Theorem slotsdnscsi 17437

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. Formerly part of sralem 21176 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12354	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 12278	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 12545	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 12548	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 12870	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12773	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 11374	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 17430	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 17359	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 3006	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 231	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 12357	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 12549	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 12869	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 12773	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 11374	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 17364	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 3006	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 231	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 12363	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 12551	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 12867	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 12773	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 11374	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 17375	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 3006	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 231	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1339	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   ≠ wne 2939  ‘cfv 6560  1c1 11157  2c2 12322  5c5 12325  6c6 12326  8c8 12328  ;cdc 12735  ndxcnx 17231  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  ·_𝑖cip 17303  distcds 17307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-ds 17320

This theorem is referenced by:  srads  21192  tngsca  24663  tngvsca  24665  tngip  24667  zlmds  33962