Theorem slotsdnscsi 17444

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. Formerly part of sralem 21276 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12327	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 12243	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 12520	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 12523	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 12851	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12753	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 11321	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 17437	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 17366	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 3022	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 234	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 12330	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 12524	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 12850	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 12753	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 11321	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 17371	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 3022	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 234	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 12336	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 12526	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 12848	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 12753	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 11321	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 17382	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 3022	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 234	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1356	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1101   ≠ wne 2956  ‘cfv 6536  1c1 11100  2c2 12294  5c5 12297  6c6 12298  8c8 12300  ;cdc 12710  ndxcnx 17252  Scalarcsca 17312   ·_𝑠 cvsca 17313  ·_𝑖cip 17314  distcds 17318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-ds 17331

This theorem is referenced by:  srads  21285  tngsca  24781  tngvsca  24782  tngip  24783  zlmds  34318