Theorem divalglem0 16397

Description: Lemma for divalg 16407. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
divalglem0	⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷))))))

Proof of Theorem divalglem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem0.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
2		iddvds 16274	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ 𝐷)
3		dvdsabsb 16280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
4	3	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
5	2, 4	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (abs‘𝐷))
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)
7		nn0abscl 15318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 12609	. . . . . 6 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℤ
10		dvdsmultr2 16302	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))))
11	1, 9, 10	mp3an13 1453	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))))
12	6, 11	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷)))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷)))
14		divalglem0.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
15		zsubcl 12626	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℤ)
16	14, 15	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℤ)
17		zmulcl 12633	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
18	9, 17	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
19		dvds2add 16294	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑅) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ∧ 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))) → 𝐷 ∥ ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
20	1, 16, 18, 19	mp3an3an 1468	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ∧ 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))) → 𝐷 ∥ ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
21	13, 20	mpan2d 694	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
22		zcn 12585	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
23	14, 22	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
24		zcn 12585	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → 𝑅 ∈ ℂ)
25	18	zcnd 12690	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ)
26		subsub 11505	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) = ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
27	23, 24, 25, 26	mp3an3an 1468	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) = ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
28	27	breq2d 5128	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
29	21, 28	sylibrd 259	1 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5116  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  ℂcc 11119   + caddc 11124   · cmul 11126   − cmin 11458  ℕ₀cn0 12493  ℤcz 12580  abscabs 15240   ∥ cdvds 16257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-pre-sup 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9448  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-n0 12494  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 13001  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15105  df-re 15106  df-im 15107  df-sqrt 15241  df-abs 15242  df-dvds 16258

This theorem is referenced by:  divalglem5  16401