Theorem slotsdnscsi 17411

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. Formerly part of sralem 21139 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12332	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 12256	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 12523	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 12526	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 12848	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12751	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 11352	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 17404	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 17333	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2999	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 231	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 12335	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 12527	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 12847	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 12751	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 11352	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 17338	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2999	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 231	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 12341	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 12529	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 12845	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 12751	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 11352	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 17349	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2999	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 231	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1340	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   ≠ wne 2933  ‘cfv 6536  1c1 11135  2c2 12300  5c5 12303  6c6 12304  8c8 12306  ;cdc 12713  ndxcnx 17217  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  ·_𝑖cip 17281  distcds 17285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-ds 17298

This theorem is referenced by:  srads  21148  tngsca  24589  tngvsca  24590  tngip  24591  zlmds  33998