MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isdomn4r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isdomn4r 20736
Description: A ring is a domain iff it is nonzero and the right cancellation law for multiplication holds. (Contributed by SN, 20-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
isdomn4r.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdomn4r.0 0 = (0g𝑅)
isdomn4r.x · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
isdomn4r (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐   0 ,𝑎,𝑏,𝑐   𝑅,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem isdomn4r
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . 4 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
2 isdomn4r.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
31, 2opprbas 20358 . . 3 𝐵 = (Base‘(oppr𝑅))
4 isdomn4r.0 . . . 4 0 = (0g𝑅)
51, 4oppr0 20366 . . 3 0 = (0g‘(oppr𝑅))
6 eqid 2735 . . 3 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
73, 5, 6isdomn4 20733 . 2 ((oppr𝑅) ∈ Domn ↔ ((oppr𝑅) ∈ NzRing ∧ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
81opprdomnb 20734 . 2 (𝑅 ∈ Domn ↔ (oppr𝑅) ∈ Domn)
91opprnzrb 20538 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (oppr𝑅) ∈ NzRing)
10 isdomn4r.x . . . . . . . 8 · = (.r𝑅)
112, 10, 1, 6opprmul 20354 . . . . . . 7 (𝑐(.r‘(oppr𝑅))𝑎) = (𝑎 · 𝑐)
122, 10, 1, 6opprmul 20354 . . . . . . 7 (𝑐(.r‘(oppr𝑅))𝑏) = (𝑏 · 𝑐)
1311, 12eqeq12i 2753 . . . . . 6 ((𝑐(.r‘(oppr𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr𝑅))𝑏) ↔ (𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐))
1413imbi1i 349 . . . . 5 (((𝑐(.r‘(oppr𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏))
15143ralbii 3128 . . . 4 (∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑐(.r‘(oppr𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏))
16 ralrot3 3291 . . . 4 (∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑐(.r‘(oppr𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
1715, 16bitr3i 277 . . 3 (∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏) ↔ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
189, 17anbi12i 628 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)) ↔ ((oppr𝑅) ∈ NzRing ∧ ∀𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ((𝑐(.r‘(oppr𝑅))𝑎) = (𝑐(.r‘(oppr𝑅))𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
197, 8, 183bitr4i 303 1 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝑎 · 𝑐) = (𝑏 · 𝑐) → 𝑎 = 𝑏)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cdif 3960  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  opprcoppr 20350  NzRingcnzr 20529  Domncdomn 20709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-nzr 20530  df-domn 20712
This theorem is referenced by:  domnrcanb  20739
  Copyright terms: Public domain W3C validator