MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  declti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem declti 12124
Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
declti.a 𝐴 ∈ ℕ
declti.b 𝐵 ∈ ℕ0
declti.c 𝐶 ∈ ℕ0
declti.l 𝐶 < 10
Assertion
Ref Expression
declti 𝐶 < 𝐴𝐵

Proof of Theorem declti
StepHypRef Expression
1 10nn 12102 . . 3 10 ∈ ℕ
2 declti.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ
3 declti.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
4 declti.c . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
5 declti.l . . 3 𝐶 < 10
61, 2, 3, 4, 5numlti 12123 . 2 𝐶 < ((10 · 𝐴) + 𝐵)
7 dfdec10 12089 . 2 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
86, 7breqtrri 5069 1 𝐶 < 𝐴𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2114   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cn 11625  0cn0 11885  cdc 12086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087
This theorem is referenced by:  decltdi  12125  fsumcube  15405  5prm  16433  7prm  16435  11prm  16439  13prm  16440  17prm  16441  19prm  16442  23prm  16443  37prm  16445  43prm  16446  83prm  16447  139prm  16448  163prm  16449  317prm  16450  631prm  16451  1259lem5  16459  2503prm  16464  4001prm  16469  ressds  16677  resshom  16682  ressco  16683  slotsbhcdif  16684  oppcbas  16979  rescbas  17090  rescabs  17094  catstr  17218  mgpds  19240  srads  19949  thlbas  20383  ressunif  22866  tuslem  22871  setsmsds  23081  tmslem  23087  tnglem  23244  tngds  23252  log2le1  25534  bpos1  25865  bposlem9  25874  trkgstr  26236  ttgbas  26669  ttgplusg  26670  ttgvsca  26672  eengstr  26772  baseltedgf  26785  zlmds  31279  hgt750lem  31996  257prm  44017  fmtno4prmfac193  44029  fmtno5nprm  44039  139prmALT  44052  127prm  44055  tgblthelfgott  44272
  Copyright terms: Public domain W3C validator