Theorem dsndxntsetndx 16999

Description: The slot for the distance function is not the slot for the topology in an extensible structure. Formerly part of proof for tngds 23692. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dsndxntsetndx	⊢ (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)

Proof of Theorem dsndxntsetndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9re 11977	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℝ
2		1nn 11889	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 12155	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		9nn0 12162	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
5		9lt10 12472	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12379	. . 3 ⊢ 9 < ;12
7	1, 6	gtneii 10992	. 2 ⊢ ;12 ≠ 9
8		dsndx 16991	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		tsetndx 16962	. . 3 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
10	8, 9	neeq12i 3010	. 2 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ 9)
11	7, 10	mpbir 234	1 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)

Syntax hints:   ≠ wne 2943  ‘cfv 6415  1c1 10778  2c2 11933  9c9 11940  ;cdc 12341  ndxcnx 16797  TopSetcts 16869  distcds 16872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-er 8433  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-nn 11879  df-2 11941  df-3 11942  df-4 11943  df-5 11944  df-6 11945  df-7 11946  df-8 11947  df-9 11948  df-n0 12139  df-z 12225  df-dec 12342  df-slot 16786  df-ndx 16798  df-tset 16882  df-ds 16885

This theorem is referenced by:  tngds  23692