Theorem declti 12748

Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declti.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
declti.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
declti.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
declti.l	⊢ 𝐶 < ;10

Assertion

Ref	Expression
declti	⊢ 𝐶 < ;𝐴𝐵

Proof of Theorem declti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12726	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		declti.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3		declti.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		declti.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		declti.l	. . 3 ⊢ 𝐶 < ;10
6	1, 2, 3, 4, 5	numlti 12747	. 2 ⊢ 𝐶 < ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
7		dfdec10 12713	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	6, 7	breqtrri 5176	1 ⊢ 𝐶 < ;𝐴𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12505  ;cdc 12710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711

This theorem is referenced by:  decltdi  12749  fsumcube  16040  5prm  17081  7prm  17083  11prm  17087  13prm  17088  17prm  17089  19prm  17090  23prm  17091  37prm  17093  43prm  17094  83prm  17095  139prm  17096  163prm  17097  317prm  17098  631prm  17099  1259lem5  17107  2503prm  17112  4001prm  17117  basendxnocndx  17367  basendxltdsndx  17372  dsndxnplusgndx  17374  dsndxnmulrndx  17375  slotsdnscsi  17376  dsndxntsetndx  17377  slotsdifdsndx  17378  basendxltunifndx  17382  unifndxntsetndx  17384  slotsdifunifndx  17385  slotsbhcdif  17399  slotsbhcdifOLD  17400  oppcbasOLD  17703  rescbasOLD  17816  rescabsOLD  17822  catstr  17951  mgpdsOLD  20100  sradsOLD  21090  thlbasOLD  21646  tuslemOLD  24216  setsmsdsOLD  24428  tmslemOLD  24435  tnglemOLD  24594  tngdsOLD  24609  log2le1  26927  bpos1  27261  bposlem9  27270  slotsinbpsd  28317  slotslnbpsd  28318  trkgstr  28320  ttgbasOLD  28756  ttgplusgOLD  28758  ttgvscaOLD  28761  eengstr  28863  basendxltedgfndx  28878  baseltedgfOLD  28879  zlmdsOLD  33695  hgt750lem  34414  257prm  47038  fmtno4prmfac193  47050  fmtno5nprm  47060  139prmALT  47073  127prm  47076  tgblthelfgott  47292