Theorem slotsdnscsi 17481

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. Formerly part of sralem 21361 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12355	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 12271	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 12548	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 12551	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 12880	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12782	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 11349	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 17474	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 17403	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 3023	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 234	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 12358	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 12552	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 12879	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 12782	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 11349	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 17408	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 3023	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 234	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 12364	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 12554	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 12877	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 12782	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 11349	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 17419	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 3023	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 234	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1358	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ w3a 1103   ≠ wne 2957  ‘cfv 6537  1c1 11128  2c2 12322  5c5 12325  6c6 12326  8c8 12328  ;cdc 12739  ndxcnx 17289  Scalarcsca 17349   ·_𝑠 cvsca 17350  ·_𝑖cip 17351  distcds 17355

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-ds 17368

This theorem is used by:  srads  21370  tngsca  24872  tngvsca  24873  tngip  24874  zlmds  34459