Theorem ply1dg1rt 33645

Description: Express the root − 𝐵 / 𝐴 of a polynomial 𝐴 · 𝑋 + 𝐵 of degree 1 over a field. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1dg1rt.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1dg1rt.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1dg1rt.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1dg1rt.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1dg1rt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1dg1rt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
ply1dg1rt.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
ply1dg1rt.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
ply1dg1rt.x	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ply1dg1rt.m	⊢ / = (/r‘𝑅)
ply1dg1rt.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐺)
ply1dg1rt.a	⊢ 𝐴 = (𝐶‘1)
ply1dg1rt.b	⊢ 𝐵 = (𝐶‘0)
ply1dg1rt.z	⊢ 𝑍 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ply1dg1rt	⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑍})

Proof of Theorem ply1dg1rt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1dg1rt.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
2		ply1dg1rt.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		ply1dg1rt.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		ply1dg1rt.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
5	4	fldcrngd 20677	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		ply1dg1rt.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	evl1fvf 33628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
9	8	ffnd 6661	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺) Fn (Base‘𝑅))
10		fniniseg2 7006	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐺) Fn (Base‘𝑅) → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 })
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 })
12		fveqeq2 6841	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ))
13		ply1dg1rt.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)
14	5	crngringd 20185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15		ply1dg1rt.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
16	5	crnggrpd 20186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
17		ply1dg1rt.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝐶‘0)
18		0nn0 12417	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19		ply1dg1rt.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐺)
20	19, 3, 2, 6	coe1fvalcl 22154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐶‘0) ∈ (Base‘𝑅))
21	7, 18, 20	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (Base‘𝑅))
22	17, 21	eqeltrid 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))
23	6, 15, 16, 22	grpinvcld 18922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅))
24		ply1dg1rt.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝐶‘1)
25	4	flddrngd 20676	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
26		1nn0 12418	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
27	19, 3, 2, 6	coe1fvalcl 22154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅))
28	7, 26, 27	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅))
29		ply1dg1rt.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
30	29	fveq2d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐷‘𝐺)) = (𝐶‘1))
31	29, 26	eqeltrdi 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
32		ply1dg1rt.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
33		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
34	32, 2, 33, 3	deg1nn0clb 26036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝐺 ≠ (0g‘𝑃) ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
35	34	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0) → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
36	14, 7, 31, 35	syl21anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
37		ply1dg1rt.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
38	32, 2, 33, 3, 37, 19	deg1ldg 26038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐶‘(𝐷‘𝐺)) ≠ 0 )
39	14, 7, 36, 38	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐷‘𝐺)) ≠ 0 )
40	30, 39	eqnetrrd 3001	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ≠ 0 )
41		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
42	6, 41, 37	drngunit 20669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐶‘1) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐶‘1) ≠ 0 )))
43	42	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐶‘1) ≠ 0 )) → (𝐶‘1) ∈ (Unit‘𝑅))
44	25, 28, 40, 43	syl12anc 837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ (Unit‘𝑅))
45	24, 44	eqeltrid 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
46		ply1dg1rt.m	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘𝑅)
47	6, 41, 46	dvrcl 20342	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑁‘𝐵) / 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
48	14, 23, 45, 47	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵) / 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
49	13, 48	eqeltrid 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑅))
50		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝑍)
51		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑥 = 𝑍 ↔ 𝑍 = 𝑍))
52	51	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑥 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ) ↔ (𝑍 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 )))
53		fveq2 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑍))
54	53	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 = 𝑍) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑍))
55	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Grp)
56		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
57	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
58	24, 28	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
60		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
61	6, 56, 57, 59, 60	ringcld 20199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐴(.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
62	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅))
63	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))
64		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
65	6, 64	grprcan 18907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵) ↔ (𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑁‘𝐵)))
66	55, 61, 62, 63, 65	syl13anc 1375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵) ↔ (𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑁‘𝐵)))
67	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
68	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑁‘𝐵) / 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
69	6, 56, 67, 68, 59	crngcomd 20194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑁‘𝐵) / 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑁‘𝐵) / 𝐴)))
70	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
71	6, 41, 46, 56	dvrcan1 20347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((𝑁‘𝐵) / 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) = (𝑁‘𝐵))
72	57, 62, 70, 71	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑁‘𝐵) / 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) = (𝑁‘𝐵))
73	69, 72	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐴(.r‘𝑅)((𝑁‘𝐵) / 𝐴)) = (𝑁‘𝐵))
74	73	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑁‘𝐵) / 𝐴)) ↔ (𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑁‘𝐵)))
75		drngdomn 20684	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Domn)
76	25, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
77		domnnzr 20641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
79	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
80	41, 37, 79, 70	unitnz 33305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ≠ 0 )
81	59, 80	eldifsnd 4731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ { 0 }))
82	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Domn)
83	6, 37, 56, 81, 60, 68, 82	domnlcanb 20655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑁‘𝐵) / 𝐴)) ↔ 𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)))
84	66, 74, 83	3bitr2rd 308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴) ↔ ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵)))
85	6, 64, 37, 15, 55, 63	grplinvd 18928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵) = 0 )
86	85	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵) ↔ ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = 0 ))
87	84, 86	bitr2d 280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = 0 ↔ 𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)))
88	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐺 ∈ 𝑈)
89	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐷‘𝐺) = 1)
90	2, 1, 6, 3, 56, 64, 19, 32, 24, 17, 67, 88, 89, 60	evl1deg1 33641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵))
91	90	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = 0 ))
92	13	eqeq2i 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑍 ↔ 𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴))
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 = 𝑍 ↔ 𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)))
94	87, 91, 93	3bitr4d 311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑍))
95	94	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 = 𝑍) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 )
96	54, 95	eqtr3d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 = 𝑍) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 )
97	96	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ))
98	97	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ))
99	52, 98, 49	rspcdva 3566	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ))
100	50, 99	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 )
101	94	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ) → 𝑥 = 𝑍)
102	12, 49, 100, 101	rabeqsnd 4614	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 } = {𝑍})
103	11, 102	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑍})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3390  {csn 4568  ^◡ccnv 5621   “ cima 5625   Fn wfn 6485  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  0cc0 11027  1c1 11028  ℕ₀cn0 12402  Basecbs 17137  +_gcplusg 17178  ._rcmulr 17179  0_gc0g 17360  Grpcgrp 18867  inv_gcminusg 18868  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173  Unitcui 20293  /_rcdvr 20338  NzRingcnzr 20447  Domncdomn 20627  DivRingcdr 20664  Fieldcfield 20665  Poly₁cpl1 22118  coe₁cco1 22119  eval₁ce1 22257  deg₁cdg1 26000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-seq 13926  df-hash 14255  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-hom 17202  df-cco 17203  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-prds 17368  df-pws 17370  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-rhm 20410  df-nzr 20448  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-rlreg 20629  df-domn 20630  df-drng 20666  df-field 20667  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925  df-cnfld 21312  df-assa 21810  df-asp 21811  df-ascl 21812  df-psr 21866  df-mvr 21867  df-mpl 21868  df-opsr 21870  df-evls 22030  df-evl 22031  df-psr1 22121  df-vr1 22122  df-ply1 22123  df-coe1 22124  df-evls1 22258  df-evl1 22259  df-mdeg 26001  df-deg1 26002

This theorem is referenced by:  ply1dg1rtn0  33646