Theorem dvavbase 41828

Description: The vectors (vector base set) of the constructed partial vector space A are all translations (for a fiducial co-atom 𝑊). (Contributed by NM, 9-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvavbase.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvavbase.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvavbase.u	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvavbase.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvavbase	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 = 𝑇)

Proof of Theorem dvavbase

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvavbase.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvavbase.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
5		dvavbase.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	dvaset 41820	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 = ({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (𝑠‘𝑓))⟩}))
7	6	fveq2d 6892	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (𝑠‘𝑓))⟩})))
8		dvavbase.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
9	2	fvexi 6902	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ V
10		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (𝑠‘𝑓))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (𝑠‘𝑓))⟩})
11	10	lmodbase 17404	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ V → 𝑇 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (𝑠‘𝑓))⟩})))
12	9, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑇 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝑇⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (𝑠‘𝑓))⟩}))
13	7, 8, 12	3eqtr4g 2826	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 = 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ∪ cun 3906  {csn 4594  {ctp 4598  ⟨cop 4600   ∘ ccom 5670  ‘cfv 6543   ∈ cmpo 7425  ndxcnx 17278  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  Scalarcsca 17338   ·_𝑠 cvsca 17339  LHypclh 40799  LTrncltrn 40916  TEndoctendo 41567  EDRingcedring 41568  DVecAcdveca 41817

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-dveca 41818

This theorem is used by:  dvalveclem  41840  dva0g  41842  dialss  41861  diassdvaN  41875  dia1dim2  41877  dia1dimid  41878  dia2dimlem5  41883  dvadiaN  41943