Theorem slotsdnscsi 17362

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. Formerly part of sralem 21090 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12280	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 12204	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 12466	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 12469	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 12791	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12694	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 11293	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 17355	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 17284	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2992	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 231	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 12283	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 12470	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 12790	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 12694	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 11293	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 17289	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2992	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 231	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 12289	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 12472	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 12788	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 12694	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 11293	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 17300	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2992	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 231	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1340	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   ≠ wne 2926  ‘cfv 6514  1c1 11076  2c2 12248  5c5 12251  6c6 12252  8c8 12254  ;cdc 12656  ndxcnx 17170  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  ·_𝑖cip 17232  distcds 17236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-ds 17249

This theorem is referenced by:  srads  21099  tngsca  24540  tngvsca  24541  tngip  24542  zlmds  33959