Theorem isdomn4r 20622

Description: A ring is a domain iff it is nonzero and the right cancellation law for multiplication holds. (Contributed by SN, 20-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdomn4r.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn4r.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdomn4r.x	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdomn4r	⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐   0 ,𝑎,𝑏,𝑐   𝑅,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem isdomn4r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2		isdomn4r.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	opprbas 20246	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
4		isdomn4r.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	1, 4	oppr0 20252	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(oppr‘𝑅))
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
7	3, 5, 6	isdomn4 20619	. 2 ⊢ ((oppr‘𝑅) ∈ Domn ↔ ((oppr‘𝑅) ∈ NzRing ∧ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
8	1	opprdomnb 20620	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (oppr‘𝑅) ∈ Domn)
9	1	opprnzrb 20424	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (oppr‘𝑅) ∈ NzRing)
10		isdomn4r.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	2, 10, 1, 6	opprmul 20243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑎 · 𝑐)
12	2, 10, 1, 6	opprmul 20243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) = (𝑏 · 𝑐)
13	11, 12	eqeq12i 2747	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) ↔ (𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐))
14	13	imbi1i 349	. . . . 5 ⊢ (((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏))
15	14	3ralbii 3106	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏))
16		ralrot3 3260	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
17	15, 16	bitr3i 277	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
18	9, 17	anbi12i 628	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)) ↔ ((oppr‘𝑅) ∈ NzRing ∧ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
19	7, 8, 18	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∖ cdif 3902  {csn 4579  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180  0_gc0g 17361  opp_rcoppr 20239  NzRingcnzr 20415  Domncdomn 20595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20240  df-nzr 20416  df-domn 20598

This theorem is referenced by:  domnrcanb  20625