Theorem slotsdnscsi 17358

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. Formerly part of sralem 21043 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12315	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 12239	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 12505	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 12508	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 12828	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12731	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 11342	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 17351	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 17280	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 3002	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 230	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 12318	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 12509	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 12827	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 12731	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 11342	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 17285	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 3002	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 230	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 12324	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 12511	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 12825	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 12731	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 11342	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 17296	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 3002	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 230	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1337	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1085   ≠ wne 2935  ‘cfv 6542  1c1 11125  2c2 12283  5c5 12286  6c6 12287  8c8 12289  ;cdc 12693  ndxcnx 17147  Scalarcsca 17221   ·_𝑠 cvsca 17222  ·_𝑖cip 17223  distcds 17227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-ds 17240

This theorem is referenced by:  srads  21059  tngsca  24532  tngvsca  24534  tngip  24536  zlmds  33486