MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  declti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem declti 12125
Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
declti.a 𝐴 ∈ ℕ
declti.b 𝐵 ∈ ℕ0
declti.c 𝐶 ∈ ℕ0
declti.l 𝐶 < 10
Assertion
Ref Expression
declti 𝐶 < 𝐴𝐵

Proof of Theorem declti
StepHypRef Expression
1 10nn 12103 . . 3 10 ∈ ℕ
2 declti.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ
3 declti.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
4 declti.c . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
5 declti.l . . 3 𝐶 < 10
61, 2, 3, 4, 5numlti 12124 . 2 𝐶 < ((10 · 𝐴) + 𝐵)
7 dfdec10 12090 . 2 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
86, 7breqtrri 5085 1 𝐶 < 𝐴𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105   class class class wbr 5058  (class class class)co 7145  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cn 11627  0cn0 11886  cdc 12087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088
This theorem is referenced by:  decltdi  12126  fsumcube  15404  5prm  16432  7prm  16434  11prm  16438  13prm  16439  17prm  16440  19prm  16441  23prm  16442  37prm  16444  43prm  16445  83prm  16446  139prm  16447  163prm  16448  317prm  16449  631prm  16450  1259lem5  16458  2503prm  16463  4001prm  16468  ressds  16676  resshom  16681  ressco  16682  slotsbhcdif  16683  oppcbas  16978  rescbas  17089  rescabs  17093  catstr  17217  mgpds  19180  srads  19889  thlbas  20770  ressunif  22800  tuslem  22805  setsmsds  23015  tmslem  23021  tnglem  23178  tngds  23186  log2le1  25456  bpos1  25787  bposlem9  25796  trkgstr  26158  ttgbas  26591  ttgplusg  26592  ttgvsca  26594  eengstr  26694  baseltedgf  26707  zlmds  31105  hgt750lem  31822  257prm  43570  fmtno4prmfac193  43582  fmtno5nprm  43592  139prmALT  43606  127prm  43610  tgblthelfgott  43827
  Copyright terms: Public domain W3C validator