Theorem slotsdnscsi 17288

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. Formerly part of sralem 21103 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12204	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 12128	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 12390	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 12393	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 12715	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12618	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 11217	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 17281	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 17210	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2992	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 231	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 12207	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 12394	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 12714	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 12618	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 11217	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 17215	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2992	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 231	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 12213	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 12396	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 12712	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 12618	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 11217	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 17226	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2992	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 231	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1340	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   ≠ wne 2926  ‘cfv 6477  1c1 10999  2c2 12172  5c5 12175  6c6 12176  8c8 12178  ;cdc 12580  ndxcnx 17096  Scalarcsca 17156   ·_𝑠 cvsca 17157  ·_𝑖cip 17158  distcds 17162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-ds 17175

This theorem is referenced by:  srads  21112  tngsca  24553  tngvsca  24554  tngip  24555  zlmds  33965