Theorem rpmulgcd2 16583

Description: If 𝑀 is relatively prime to 𝑁, then the GCD of 𝐾 with 𝑀 · 𝑁 is the product of the GCDs with 𝑀 and 𝑁 respectively. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rpmulgcd2	⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))

Proof of Theorem rpmulgcd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zmulcld 12602	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
5	1, 4	gcdcld 16435	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ0)
6	1, 2	gcdcld 16435	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℕ0)
7	1, 3	gcdcld 16435	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
8	6, 7	nn0mulcld 12467	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℕ0)
9		mulgcddvds 16582	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
10	9	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
11		gcddvds 16430	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
12	1, 2, 11	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
13	12	simpld 494	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾)
14		gcddvds 16430	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
15	1, 3, 14	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
16	15	simpld 494	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾)
17	6	nn0zd 12513	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ)
18	7	nn0zd 12513	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
19	17, 18	gcdcld 16435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℕ0)
20	19	nn0zd 12513	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
21		gcddvds 16430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑁)))
22	17, 18, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑁)))
23	22	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀))
24	12	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀)
25	20, 17, 2, 23, 24	dvdstrd 16222	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀)
26	22	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑁))
27	15	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
28	20, 18, 3, 26, 27	dvdstrd 16222	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑁)
29		dvdsgcd 16471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑁) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
30	20, 2, 3, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑁) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
31	25, 28, 30	mp2and 699	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
32		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
33	31, 32	breqtrd 5124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 1)
34		dvds1 16246	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℕ0 → (((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 1 ↔ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) = 1))
35	19, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 1 ↔ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) = 1))
36	33, 35	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) = 1)
37		coprmdvds2 16581	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) = 1) → (((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾))
38	17, 18, 1, 36, 37	syl31anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾))
39	13, 16, 38	mp2and 699	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾)
40		dvdscmul 16209	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁)))
41	18, 3, 17, 40	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁)))
42		dvdsmulc 16210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀 → ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
43	17, 2, 3, 42	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀 → ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
44	17, 18	zmulcld 12602	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
45	17, 3	zmulcld 12602	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∈ ℤ)
46		dvdstr 16221	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
47	44, 45, 4, 46	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
48	41, 43, 47	syl2and 608	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
49	27, 24, 48	mp2and 699	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
50		dvdsgcd 16471	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁))))
51	44, 1, 4, 50	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁))))
52	39, 49, 51	mp2and 699	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))
53		dvdseq 16241	. 2 ⊢ ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
54	5, 8, 10, 52, 53	syl22anc 838	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  1c1 11027   · cmul 11031  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488   ∥ cdvds 16179   gcd cgcd 16421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-gcd 16422

This theorem is referenced by:  mpodvdsmulf1o  27160  dvdsmulf1o  27162