Theorem declti 12457

Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declti.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
declti.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
declti.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
declti.l	⊢ 𝐶 < ;10

Assertion

Ref	Expression
declti	⊢ 𝐶 < ;𝐴𝐵

Proof of Theorem declti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 12435	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		declti.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3		declti.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		declti.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		declti.l	. . 3 ⊢ 𝐶 < ;10
6	1, 2, 3, 4, 5	numlti 12456	. 2 ⊢ 𝐶 < ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
7		dfdec10 12422	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	6, 7	breqtrri 5105	1 ⊢ 𝐶 < ;𝐴𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858   · cmul 10860   < clt 10993  ℕcn 11956  ℕ₀cn0 12216  ;cdc 12419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420

This theorem is referenced by:  decltdi  12458  fsumcube  15751  5prm  16791  7prm  16793  11prm  16797  13prm  16798  17prm  16799  19prm  16800  23prm  16801  37prm  16803  43prm  16804  83prm  16805  139prm  16806  163prm  16807  317prm  16808  631prm  16809  1259lem5  16817  2503prm  16822  4001prm  16827  basendxnocndx  17074  basendxltdsndx  17079  dsndxnplusgndx  17081  dsndxnmulrndx  17082  slotsdnscsi  17083  dsndxntsetndx  17084  slotsdifdsndx  17085  basendxltunifndx  17089  unifndxntsetndx  17091  slotsdifunifndx  17092  slotsbhcdif  17106  slotsbhcdifOLD  17107  oppcbasOLD  17410  rescbasOLD  17523  rescabsOLD  17529  catstr  17655  mgpdsOLD  19715  sradsOLD  20437  thlbasOLD  20883  tuslemOLD  23400  setsmsdsOLD  23612  tmslemOLD  23619  tnglemOLD  23778  tngdsOLD  23793  log2le1  26081  bpos1  26412  bposlem9  26421  slotsinbpsd  26783  slotslnbpsd  26784  trkgstr  26786  ttgbasOLD  27222  ttgplusgOLD  27224  ttgvscaOLD  27227  eengstr  27329  basendxltedgfndx  27344  baseltedgfOLD  27345  zlmdsOLD  31892  hgt750lem  32610  257prm  44965  fmtno4prmfac193  44977  fmtno5nprm  44987  139prmALT  45000  127prm  45003  tgblthelfgott  45219