Theorem slotsdnscsi 17349

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. Formerly part of sralem 21169 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12262	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 12179	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 12448	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 12451	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 12773	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 12676	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 11252	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 17342	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 17271	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2997	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 232	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 12265	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 12452	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 12772	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 12676	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 11252	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 17276	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2997	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 232	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 12271	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 12454	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 12770	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 12676	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 11252	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 17287	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2997	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 232	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1342	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1088   ≠ wne 2931  ‘cfv 6488  1c1 11033  2c2 12230  5c5 12233  6c6 12234  8c8 12236  ;cdc 12638  ndxcnx 17157  Scalarcsca 17217   ·_𝑠 cvsca 17218  ·_𝑖cip 17219  distcds 17223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7681  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3061  df-reu 3342  df-rab 3389  df-v 3430  df-sbc 3727  df-csb 3835  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3906  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7935  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-ds 17236

This theorem is referenced by:  srads  21178  tngsca  24631  tngvsca  24632  tngip  24633  zlmds  34149