Theorem isdomn4r 20804

Description: A ring is a domain iff it is nonzero and the right cancellation law for multiplication holds. (Contributed by SN, 20-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdomn4r.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn4r.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
isdomn4r.x	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isdomn4r	⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐   0 ,𝑎,𝑏,𝑐   𝑅,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem isdomn4r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2		isdomn4r.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	opprbas 20426	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
4		isdomn4r.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	1, 4	oppr0 20432	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(oppr‘𝑅))
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
7	3, 5, 6	isdomn4 20801	. 2 ⊢ ((oppr‘𝑅) ∈ Domn ↔ ((oppr‘𝑅) ∈ NzRing ∧ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
8	1	opprdomnb 20802	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (oppr‘𝑅) ∈ Domn)
9	1	opprnzrb 20606	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (oppr‘𝑅) ∈ NzRing)
10		isdomn4r.x	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11	2, 10, 1, 6	opprmul 20423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑎 · 𝑐)
12	2, 10, 1, 6	opprmul 20423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) = (𝑏 · 𝑐)
13	11, 12	eqeq12i 2781	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) ↔ (𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐))
14	13	imbi1i 352	. . . . 5 ⊢ (((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏))
15	14	3ralbii 3142	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏))
16		ralrot3 3296	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
17	15, 16	bitr3i 280	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
18	9, 17	anbi12i 639	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)) ↔ ((oppr‘𝑅) ∈ NzRing ∧ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr‘𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
19	7, 8, 18	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ∖ cdif 3903  {csn 4590  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17493  opp_rcoppr 20419  NzRingcnzr 20596  Domncdomn 20778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-nzr 20597  df-domn 20781

This theorem is referenced by:  domnrcanb  20807