Theorem ply1dg1rt 33457

Description: Express the root − 𝐵 / 𝐴 of a polynomial 𝐴 · 𝑋 + 𝐵 of degree 1 over a field. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1dg1rt.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1dg1rt.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1dg1rt.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1dg1rt.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1dg1rt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1dg1rt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
ply1dg1rt.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
ply1dg1rt.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
ply1dg1rt.x	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ply1dg1rt.m	⊢ / = (/r‘𝑅)
ply1dg1rt.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐺)
ply1dg1rt.a	⊢ 𝐴 = (𝐶‘1)
ply1dg1rt.b	⊢ 𝐵 = (𝐶‘0)
ply1dg1rt.z	⊢ 𝑍 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ply1dg1rt	⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑍})

Proof of Theorem ply1dg1rt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1dg1rt.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
2		ply1dg1rt.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		ply1dg1rt.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		ply1dg1rt.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
5	4	fldcrngd 20716	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		ply1dg1rt.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	evl1fvf 33442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
9	8	ffnd 6721	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺) Fn (Base‘𝑅))
10		fniniseg2 7067	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐺) Fn (Base‘𝑅) → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 })
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 })
12		fveqeq2 6902	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ))
13		ply1dg1rt.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)
14	5	crngringd 20225	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15		ply1dg1rt.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
16	5	crnggrpd 20226	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
17		ply1dg1rt.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝐶‘0)
18		0nn0 12533	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19		ply1dg1rt.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐺)
20	19, 3, 2, 6	coe1fvalcl 22198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐶‘0) ∈ (Base‘𝑅))
21	7, 18, 20	sylancl 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (Base‘𝑅))
22	17, 21	eqeltrid 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))
23	6, 15, 16, 22	grpinvcld 18978	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅))
24		ply1dg1rt.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝐶‘1)
25	4	flddrngd 20715	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
26		1nn0 12534	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
27	19, 3, 2, 6	coe1fvalcl 22198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅))
28	7, 26, 27	sylancl 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅))
29		ply1dg1rt.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
30	29	fveq2d 6897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐷‘𝐺)) = (𝐶‘1))
31	29, 26	eqeltrdi 2834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
32		ply1dg1rt.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
33		eqid 2726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
34	32, 2, 33, 3	deg1nn0clb 26114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝐺 ≠ (0g‘𝑃) ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
35	34	biimpar 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0) → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
36	14, 7, 31, 35	syl21anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
37		ply1dg1rt.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
38	32, 2, 33, 3, 37, 19	deg1ldg 26116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐶‘(𝐷‘𝐺)) ≠ 0 )
39	14, 7, 36, 38	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐷‘𝐺)) ≠ 0 )
40	30, 39	eqnetrrd 2999	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ≠ 0 )
41		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
42	6, 41, 37	drngunit 20708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐶‘1) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐶‘1) ≠ 0 )))
43	42	biimpar 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐶‘1) ≠ 0 )) → (𝐶‘1) ∈ (Unit‘𝑅))
44	25, 28, 40, 43	syl12anc 835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ (Unit‘𝑅))
45	24, 44	eqeltrid 2830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
46		ply1dg1rt.m	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘𝑅)
47	6, 41, 46	dvrcl 20382	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑁‘𝐵) / 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
48	14, 23, 45, 47	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵) / 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
49	13, 48	eqeltrid 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑅))
50		eqidd 2727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝑍)
51		eqeq1 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑥 = 𝑍 ↔ 𝑍 = 𝑍))
52	51	imbi1d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑥 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ) ↔ (𝑍 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 )))
53		fveq2 6893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑍))
54	53	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 = 𝑍) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑍))
55	16	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Grp)
56		eqid 2726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
57	14	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
58	24, 28	eqeltrid 2830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
59	58	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
60		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
61	6, 56, 57, 59, 60	ringcld 20238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐴(.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
62	23	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅))
63	22	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))
64		eqid 2726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
65	6, 64	grprcan 18963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵) ↔ (𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑁‘𝐵)))
66	55, 61, 62, 63, 65	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵) ↔ (𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑁‘𝐵)))
67	5	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
68	48	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑁‘𝐵) / 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
69	6, 56, 67, 68, 59	crngcomd 20234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑁‘𝐵) / 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑁‘𝐵) / 𝐴)))
70	45	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
71	6, 41, 46, 56	dvrcan1 20387	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((𝑁‘𝐵) / 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) = (𝑁‘𝐵))
72	57, 62, 70, 71	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑁‘𝐵) / 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) = (𝑁‘𝐵))
73	69, 72	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐴(.r‘𝑅)((𝑁‘𝐵) / 𝐴)) = (𝑁‘𝐵))
74	73	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑁‘𝐵) / 𝐴)) ↔ (𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑁‘𝐵)))
75		drngdomn 20723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Domn)
76	25, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
77		domnnzr 20680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
79	78	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
80	41, 37, 79, 70	unitnz 33109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ≠ 0 )
81	59, 80	eldifsnd 4786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ { 0 }))
82	76	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Domn)
83	6, 37, 56, 81, 60, 68, 82	domnlcanb 20694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑁‘𝐵) / 𝐴)) ↔ 𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)))
84	66, 74, 83	3bitr2rd 307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴) ↔ ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵)))
85	6, 64, 37, 15, 55, 63	grplinvd 18984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵) = 0 )
86	85	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵) ↔ ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = 0 ))
87	84, 86	bitr2d 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = 0 ↔ 𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)))
88	7	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐺 ∈ 𝑈)
89	29	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐷‘𝐺) = 1)
90	2, 1, 6, 3, 56, 64, 19, 32, 24, 17, 67, 88, 89, 60	evl1deg1 33454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵))
91	90	eqeq1d 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = 0 ))
92	13	eqeq2i 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑍 ↔ 𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴))
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 = 𝑍 ↔ 𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)))
94	87, 91, 93	3bitr4d 310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑍))
95	94	biimpar 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 = 𝑍) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 )
96	54, 95	eqtr3d 2768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 = 𝑍) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 )
97	96	ex 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ))
98	97	ralrimiva 3136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ))
99	52, 98, 49	rspcdva 3608	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ))
100	50, 99	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 )
101	94	biimpa 475	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ) → 𝑥 = 𝑍)
102	12, 49, 100, 101	rabeqsnd 4666	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 } = {𝑍})
103	11, 102	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑍})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  {crab 3419  {csn 4623  ^◡ccnv 5673   “ cima 5677   Fn wfn 6541  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  0cc0 11149  1c1 11150  ℕ₀cn0 12518  Basecbs 17208  +_gcplusg 17261  ._rcmulr 17262  0_gc0g 17449  Grpcgrp 18923  inv_gcminusg 18924  Ringcrg 20212  CRingccrg 20213  Unitcui 20333  /_rcdvr 20378  NzRingcnzr 20490  Domncdomn 20666  DivRingcdr 20703  Fieldcfield 20704  Poly₁cpl1 22162  coe₁cco1 22163  eval₁ce1 22302  deg₁cdg1 26075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-sup 9478  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-seq 14016  df-hash 14343  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-prds 17457  df-pws 17459  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-mhm 18768  df-submnd 18769  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-mulg 19058  df-subg 19113  df-ghm 19203  df-cntz 19307  df-cmn 19776  df-abl 19777  df-mgp 20114  df-rng 20132  df-ur 20161  df-srg 20166  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20312  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-dvr 20379  df-rhm 20450  df-nzr 20491  df-subrng 20524  df-subrg 20549  df-rlreg 20668  df-domn 20669  df-drng 20705  df-field 20706  df-lmod 20834  df-lss 20905  df-lsp 20945  df-cnfld 21340  df-assa 21847  df-asp 21848  df-ascl 21849  df-psr 21902  df-mvr 21903  df-mpl 21904  df-opsr 21906  df-evls 22083  df-evl 22084  df-psr1 22165  df-vr1 22166  df-ply1 22167  df-coe1 22168  df-evls1 22303  df-evl1 22304  df-mdeg 26076  df-deg1 26077

This theorem is referenced by:  ply1dg1rtn0  33458