Theorem divalglem0 16563

Description: Lemma for divalg 16573. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
divalglem0	⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷))))))

Proof of Theorem divalglem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem0.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
2		iddvds 16439	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ 𝐷)
3		dvdsabsb 16445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
4	3	anidms 577	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
5	2, 4	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (abs‘𝐷))
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)
7		nn0abscl 15479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 12721	. . . . . 6 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℤ
10		dvdsmultr2 16468	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))))
11	1, 9, 10	mp3an13 1481	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))))
12	6, 11	mpi 21	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷)))
13	12	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷)))
14		divalglem0.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
15		zsubcl 12738	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℤ)
16	14, 15	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℤ)
17		zmulcl 12745	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
18	9, 17	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
19		dvds2add 16460	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑅) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ∧ 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))) → 𝐷 ∥ ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
20	1, 16, 18, 19	mp3an3an 1496	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ∧ 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))) → 𝐷 ∥ ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
21	13, 20	mpan2d 707	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
22		zcn 12698	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
23	14, 22	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
24		zcn 12698	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → 𝑅 ∈ ℂ)
25	18	zcnd 12804	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ)
26		subsub 11588	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) = ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
27	23, 24, 25, 26	mp3an3an 1496	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) = ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
28	27	breq2d 5115	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
29	21, 28	sylibrd 262	1 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198   + caddc 11203   · cmul 11205   − cmin 11541  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  abscabs 15401   ∥ cdvds 16422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-dvds 16423

This theorem is used by:  divalglem5  16567