Theorem divalglem0 15954

Description: Lemma for divalg 15964. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
divalglem0	⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷))))))

Proof of Theorem divalglem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem0.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
2		iddvds 15831	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ 𝐷)
3		dvdsabsb 15837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
4	3	anidms 570	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
5	2, 4	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (abs‘𝐷))
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)
7		nn0abscl 14876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 12202	. . . . . 6 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℤ
10		dvdsmultr2 15859	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))))
11	1, 9, 10	mp3an13 1454	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))))
12	6, 11	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷)))
13	12	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷)))
14		divalglem0.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
15		zsubcl 12219	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℤ)
16	14, 15	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℤ)
17		zmulcl 12226	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
18	9, 17	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
19		dvds2add 15851	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑅) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ∧ 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))) → 𝐷 ∥ ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
20	1, 16, 18, 19	mp3an3an 1469	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ∧ 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))) → 𝐷 ∥ ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
21	13, 20	mpan2d 694	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
22		zcn 12181	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
23	14, 22	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
24		zcn 12181	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → 𝑅 ∈ ℂ)
25	18	zcnd 12283	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ)
26		subsub 11108	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) = ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
27	23, 24, 25, 26	mp3an3an 1469	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) = ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
28	27	breq2d 5065	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
29	21, 28	sylibrd 262	1 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727   + caddc 10732   · cmul 10734   − cmin 11062  ℕ₀cn0 12090  ℤcz 12176  abscabs 14797   ∥ cdvds 15815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-dvds 15816

This theorem is referenced by:  divalglem5  15958