MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  declti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem declti 12589
Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
declti.a ๐ด โˆˆ โ„•
declti.b ๐ต โˆˆ โ„•0
declti.c ๐ถ โˆˆ โ„•0
declti.l ๐ถ < 10
Assertion
Ref Expression
declti ๐ถ < ๐ด๐ต

Proof of Theorem declti
StepHypRef Expression
1 10nn 12567 . . 3 10 โˆˆ โ„•
2 declti.a . . 3 ๐ด โˆˆ โ„•
3 declti.b . . 3 ๐ต โˆˆ โ„•0
4 declti.c . . 3 ๐ถ โˆˆ โ„•0
5 declti.l . . 3 ๐ถ < 10
61, 2, 3, 4, 5numlti 12588 . 2 ๐ถ < ((10 ยท ๐ด) + ๐ต)
7 dfdec10 12554 . 2 ๐ด๐ต = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต)
86, 7breqtrri 5131 1 ๐ถ < ๐ด๐ต
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  0cc0 10985  1c1 10986   + caddc 10988   ยท cmul 10990   < clt 11123  โ„•cn 12087  โ„•0cn0 12347  cdc 12551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12552
This theorem is referenced by:  decltdi  12590  fsumcube  15878  5prm  16916  7prm  16918  11prm  16922  13prm  16923  17prm  16924  19prm  16925  23prm  16926  37prm  16928  43prm  16929  83prm  16930  139prm  16931  163prm  16932  317prm  16933  631prm  16934  1259lem5  16942  2503prm  16947  4001prm  16952  basendxnocndx  17199  basendxltdsndx  17204  dsndxnplusgndx  17206  dsndxnmulrndx  17207  slotsdnscsi  17208  dsndxntsetndx  17209  slotsdifdsndx  17210  basendxltunifndx  17214  unifndxntsetndx  17216  slotsdifunifndx  17217  slotsbhcdif  17231  slotsbhcdifOLD  17232  oppcbasOLD  17535  rescbasOLD  17648  rescabsOLD  17654  catstr  17780  mgpdsOLD  19839  sradsOLD  20578  thlbasOLD  21024  tuslemOLD  23541  setsmsdsOLD  23753  tmslemOLD  23760  tnglemOLD  23919  tngdsOLD  23934  log2le1  26222  bpos1  26553  bposlem9  26562  slotsinbpsd  27169  slotslnbpsd  27170  trkgstr  27172  ttgbasOLD  27608  ttgplusgOLD  27610  ttgvscaOLD  27613  eengstr  27715  basendxltedgfndx  27730  baseltedgfOLD  27731  zlmdsOLD  32305  hgt750lem  33025  257prm  45471  fmtno4prmfac193  45483  fmtno5nprm  45493  139prmALT  45506  127prm  45509  tgblthelfgott  45725
  Copyright terms: Public domain W3C validator