Theorem slotsdnscsi 17370

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. Formerly part of sralem 21063 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12327	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 12251	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 12517	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 12520	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 12840	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12743	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 11354	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 17363	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 17292	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2997	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 230	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 12330	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 12521	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 12839	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 12743	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 11354	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 17297	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2997	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 230	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 12336	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 12523	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 12837	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 12743	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 11354	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 17308	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2997	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 230	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1336	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1084   ≠ wne 2930  ‘cfv 6542  1c1 11137  2c2 12295  5c5 12298  6c6 12299  8c8 12301  ;cdc 12705  ndxcnx 17159  Scalarcsca 17233   ·_𝑠 cvsca 17234  ·_𝑖cip 17235  distcds 17239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-ds 17252

This theorem is referenced by:  srads  21079  tngsca  24574  tngvsca  24576  tngip  24578  zlmds  33619