Theorem isdomn4r 20687

Description: A ring is a domain iff it is nonzero and the right cancellation law for multiplication holds. (Contributed by SN, 20-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdomn4r.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn4r.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdomn4r.x	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdomn4r	⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐   0 ,𝑎,𝑏,𝑐   𝑅,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem isdomn4r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2		isdomn4r.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	opprbas 20314	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
4		isdomn4r.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	1, 4	oppr0 20320	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(oppr‘𝑅))
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
7	3, 5, 6	isdomn4 20684	. 2 ⊢ ((oppr‘𝑅) ∈ Domn ↔ ((oppr‘𝑅) ∈ NzRing ∧ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
8	1	opprdomnb 20685	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (oppr‘𝑅) ∈ Domn)
9	1	opprnzrb 20489	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (oppr‘𝑅) ∈ NzRing)
10		isdomn4r.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	2, 10, 1, 6	opprmul 20311	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑎 · 𝑐)
12	2, 10, 1, 6	opprmul 20311	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) = (𝑏 · 𝑐)
13	11, 12	eqeq12i 2755	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) ↔ (𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐))
14	13	imbi1i 349	. . . . 5 ⊢ (((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏))
15	14	3ralbii 3115	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏))
16		ralrot3 3269	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
17	15, 16	bitr3i 277	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
18	9, 17	anbi12i 629	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)) ↔ ((oppr‘𝑅) ∈ NzRing ∧ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
19	7, 8, 18	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∖ cdif 3887  {csn 4568  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393  opp_rcoppr 20307  NzRingcnzr 20480  Domncdomn 20660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-nzr 20481  df-domn 20663

This theorem is referenced by:  domnrcanb  20690