Theorem ply1dg1rt 34179

Description: Express the root − 𝐵 / 𝐴 of a polynomial 𝐴 · 𝑋 + 𝐵 of degree 1 over a field. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1dg1rt.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1dg1rt.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1dg1rt.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1dg1rt.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1dg1rt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1dg1rt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
ply1dg1rt.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
ply1dg1rt.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
ply1dg1rt.x	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ply1dg1rt.m	⊢ / = (/r‘𝑅)
ply1dg1rt.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐺)
ply1dg1rt.a	⊢ 𝐴 = (𝐶‘1)
ply1dg1rt.b	⊢ 𝐵 = (𝐶‘0)
ply1dg1rt.z	⊢ 𝑍 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ply1dg1rt	⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑍})

Proof of Theorem ply1dg1rt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1dg1rt.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
2		ply1dg1rt.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		ply1dg1rt.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		ply1dg1rt.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
5	4	fldcrngd 21022	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		ply1dg1rt.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	evl1fvf 34162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
9	8	ffnd 6729	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐺) Fn (Base‘𝑅))
10		fniniseg2 7082	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐺) Fn (Base‘𝑅) → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 })
11	9, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 })
12		fveqeq2 6914	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ))
13		ply1dg1rt.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)
14	5	crngringd 20500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15		ply1dg1rt.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
16	5	crnggrpd 20501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
17		ply1dg1rt.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (𝐶‘0)
18		0nn0 12645	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19		ply1dg1rt.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐺)
20	19, 3, 2, 6	coe1fvalcl 22557	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐶‘0) ∈ (Base‘𝑅))
21	7, 18, 20	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ (Base‘𝑅))
22	17, 21	eqeltrid 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))
23	6, 15, 16, 22	grpinvcld 19225	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅))
24		ply1dg1rt.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝐶‘1)
25	4	flddrngd 21021	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
26		1nn0 12646	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
27	19, 3, 2, 6	coe1fvalcl 22557	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅))
28	7, 26, 27	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅))
29		ply1dg1rt.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
30	29	fveq2d 6909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐷‘𝐺)) = (𝐶‘1))
31	29, 26	eqeltrdi 2872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
32		ply1dg1rt.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
33		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
34	32, 2, 33, 3	deg1nn0clb 26435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) → (𝐺 ≠ (0g‘𝑃) ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
35	34	biimpar 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝑈) ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0) → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
36	14, 7, 31, 35	syl21anc 851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
37		ply1dg1rt.0	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
38	32, 2, 33, 3, 37, 19	deg1ldg 26437	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝑈 ∧ 𝐺 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝐶‘(𝐷‘𝐺)) ≠ 0 )
39	14, 7, 36, 38	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘(𝐷‘𝐺)) ≠ 0 )
40	30, 39	eqnetrrd 3027	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ≠ 0 )
41		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
42	6, 41, 37	drngunit 21012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐶‘1) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐶‘1) ≠ 0 )))
43	42	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝐶‘1) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐶‘1) ≠ 0 )) → (𝐶‘1) ∈ (Unit‘𝑅))
44	25, 28, 40, 43	syl12anc 850	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘1) ∈ (Unit‘𝑅))
45	24, 44	eqeltrid 2868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
46		ply1dg1rt.m	. . . . . 6 ⊢ / = (/r‘𝑅)
47	6, 41, 46	dvrcl 20661	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑁‘𝐵) / 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
48	14, 23, 45, 47	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵) / 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
49	13, 48	eqeltrid 2868	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑅))
50		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = 𝑍)
51		eqeq1 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑥 = 𝑍 ↔ 𝑍 = 𝑍))
52	51	imbi1d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑥 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ) ↔ (𝑍 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 )))
53		fveq2 6905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑍))
54	53	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 = 𝑍) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑍))
55	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Grp)
56		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
57	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
58	24, 28	eqeltrid 2868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
59	58	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
60		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
61	6, 56, 57, 59, 60	ringcld 20511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐴(.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
62	23	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅))
63	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))
64		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
65	6, 64	grprcan 19210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵) ↔ (𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑁‘𝐵)))
66	55, 61, 62, 63, 65	syl13anc 1400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵) ↔ (𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑁‘𝐵)))
67	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
68	48	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑁‘𝐵) / 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
69	6, 56, 67, 68, 59	crngcomd 20509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑁‘𝐵) / 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑁‘𝐵) / 𝐴)))
70	45	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
71	6, 41, 46, 56	dvrcan1 20666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐵) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((𝑁‘𝐵) / 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) = (𝑁‘𝐵))
72	57, 62, 70, 71	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑁‘𝐵) / 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) = (𝑁‘𝐵))
73	69, 72	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐴(.r‘𝑅)((𝑁‘𝐵) / 𝐴)) = (𝑁‘𝐵))
74	73	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑁‘𝐵) / 𝐴)) ↔ (𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝑁‘𝐵)))
75		drngdomn 21030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Domn)
76	25, 75	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
77		domnnzr 20985	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
78	76, 77	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
79	78	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
80	41, 37, 79, 70	unitnz 33866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ≠ 0 )
81	59, 80	eldifsnd 4750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ { 0 }))
82	76	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Domn)
83	6, 37, 56, 81, 60, 68, 82	domnlcanb 20998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑁‘𝐵) / 𝐴)) ↔ 𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)))
84	66, 74, 83	3bitr2rd 311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴) ↔ ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵)))
85	6, 64, 37, 15, 55, 63	grplinvd 19231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵) = 0 )
86	85	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑅)𝐵) ↔ ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = 0 ))
87	84, 86	bitr2d 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = 0 ↔ 𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)))
88	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐺 ∈ 𝑈)
89	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐷‘𝐺) = 1)
90	2, 1, 6, 3, 56, 64, 19, 32, 24, 17, 67, 88, 89, 60	evl1deg1 34175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵))
91	90	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐴(.r‘𝑅)𝑥)(+g‘𝑅)𝐵) = 0 ))
92	13	eqeq2i 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑍 ↔ 𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴))
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 = 𝑍 ↔ 𝑥 = ((𝑁‘𝐵) / 𝐴)))
94	87, 91, 93	3bitr4d 314	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑍))
95	94	biimpar 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 = 𝑍) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 )
96	54, 95	eqtr3d 2800	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑥 = 𝑍) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 )
97	96	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ))
98	97	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ))
99	52, 98, 49	rspcdva 3581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = 𝑍 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 ))
100	50, 99	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐺)‘𝑍) = 0 )
101	94	biimpa 482	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 ) → 𝑥 = 𝑍)
102	12, 49, 100, 101	rabeqsnd 4630	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = 0 } = {𝑍})
103	11, 102	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {𝑍})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {crab 3416  {csn 4588  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658   Fn wfn 6550  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  1c1 11225  ℕ₀cn0 12630  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  ._rcmulr 17455  0_gc0g 17636  Grpcgrp 19170  inv_gcminusg 19171  Ringcrg 20486  CRingccrg 20487  Unitcui 20612  /_rcdvr 20657  NzRingcnzr 20789  Domncdomn 20971  DivRingcdr 21007  Fieldcfield 21008  Poly₁cpl1 22522  coe₁cco1 22523  eval₁ce1 22659  deg₁cdg1 26399

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-srg 20440  df-ring 20488  df-cring 20489  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-invr 20645  df-dvr 20658  df-rhm 20729  df-nzr 20790  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-rlreg 20973  df-domn 20974  df-drng 21009  df-field 21010  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274  df-cnfld 21706  df-assa 22188  df-asp 22189  df-ascl 22190  df-psr 22244  df-mvr 22245  df-mpl 22246  df-opsr 22248  df-evls 22410  df-evl 22411  df-psr1 22525  df-vr1 22526  df-ply1 22527  df-coe1 22528  df-evls1 22660  df-evl1 22661  df-mdeg 26400  df-deg1 26401

This theorem is used by:  ply1dg1rtn0  34180