MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythagtriplem19 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pythagtriplem19 16793
Description: Lemma for pythagtrip 16794. Introduce ๐‘˜ and remove the relative primality requirement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem19 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘š,๐‘›,๐‘˜   ๐ต,๐‘š,๐‘›,๐‘˜   ๐ถ,๐‘š,๐‘›,๐‘˜

Proof of Theorem pythagtriplem19
StepHypRef Expression
1 gcdnncl 16473 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•)
213adant3 1130 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•)
323ad2ant1 1131 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•)
4 nnz 12601 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
5 nnz 12601 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
6 gcddvds 16469 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด โˆง (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต))
74, 5, 6syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด โˆง (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต))
873adant3 1130 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด โˆง (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต))
98simpld 494 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด)
102nnzd 12607 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค)
112nnne0d 12284 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โ‰  0)
1243ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
13 dvdsval2 16225 . . . . . . . . 9 (((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐ต) โ‰  0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด โ†” (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„ค))
1410, 11, 12, 13syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด โ†” (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„ค))
159, 14mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
16 nnre 12241 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
17163ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
182nnred 12249 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„)
19 nngt0 12265 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐ด)
20193ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐ด)
212nngt0d 12283 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐ด gcd ๐ต))
2217, 18, 20, 21divgt0d 12171 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)))
23 elnnz 12590 . . . . . . 7 ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„• โ†” ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))))
2415, 22, 23sylanbrc 582 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„•)
25243ad2ant1 1131 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„•)
268simprd 495 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต)
2753ad2ant2 1132 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
28 dvdsval2 16225 . . . . . . . . 9 (((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐ต) โ‰  0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต โ†” (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„ค))
2910, 11, 27, 28syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต โ†” (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„ค))
3026, 29mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
31 nnre 12241 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
32313ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
33 nngt0 12265 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐ต)
34333ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐ต)
3532, 18, 34, 21divgt0d 12171 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)))
36 elnnz 12590 . . . . . . 7 ((๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„• โ†” ((๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))))
3730, 35, 36sylanbrc 582 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„•)
38373ad2ant1 1131 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„•)
39 dvdssq 16529 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด โ†” ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆฅ (๐ดโ†‘2)))
4010, 12, 39syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด โ†” ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆฅ (๐ดโ†‘2)))
41 dvdssq 16529 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต โ†” ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆฅ (๐ตโ†‘2)))
4210, 27, 41syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต โ†” ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆฅ (๐ตโ†‘2)))
4340, 42anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด โˆง (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต) โ†” (((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆฅ (๐ดโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆฅ (๐ตโ†‘2))))
448, 43mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆฅ (๐ดโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆฅ (๐ตโ†‘2)))
452nnsqcld 14230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„•)
4645nnzd 12607 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
47 nnsqcl 14116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„•)
48473ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„•)
4948nnzd 12607 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
50 nnsqcl 14116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„•)
51503ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„•)
5251nnzd 12607 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
53 dvds2add 16258 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆฅ (๐ดโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆฅ (๐ตโ†‘2)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆฅ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))))
5446, 49, 52, 53syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆฅ (๐ดโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆฅ (๐ตโ†‘2)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆฅ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))))
5544, 54mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆฅ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
5655adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆฅ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
57 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2))
5856, 57breqtrd 5168 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆฅ (๐ถโ†‘2))
59 nnz 12601 . . . . . . . . . . . 12 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
60593ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
61 dvdssq 16529 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ถ โ†” ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆฅ (๐ถโ†‘2)))
6210, 60, 61syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ถ โ†” ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆฅ (๐ถโ†‘2)))
6362adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ถ โ†” ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆฅ (๐ถโ†‘2)))
6458, 63mpbird 257 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ถ)
65 dvdsval2 16225 . . . . . . . . . 10 (((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐ต) โ‰  0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ถ โ†” (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„ค))
6610, 11, 60, 65syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ถ โ†” (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„ค))
6766adantr 480 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ถ โ†” (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„ค))
6864, 67mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
69 nnre 12241 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
70693ad2ant3 1133 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
71 nngt0 12265 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐ถ)
72713ad2ant3 1133 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐ถ)
7370, 18, 72, 21divgt0d 12171 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)))
7473adantr 480 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ 0 < (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)))
75 elnnz 12590 . . . . . . 7 ((๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„• โ†” ((๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต))))
7668, 74, 75sylanbrc 582 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2)) โ†’ (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„•)
77763adant3 1130 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„•)
7848nncnd 12250 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7951nncnd 12250 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8045nncnd 12250 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8145nnne0d 12284 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2) โ‰  0)
8278, 79, 80, 81divdird 12050 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) / ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2)) = (((๐ดโ†‘2) / ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) / ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2))))
83823ad2ant1 1131 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) / ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2)) = (((๐ดโ†‘2) / ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) / ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2))))
84 nncn 12242 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
85843ad2ant3 1133 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
862nncnd 12250 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„‚)
8785, 86, 11sqdivd 14147 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ถ / (๐ด gcd ๐ต))โ†‘2) = ((๐ถโ†‘2) / ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2)))
88873ad2ant1 1131 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ ((๐ถ / (๐ด gcd ๐ต))โ†‘2) = ((๐ถโ†‘2) / ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2)))
89 oveq1 7421 . . . . . . . 8 (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) / ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2)) = ((๐ถโ†‘2) / ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2)))
90893ad2ant2 1132 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) / ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2)) = ((๐ถโ†‘2) / ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2)))
9188, 90eqtr4d 2770 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ ((๐ถ / (๐ด gcd ๐ต))โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) / ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2)))
92 nncn 12242 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
93923ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9493, 86, 11sqdivd 14147 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต))โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) / ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2)))
95 nncn 12242 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
96953ad2ant2 1132 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9796, 86, 11sqdivd 14147 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต / (๐ด gcd ๐ต))โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) / ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2)))
9894, 97oveq12d 7432 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต))โ†‘2) + ((๐ต / (๐ด gcd ๐ต))โ†‘2)) = (((๐ดโ†‘2) / ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) / ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2))))
99983ad2ant1 1131 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต))โ†‘2) + ((๐ต / (๐ด gcd ๐ต))โ†‘2)) = (((๐ดโ†‘2) / ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2)) + ((๐ตโ†‘2) / ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2))))
10083, 91, 993eqtr4rd 2778 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต))โ†‘2) + ((๐ต / (๐ด gcd ๐ต))โ†‘2)) = ((๐ถ / (๐ด gcd ๐ต))โ†‘2))
101 gcddiv 16518 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ด โˆง (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ต)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))))
10212, 27, 2, 8, 101syl31anc 1371 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))))
10386, 11dividd 12010 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / (๐ด gcd ๐ต)) = 1)
104102, 103eqtr3d 2769 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1)
1051043ad2ant1 1131 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1)
106 simp3 1136 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)))
107 pythagtriplem18 16792 . . . . 5 ((((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„• โˆง (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„• โˆง (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„•) โˆง (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต))โ†‘2) + ((๐ต / (๐ด gcd ๐ต))โ†‘2)) = ((๐ถ / (๐ด gcd ๐ต))โ†‘2) โˆง (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)) โˆง (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)) โˆง (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))
10825, 38, 77, 100, 105, 106, 107syl312anc 1389 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)) โˆง (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)) โˆง (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))
10993, 86, 11divcan2d 12014 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) = ๐ด)
110109eqcomd 2733 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))))
11196, 86, 11divcan2d 12014 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = ๐ต)
112111eqcomd 2733 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))))
11385, 86, 11divcan2d 12014 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต))) = ๐ถ)
114113eqcomd 2733 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต))))
115110, 112, 1143jca 1126 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โˆง ๐ต = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) โˆง ๐ถ = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)))))
1161153ad2ant1 1131 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ (๐ด = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โˆง ๐ต = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) โˆง ๐ถ = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)))))
117 oveq2 7422 . . . . . . . . . 10 ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))))
118117eqeq2d 2738 . . . . . . . . 9 ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)) โ†’ (๐ด = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†” ๐ด = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))))
1191183ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)) โˆง (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)) โˆง (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))) โ†’ (๐ด = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†” ๐ด = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))))
120 oveq2 7422 . . . . . . . . . 10 ((๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))))
121120eqeq2d 2738 . . . . . . . . 9 ((๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)) โ†’ (๐ต = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) โ†” ๐ต = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))))
1221213ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)) โˆง (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)) โˆง (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))) โ†’ (๐ต = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) โ†” ๐ต = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))))
123 oveq2 7422 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต))) = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))
124123eqeq2d 2738 . . . . . . . . 9 ((๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)) โ†’ (๐ถ = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต))) โ†” ๐ถ = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
1251243ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)) โˆง (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)) โˆง (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))) โ†’ (๐ถ = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต))) โ†” ๐ถ = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
126119, 122, 1253anbi123d 1433 . . . . . . 7 (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)) โˆง (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)) โˆง (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))) โ†’ ((๐ด = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โˆง ๐ต = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) โˆง ๐ถ = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)))) โ†” (๐ด = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
127116, 126syl5ibcom 244 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)) โˆง (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)) โˆง (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))) โ†’ (๐ด = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
128127reximdv 3165 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)) โˆง (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)) โˆง (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
129128reximdv 3165 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)) โˆง (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) = (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)) โˆง (๐ถ / (๐ด gcd ๐ต)) = ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
130108, 129mpd 15 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
131 oveq1 7421 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐ด gcd ๐ต) โ†’ (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))))
132131eqeq2d 2738 . . . . . 6 (๐‘˜ = (๐ด gcd ๐ต) โ†’ (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โ†” ๐ด = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2)))))
133 oveq1 7421 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐ด gcd ๐ต) โ†’ (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))))
134133eqeq2d 2738 . . . . . 6 (๐‘˜ = (๐ด gcd ๐ต) โ†’ (๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โ†” ๐ต = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›)))))
135 oveq1 7421 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐ด gcd ๐ต) โ†’ (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))) = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))
136135eqeq2d 2738 . . . . . 6 (๐‘˜ = (๐ด gcd ๐ต) โ†’ (๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))) โ†” ๐ถ = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
137132, 134, 1363anbi123d 1433 . . . . 5 (๐‘˜ = (๐ด gcd ๐ต) โ†’ ((๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” (๐ด = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
1381372rexbidv 3214 . . . 4 (๐‘˜ = (๐ด gcd ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))))
139138rspcev 3607 . . 3 (((๐ด gcd ๐ต) โˆˆ โ„• โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = ((๐ด gcd ๐ต) ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2))))) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
1403, 130, 139syl2anc 583 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
141 rexcom 3282 . . 3 (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
142 rexcom 3282 . . . 4 (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
143142rexbii 3089 . . 3 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
144141, 143bitri 275 . 2 (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
145140, 144sylib 217 1 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ยฌ 2 โˆฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) โˆ’ (๐‘›โ†‘2))) โˆง ๐ต = (๐‘˜ ยท (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘›))) โˆง ๐ถ = (๐‘˜ ยท ((๐‘šโ†‘2) + (๐‘›โ†‘2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โˆƒwrex 3065   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   < clt 11270   โˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  โ„•cn 12234  2c2 12289  โ„คcz 12580  โ†‘cexp 14050   โˆฅ cdvds 16222   gcd cgcd 16460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634
This theorem is referenced by:  pythagtrip  16794
  Copyright terms: Public domain W3C validator