Theorem slotsdnscsi 17401

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. Formerly part of sralem 21101 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12346	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 12270	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 12536	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 12539	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 12859	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12762	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 11372	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 17394	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 17323	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2996	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 230	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 12349	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 12540	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 12858	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 12762	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 11372	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 17328	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2996	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 230	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 12355	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 12542	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 12856	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 12762	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 11372	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 17339	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2996	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 230	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1336	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1084   ≠ wne 2929  ‘cfv 6553  1c1 11155  2c2 12314  5c5 12317  6c6 12318  8c8 12320  ;cdc 12724  ndxcnx 17190  Scalarcsca 17264   ·_𝑠 cvsca 17265  ·_𝑖cip 17266  distcds 17270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12520  df-z 12606  df-dec 12725  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-ds 17283

This theorem is referenced by:  srads  21117  tngsca  24641  tngvsca  24643  tngip  24645  zlmds  33733