MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  declti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem declti 12588
Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
declti.a ๐ด โˆˆ โ„•
declti.b ๐ต โˆˆ โ„•0
declti.c ๐ถ โˆˆ โ„•0
declti.l ๐ถ < 10
Assertion
Ref Expression
declti ๐ถ < ๐ด๐ต

Proof of Theorem declti
StepHypRef Expression
1 10nn 12566 . . 3 10 โˆˆ โ„•
2 declti.a . . 3 ๐ด โˆˆ โ„•
3 declti.b . . 3 ๐ต โˆˆ โ„•0
4 declti.c . . 3 ๐ถ โˆˆ โ„•0
5 declti.l . . 3 ๐ถ < 10
61, 2, 3, 4, 5numlti 12587 . 2 ๐ถ < ((10 ยท ๐ด) + ๐ต)
7 dfdec10 12553 . 2 ๐ด๐ต = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต)
86, 7breqtrri 5130 1 ๐ถ < ๐ด๐ต
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7349  0cc0 10984  1c1 10985   + caddc 10987   ยท cmul 10989   < clt 11122  โ„•cn 12086  โ„•0cn0 12346  cdc 12550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-9 12156  df-n0 12347  df-z 12433  df-dec 12551
This theorem is referenced by:  decltdi  12589  fsumcube  15877  5prm  16915  7prm  16917  11prm  16921  13prm  16922  17prm  16923  19prm  16924  23prm  16925  37prm  16927  43prm  16928  83prm  16929  139prm  16930  163prm  16931  317prm  16932  631prm  16933  1259lem5  16941  2503prm  16946  4001prm  16951  basendxnocndx  17198  basendxltdsndx  17203  dsndxnplusgndx  17205  dsndxnmulrndx  17206  slotsdnscsi  17207  dsndxntsetndx  17208  slotsdifdsndx  17209  basendxltunifndx  17213  unifndxntsetndx  17215  slotsdifunifndx  17216  slotsbhcdif  17230  slotsbhcdifOLD  17231  oppcbasOLD  17534  rescbasOLD  17647  rescabsOLD  17653  catstr  17779  mgpdsOLD  19839  sradsOLD  20578  thlbasOLD  21024  tuslemOLD  23541  setsmsdsOLD  23753  tmslemOLD  23760  tnglemOLD  23919  tngdsOLD  23934  log2le1  26222  bpos1  26553  bposlem9  26562  slotsinbpsd  27181  slotslnbpsd  27182  trkgstr  27184  ttgbasOLD  27620  ttgplusgOLD  27622  ttgvscaOLD  27625  eengstr  27727  basendxltedgfndx  27742  baseltedgfOLD  27743  zlmdsOLD  32317  hgt750lem  33037  257prm  45502  fmtno4prmfac193  45514  fmtno5nprm  45524  139prmALT  45537  127prm  45540  tgblthelfgott  45756
  Copyright terms: Public domain W3C validator