Theorem isdomn4r 20640

Description: A ring is a domain iff it is nonzero and the right cancellation law for multiplication holds. (Contributed by SN, 20-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdomn4r.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn4r.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdomn4r.x	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdomn4r	⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐   0 ,𝑎,𝑏,𝑐   𝑅,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem isdomn4r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2		isdomn4r.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	opprbas 20267	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
4		isdomn4r.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	1, 4	oppr0 20273	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(oppr‘𝑅))
6		eqid 2731	. . 3 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
7	3, 5, 6	isdomn4 20637	. 2 ⊢ ((oppr‘𝑅) ∈ Domn ↔ ((oppr‘𝑅) ∈ NzRing ∧ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
8	1	opprdomnb 20638	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (oppr‘𝑅) ∈ Domn)
9	1	opprnzrb 20442	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (oppr‘𝑅) ∈ NzRing)
10		isdomn4r.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	2, 10, 1, 6	opprmul 20264	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑎 · 𝑐)
12	2, 10, 1, 6	opprmul 20264	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) = (𝑏 · 𝑐)
13	11, 12	eqeq12i 2749	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) ↔ (𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐))
14	13	imbi1i 349	. . . . 5 ⊢ (((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏))
15	14	3ralbii 3109	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏))
16		ralrot3 3263	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
17	15, 16	bitr3i 277	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
18	9, 17	anbi12i 628	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)) ↔ ((oppr‘𝑅) ∈ NzRing ∧ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
19	7, 8, 18	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ∖ cdif 3894  {csn 4575  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  Basecbs 17126  ._rcmulr 17168  0_gc0g 17349  opp_rcoppr 20260  NzRingcnzr 20433  Domncdomn 20613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-0g 17351  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-oppr 20261  df-nzr 20434  df-domn 20616

This theorem is referenced by:  domnrcanb  20643