Theorem divalglem0 16030

Description: Lemma for divalg 16040. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
divalglem0	⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷))))))

Proof of Theorem divalglem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem0.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
2		iddvds 15907	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ 𝐷)
3		dvdsabsb 15913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
4	3	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
5	2, 4	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (abs‘𝐷))
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)
7		nn0abscl 14952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 12275	. . . . . 6 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℤ
10		dvdsmultr2 15935	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))))
11	1, 9, 10	mp3an13 1450	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))))
12	6, 11	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷)))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷)))
14		divalglem0.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
15		zsubcl 12292	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℤ)
16	14, 15	mpan 686	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℤ)
17		zmulcl 12299	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
18	9, 17	mpan2 687	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
19		dvds2add 15927	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑅) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ∧ 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))) → 𝐷 ∥ ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
20	1, 16, 18, 19	mp3an3an 1465	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ∧ 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))) → 𝐷 ∥ ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
21	13, 20	mpan2d 690	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
22		zcn 12254	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
23	14, 22	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
24		zcn 12254	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → 𝑅 ∈ ℂ)
25	18	zcnd 12356	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ)
26		subsub 11181	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) = ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
27	23, 24, 25, 26	mp3an3an 1465	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) = ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
28	27	breq2d 5082	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
29	21, 28	sylibrd 258	1 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  abscabs 14873   ∥ cdvds 15891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892

This theorem is referenced by:  divalglem5  16034