Theorem divalglem0 16475

Description: Lemma for divalg 16485. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem0.1	⊢ 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2	⊢ 𝐷 ∈ ℤ

Assertion

Ref	Expression
divalglem0	⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷))))))

Proof of Theorem divalglem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem0.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℤ
2		iddvds 16351	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ 𝐷)
3		dvdsabsb 16357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
4	3	anidms 577	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ 𝐷 ↔ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
5	2, 4	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (abs‘𝐷))
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)
7		nn0abscl 15389	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
8	1, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 12636	. . . . . 6 ⊢ (abs‘𝐷) ∈ ℤ
10		dvdsmultr2 16380	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))))
11	1, 9, 10	mp3an13 1481	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))))
12	6, 11	mpi 21	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷)))
13	12	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷)))
14		divalglem0.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
15		zsubcl 12653	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℤ)
16	14, 15	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℤ)
17		zmulcl 12660	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
18	9, 17	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
19		dvds2add 16372	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑅) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ∧ 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))) → 𝐷 ∥ ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
20	1, 16, 18, 19	mp3an3an 1496	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ∧ 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))) → 𝐷 ∥ ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
21	13, 20	mpan2d 707	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
22		zcn 12613	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
23	14, 22	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
24		zcn 12613	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → 𝑅 ∈ ℂ)
25	18	zcnd 12719	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ)
26		subsub 11505	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) = ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
27	23, 24, 25, 26	mp3an3an 1496	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) = ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
28	27	breq2d 5123	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 − 𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
29	21, 28	sylibrd 262	1 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115   + caddc 11120   · cmul 11122   − cmin 11458  ℕ₀cn0 12521  ℤcz 12608  abscabs 15311   ∥ cdvds 16334

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16335

This theorem is used by:  divalglem5  16479