Theorem declti 11778

Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declti.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
declti.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
declti.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
declti.l	⊢ 𝐶 < ;10

Assertion

Ref	Expression
declti	⊢ 𝐶 < ;𝐴𝐵

Proof of Theorem declti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 11755	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
2		declti.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3		declti.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		declti.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		declti.l	. . 3 ⊢ 𝐶 < ;10
6	1, 2, 3, 4, 5	numlti 11777	. 2 ⊢ 𝐶 < ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
7		dfdec10 11742	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	6, 7	breqtrri 4835	1 ⊢ 𝐶 < ;𝐴𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2155   class class class wbr 4808  (class class class)co 6841  0cc0 10188  1c1 10189   + caddc 10191   · cmul 10193   < clt 10327  ℕcn 11273  ℕ₀cn0 11537  ;cdc 11739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-er 7946  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740

This theorem is referenced by:  decltdi  11779  fsumcube  15074  5prm  16090  7prm  16092  11prm  16096  13prm  16097  17prm  16098  19prm  16099  23prm  16100  37prm  16102  43prm  16103  83prm  16104  139prm  16105  163prm  16106  317prm  16107  631prm  16108  1259lem5  16116  2503prm  16121  4001prm  16126  ressds  16340  resshom  16345  ressco  16346  slotsbhcdif  16347  oppcbas  16644  rescbas  16755  rescabs  16759  catstr  16883  mgpds  18765  srads  19459  thlbas  20315  ressunif  22344  tuslem  22349  setsmsds  22559  tmslem  22565  tnglem  22722  tngds  22730  log2le1  24967  bpos1  25298  bposlem9  25307  trkgstr  25633  ttgbas  26047  ttgplusg  26048  ttgvsca  26050  eengstr  26150  baseltedgf  26162  zlmds  30389  hgt750lem  31111  257prm  42081  fmtno4prmfac193  42093  fmtno5nprm  42103  139prmALT  42119  127prm  42123  tgblthelfgott  42311