Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem0 15737
 Description: Lemma for divalg 15747. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem0.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem0.2 𝐷 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
divalglem0 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷))))))

Proof of Theorem divalglem0
StepHypRef Expression
1 divalglem0.2 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℤ
2 iddvds 15618 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷𝐷)
3 dvdsabsb 15624 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷𝐷𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
43anidms 570 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷𝐷𝐷 ∥ (abs‘𝐷)))
52, 4mpbid 235 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (abs‘𝐷))
61, 5ax-mp 5 . . . . 5 𝐷 ∥ (abs‘𝐷)
7 nn0abscl 14667 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷) ∈ ℕ0)
81, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 (abs‘𝐷) ∈ ℕ0
98nn0zi 11998 . . . . . 6 (abs‘𝐷) ∈ ℤ
10 dvdsmultr2 15644 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))))
111, 9, 10mp3an13 1449 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐷 ∥ (abs‘𝐷) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))))
126, 11mpi 20 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷)))
1312adantl 485 . . 3 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷)))
14 divalglem0.1 . . . . 5 𝑁 ∈ ℤ
15 zsubcl 12015 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑁𝑅) ∈ ℤ)
1614, 15mpan 689 . . . 4 (𝑅 ∈ ℤ → (𝑁𝑅) ∈ ℤ)
17 zmulcl 12022 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐷) ∈ ℤ) → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
189, 17mpan2 690 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ)
19 dvds2add 15638 . . . 4 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑅) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ∧ 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))) → 𝐷 ∥ ((𝑁𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
201, 16, 18, 19mp3an3an 1464 . . 3 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ∧ 𝐷 ∥ (𝐾 · (abs‘𝐷))) → 𝐷 ∥ ((𝑁𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
2113, 20mpan2d 693 . 2 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ ((𝑁𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
22 zcn 11977 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2314, 22ax-mp 5 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
24 zcn 11977 . . . 4 (𝑅 ∈ ℤ → 𝑅 ∈ ℂ)
2518zcnd 12079 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ)
26 subsub 10908 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐾 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) = ((𝑁𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
2723, 24, 25, 26mp3an3an 1464 . . 3 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) = ((𝑁𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷))))
2827breq2d 5043 . 2 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷)))) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁𝑅) + (𝐾 · (abs‘𝐷)))))
2921, 28sylibrd 262 1 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑅 − (𝐾 · (abs‘𝐷))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5031  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℂcc 10527   + caddc 10532   · cmul 10534   − cmin 10862  ℕ0cn0 11888  ℤcz 11972  abscabs 14588   ∥ cdvds 15602 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8893  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-seq 13368  df-exp 13429  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603 This theorem is referenced by:  divalglem5  15741
 Copyright terms: Public domain W3C validator