Theorem slotsdnscsi 17477

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. Formerly part of sralem 21360 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12352	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 12268	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 12545	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 12548	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 12877	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12779	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 11346	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 17470	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 17399	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 3021	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 234	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 12355	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 12549	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 12876	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 12779	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 11346	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 17404	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 3021	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 234	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 12361	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 12551	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 12874	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 12779	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 11346	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 17415	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 3021	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 234	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1358	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ w3a 1103   ≠ wne 2955  ‘cfv 6533  1c1 11125  2c2 12319  5c5 12322  6c6 12323  8c8 12325  ;cdc 12736  ndxcnx 17285  Scalarcsca 17345   ·_𝑠 cvsca 17346  ·_𝑖cip 17347  distcds 17351

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-ds 17364

This theorem is used by:  srads  21369  tngsca  24871  tngvsca  24872  tngip  24873  zlmds  34472