Theorem slotsdnscsi 17592

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. Formerly part of sralem 21481 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12457	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 12373	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 12650	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 12653	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 12982	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12884	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 11449	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 17585	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 17514	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 3025	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 234	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 12460	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 12654	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 12981	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 12884	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 11449	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 17519	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 3025	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 234	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 12466	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 12656	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 12979	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 12884	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 11449	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 17530	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 3025	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 234	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1358	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ w3a 1103   ≠ wne 2959  ‘cfv 6558  1c1 11228  2c2 12424  5c5 12427  6c6 12428  8c8 12430  ;cdc 12841  ndxcnx 17400  Scalarcsca 17460   ·_𝑠 cvsca 17461  ·_𝑖cip 17462  distcds 17466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-ds 17479

This theorem is used by:  srads  21490  tngsca  24994  tngvsca  24995  tngip  24996  zlmds  34664