Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvavbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvavbase 40712
Description: The vectors (vector base set) of the constructed partial vector space A are all translations (for a fiducial co-atom 𝑊). (Contributed by NM, 9-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvavbase.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvavbase.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvavbase.u 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvavbase.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvavbase ((𝐾𝑋𝑊𝐻) → 𝑉 = 𝑇)

Proof of Theorem dvavbase
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvavbase.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvavbase.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 eqid 2726 . . . 4 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2726 . . . 4 ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5 dvavbase.u . . . 4 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5dvaset 40704 . . 3 ((𝐾𝑋𝑊𝐻) → 𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓𝑇 ↦ (𝑠𝑓))⟩}))
76fveq2d 6905 . 2 ((𝐾𝑋𝑊𝐻) → (Base‘𝑈) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓𝑇 ↦ (𝑠𝑓))⟩})))
8 dvavbase.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
92fvexi 6915 . . 3 𝑇 ∈ V
10 eqid 2726 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓𝑇 ↦ (𝑠𝑓))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓𝑇 ↦ (𝑠𝑓))⟩})
1110lmodbase 17340 . . 3 (𝑇 ∈ V → 𝑇 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓𝑇 ↦ (𝑠𝑓))⟩})))
129, 11ax-mp 5 . 2 𝑇 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝑇, 𝑔𝑇 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓𝑇 ↦ (𝑠𝑓))⟩}))
137, 8, 123eqtr4g 2791 1 ((𝐾𝑋𝑊𝐻) → 𝑉 = 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  cun 3945  {csn 4633  {ctp 4637  cop 4639  ccom 5686  cfv 6554  cmpo 7426  ndxcnx 17195  Basecbs 17213  +gcplusg 17266  Scalarcsca 17269   ·𝑠 cvsca 17270  LHypclh 39683  LTrncltrn 39800  TEndoctendo 40451  EDRingcedring 40452  DVecAcdveca 40701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-plusg 17279  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-dveca 40702
This theorem is referenced by:  dvalveclem  40724  dva0g  40726  dialss  40745  diassdvaN  40759  dia1dim2  40761  dia1dimid  40762  dia2dimlem5  40767  dvadiaN  40827
  Copyright terms: Public domain W3C validator