Theorem slotsdnscsi 17563

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. Formerly part of sralem 21451 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12430	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 12346	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 12623	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 12626	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 12955	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12857	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 11422	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 17556	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 17485	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 3021	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 234	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 12433	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 12627	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 12954	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 12857	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 11422	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 17490	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 3021	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 234	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 12439	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 12629	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 12952	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 12857	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 11422	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 17501	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 3021	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 234	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1358	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ w3a 1103   ≠ wne 2955  ‘cfv 6538  1c1 11201  2c2 12397  5c5 12400  6c6 12401  8c8 12403  ;cdc 12814  ndxcnx 17371  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  ·_𝑖cip 17433  distcds 17437

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-ds 17450

This theorem is used by:  srads  21460  tngsca  24964  tngvsca  24965  tngip  24966  zlmds  34636