Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvafvadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvafvadd 39688
Description: The vector sum operation for the constructed partial vector space A. (Contributed by NM, 9-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvafvadd.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvafvadd.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvafvadd.u 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvafvadd.v + = (+g𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvafvadd ((𝐾𝑋𝑊𝐻) → + = (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝐾   𝑇,𝑓,𝑔   𝑓,𝑊,𝑔
Allowed substitution hints:   + (𝑓,𝑔)   𝑈(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝑋(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem dvafvadd
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvafvadd.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvafvadd.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 eqid 2731 . . . 4 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2731 . . . 4 ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5 dvafvadd.u . . . 4 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5dvaset 39679 . . 3 ((𝐾𝑋𝑊𝐻) → 𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓𝑇 ↦ (𝑠𝑓))⟩}))
76fveq2d 6882 . 2 ((𝐾𝑋𝑊𝐻) → (+g𝑈) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓𝑇 ↦ (𝑠𝑓))⟩})))
8 dvafvadd.v . 2 + = (+g𝑈)
92fvexi 6892 . . . 4 𝑇 ∈ V
109, 9mpoex 8048 . . 3 (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔)) ∈ V
11 eqid 2731 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓𝑇 ↦ (𝑠𝑓))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓𝑇 ↦ (𝑠𝑓))⟩})
1211lmodplusg 17254 . . 3 ((𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔)) ∈ V → (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔)) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓𝑇 ↦ (𝑠𝑓))⟩})))
1310, 12ax-mp 5 . 2 (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔)) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓𝑇 ↦ (𝑠𝑓))⟩}))
147, 8, 133eqtr4g 2796 1 ((𝐾𝑋𝑊𝐻) → + = (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3473  cun 3942  {csn 4622  {ctp 4626  cop 4628  ccom 5673  cfv 6532  cmpo 7395  ndxcnx 17108  Basecbs 17126  +gcplusg 17179  Scalarcsca 17182   ·𝑠 cvsca 17183  LHypclh 38658  LTrncltrn 38775  TEndoctendo 39426  EDRingcedring 39427  DVecAcdveca 39676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-struct 17062  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-plusg 17192  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-dveca 39677
This theorem is referenced by:  dvavadd  39689
  Copyright terms: Public domain W3C validator