Theorem isdomn4r 20791

Description: A ring is a domain iff it is nonzero and the right cancellation law for multiplication holds. (Contributed by SN, 20-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdomn4r.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn4r.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdomn4r.x	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdomn4r	⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐   0 ,𝑎,𝑏,𝑐   𝑅,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem isdomn4r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2		isdomn4r.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	opprbas 20413	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
4		isdomn4r.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	1, 4	oppr0 20419	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(oppr‘𝑅))
6		eqid 2765	. . 3 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
7	3, 5, 6	isdomn4 20788	. 2 ⊢ ((oppr‘𝑅) ∈ Domn ↔ ((oppr‘𝑅) ∈ NzRing ∧ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
8	1	opprdomnb 20789	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (oppr‘𝑅) ∈ Domn)
9	1	opprnzrb 20593	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (oppr‘𝑅) ∈ NzRing)
10		isdomn4r.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	2, 10, 1, 6	opprmul 20410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑎 · 𝑐)
12	2, 10, 1, 6	opprmul 20410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) = (𝑏 · 𝑐)
13	11, 12	eqeq12i 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) ↔ (𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐))
14	13	imbi1i 352	. . . . 5 ⊢ (((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏))
15	14	3ralbii 3142	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏))
16		ralrot3 3296	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
17	15, 16	bitr3i 280	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
18	9, 17	anbi12i 639	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)) ↔ ((oppr‘𝑅) ∈ NzRing ∧ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
19	7, 8, 18	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   ∖ cdif 3904  {csn 4585  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17480  opp_rcoppr 20406  NzRingcnzr 20583  Domncdomn 20765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-oppr 20407  df-nzr 20584  df-domn 20768

This theorem is referenced by:  domnrcanb  20794