Theorem slotsdnscsi 17355

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. Formerly part of sralem 21171 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12268	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 12185	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 12454	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 12457	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 12779	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12682	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 11258	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 17348	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 17277	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2999	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 231	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 12271	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 12458	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 12778	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 12682	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 11258	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 17282	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2999	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 231	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 12277	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 12460	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 12776	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 12682	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 11258	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 17293	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2999	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 231	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1341	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1087   ≠ wne 2933  ‘cfv 6499  1c1 11039  2c2 12236  5c5 12239  6c6 12240  8c8 12242  ;cdc 12644  ndxcnx 17163  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  ·_𝑖cip 17225  distcds 17229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-ds 17242

This theorem is referenced by:  srads  21180  tngsca  24610  tngvsca  24611  tngip  24612  zlmds  34106