) = (+g𝑅)
656, 64grprcan 19003 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝐴(.r𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑁𝐵) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝐴(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)𝐵) = ((𝑁𝐵)(+g𝑅)𝐵) ↔ (𝐴(.r𝑅)𝑥) = (𝑁𝐵)))
6655, 61, 62, 63, 65syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐴(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)𝐵) = ((𝑁𝐵)(+g𝑅)𝐵) ↔ (𝐴(.r𝑅)𝑥) = (𝑁𝐵)))
675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
6848adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑁𝐵) / 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
696, 56, 67, 68, 59crngcomd 20272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑁𝐵) / 𝐴)(.r𝑅)𝐴) = (𝐴(.r𝑅)((𝑁𝐵) / 𝐴)))
7045adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
716, 41, 46, 56dvrcan1 20425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁𝐵) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((𝑁𝐵) / 𝐴)(.r𝑅)𝐴) = (𝑁𝐵))
7257, 62, 70, 71syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑁𝐵) / 𝐴)(.r𝑅)𝐴) = (𝑁𝐵))
7369, 72eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐴(.r𝑅)((𝑁𝐵) / 𝐴)) = (𝑁𝐵))
7473eqeq2d 2745 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐴(.r𝑅)𝑥) = (𝐴(.r𝑅)((𝑁𝐵) / 𝐴)) ↔ (𝐴(.r𝑅)𝑥) = (𝑁𝐵)))
75 drngdomn 20765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Domn)
7625, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
77 domnnzr 20722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
8041, 37, 79, 70unitnz 33228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴0 )
8159, 80eldifsnd 4791 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ { 0 }))
8276adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Domn)
836, 37, 56, 81, 60, 68, 82domnlcanb 20736 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐴(.r𝑅)𝑥) = (𝐴(.r𝑅)((𝑁𝐵) / 𝐴)) ↔ 𝑥 = ((𝑁𝐵) / 𝐴)))
8466, 74, 833bitr2rd 308 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 = ((𝑁𝐵) / 𝐴) ↔ ((𝐴(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)𝐵) = ((𝑁𝐵)(+g𝑅)𝐵)))
856, 64, 37, 15, 55, 63grplinvd 19024 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑁𝐵)(+g𝑅)𝐵) = 0 )
8685eqeq2d 2745 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐴(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)𝐵) = ((𝑁𝐵)(+g𝑅)𝐵) ↔ ((𝐴(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)𝐵) = 0 ))
8784, 86bitr2d 280 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐴(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)𝐵) = 0𝑥 = ((𝑁𝐵) / 𝐴)))
887adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐺𝑈)
8929adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐷𝐺) = 1)
902, 1, 6, 3, 56, 64, 19, 32, 24, 17, 67, 88, 89, 60evl1deg1 33580 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑂𝐺)‘𝑥) = ((𝐴(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)𝐵))
9190eqeq1d 2736 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐴(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)𝐵) = 0 ))
9213eqeq2i 2747 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑍𝑥 = ((𝑁𝐵) / 𝐴))
9392a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 = 𝑍𝑥 = ((𝑁𝐵) / 𝐴)))
9487, 91, 933bitr4d 311 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0𝑥 = 𝑍))
9594biimpar 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 = 𝑍) → ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 )
9654, 95eqtr3d 2776 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 = 𝑍) → ((𝑂𝐺)‘𝑍) = 0 )
9796ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 = 𝑍 → ((𝑂𝐺)‘𝑍) = 0 ))
9897ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥 = 𝑍 → ((𝑂𝐺)‘𝑍) = 0 ))
9952, 98, 49rspcdva 3622 . . . 4 (𝜑 → (𝑍 = 𝑍 → ((𝑂𝐺)‘𝑍) = 0 ))
10050, 99mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝑂𝐺)‘𝑍) = 0 )
10194biimpa 476 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 ) → 𝑥 = 𝑍)
10212, 49, 100, 101rabeqsnd 4673 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 } = {𝑍})
10311, 102eqtrd 2774 1 (𝜑 → ((𝑂𝐺) “ { 0 }) = {𝑍})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  {crab 3432  {csn 4630  ccnv 5687  cima 5691   Fn wfn 6557  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153  0cn0 12523  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17485  Grpcgrp 18963  invgcminusg 18964  Ringcrg 20250  CRingccrg 20251  Unitcui 20371  /rcdvr 20416  NzRingcnzr 20528  Domncdomn 20708  DivRingcdr 20745  Fieldcfield 20746  Poly1cpl1 22193  coe1cco1 22194  eval1ce1 22333  deg1cdg1 26107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-srg 20204  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-nzr 20529  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-rlreg 20710  df-domn 20711  df-drng 20747  df-field 20748  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-cnfld 21382  df-assa 21890  df-asp 21891  df-ascl 21892  df-psr 21946  df-mvr 21947  df-mpl 21948  df-opsr 21950  df-evls 22115  df-evl 22116  df-psr1 22196  df-vr1 22197  df-ply1 22198  df-coe1 22199  df-evls1 22334  df-evl1 22335  df-mdeg 26108  df-deg1 26109
This theorem is referenced by:  ply1dg1rtn0  33584
  Copyright terms: Public domain W3C validator