Theorem slotsdnscsi 17302

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. Formerly part of sralem 21116 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12218	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 12142	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 12404	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 12407	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 12729	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12632	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 11231	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 17295	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 17224	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2994	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 231	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 12221	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 12408	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 12728	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 12632	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 11231	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 17229	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2994	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 231	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 12227	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 12410	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 12726	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 12632	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 11231	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 17240	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2994	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 231	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1340	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   ≠ wne 2928  ‘cfv 6487  1c1 11013  2c2 12186  5c5 12189  6c6 12190  8c8 12192  ;cdc 12594  ndxcnx 17110  Scalarcsca 17170   ·_𝑠 cvsca 17171  ·_𝑖cip 17172  distcds 17176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-ds 17189

This theorem is referenced by:  srads  21125  tngsca  24566  tngvsca  24567  tngip  24568  zlmds  33982