rpmulgcd2 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > rpmulgcd2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem rpmulgcd2 15994

Description: If 𝑀 is relatively prime to 𝑁, then the GCD of 𝐾 with 𝑀 · 𝑁 is the product of the GCDs with 𝑀 and 𝑁 respectively. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
rpmulgcd2	⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))

**Proof of Theorem rpmulgcd2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1187	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		simpl2 1188	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simpl3 1189	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zmulcld 12087	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
5	1, 4	gcdcld 15851	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ₀)
6	1, 2	gcdcld 15851	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℕ₀)
7	1, 3	gcdcld 15851	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
8	6, 7	nn0mulcld 11954	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℕ₀)
9		mulgcddvds 15993	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
10	9	adantr 483	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
11		gcddvds 15846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
12	1, 2, 11	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
13	12	simpld 497	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾)
14		gcddvds 15846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
15	1, 3, 14	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
16	15	simpld 497	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾)
17	6	nn0zd 12079	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ)
18	7	nn0zd 12079	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
19		gcddvds 15846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑁)))
20	17, 18, 19	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑁)))
21	20	simpld 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀))
22	12	simprd 498	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀)
23	17, 18	gcdcld 15851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℕ₀)
24	23	nn0zd 12079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
25		dvdstr 15640	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀))
26	24, 17, 2, 25	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀))
27	21, 22, 26	mp2and 697	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀)
28	20	simprd 498	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑁))
29	15	simprd 498	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
30		dvdstr 15640	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑁) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑁))
31	24, 18, 3, 30	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑁) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑁))
32	28, 29, 31	mp2and 697	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑁)
33		dvdsgcd 15886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑁) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
34	24, 2, 3, 33	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀 ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑁) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
35	27, 32, 34	mp2and 697	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
36		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
37	35, 36	breqtrd 5085	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 1)
38		dvds1 15663	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℕ₀ → (((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 1 ↔ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) = 1))
39	23, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 1 ↔ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) = 1))
40	37, 39	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) = 1)
41		coprmdvds2 15992	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) gcd (𝐾 gcd 𝑁)) = 1) → (((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾))
42	17, 18, 1, 40, 41	syl31anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾))
43	13, 16, 42	mp2and 697	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾)
44		dvdscmul 15630	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁)))
45	18, 3, 17, 44	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁)))
46		dvdsmulc 15631	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀 → ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
47	17, 2, 3, 46	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀 → ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
48	17, 18	zmulcld 12087	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
49	17, 3	zmulcld 12087	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∈ ℤ)
50		dvdstr 15640	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
51	48, 49, 4, 50	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
52	45, 47, 51	syl2and 609	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
53	29, 22, 52	mp2and 697	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
54		dvdsgcd 15886	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁))))
55	48, 1, 4, 54	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁))))
56	43, 53, 55	mp2and 697	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))
57		dvdseq 15658	. 2 ⊢ ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℕ₀) ∧ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∧ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
58	5, 8, 10, 56, 57	syl22anc 836	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∧ w3a 1083 = wceq 1533 ∈ wcel 2110 class class class wbr 5059 (class class class)co 7150 1c1 10532 · cmul 10536 ℕ₀cn0 11891 ℤcz 11975 ∥ cdvds 15601 gcd cgcd 15837

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1907 ax-6 1966 ax-7 2011 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2156 ax-12 2172 ax-ext 2793 ax-sep 5196 ax-nul 5203 ax-pow 5259 ax-pr 5322 ax-un 7455 ax-cnex 10587 ax-resscn 10588 ax-1cn 10589 ax-icn 10590 ax-addcl 10591 ax-addrcl 10592 ax-mulcl 10593 ax-mulrcl 10594 ax-mulcom 10595 ax-addass 10596 ax-mulass 10597 ax-distr 10598 ax-i2m1 10599 ax-1ne0 10600 ax-1rid 10601 ax-rnegex 10602 ax-rrecex 10603 ax-cnre 10604 ax-pre-lttri 10605 ax-pre-lttrn 10606 ax-pre-ltadd 10607 ax-pre-mulgt0 10608 ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1536 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2066 df-mo 2618 df-eu 2650 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3497 df-sbc 3773 df-csb 3884 df-dif 3939 df-un 3941 df-in 3943 df-ss 3952 df-pss 3954 df-nul 4292 df-if 4468 df-pw 4541 df-sn 4562 df-pr 4564 df-tp 4566 df-op 4568 df-uni 4833 df-iun 4914 df-br 5060 df-opab 5122 df-mpt 5140 df-tr 5166 df-id 5455 df-eprel 5460 df-po 5469 df-so 5470 df-fr 5509 df-we 5511 df-xp 5556 df-rel 5557 df-cnv 5558 df-co 5559 df-dm 5560 df-rn 5561 df-res 5562 df-ima 5563 df-pred 6143 df-ord 6189 df-on 6190 df-lim 6191 df-suc 6192 df-iota 6309 df-fun 6352 df-fn 6353 df-f 6354 df-f1 6355 df-fo 6356 df-f1o 6357 df-fv 6358 df-riota 7108 df-ov 7153 df-oprab 7154 df-mpo 7155 df-om 7575 df-2nd 7684 df-wrecs 7941 df-recs 8002 df-rdg 8040 df-er 8283 df-en 8504 df-dom 8505 df-sdom 8506 df-sup 8900 df-inf 8901 df-pnf 10671 df-mnf 10672 df-xr 10673 df-ltxr 10674 df-le 10675 df-sub 10866 df-neg 10867 df-div 11292 df-nn 11633 df-2 11694 df-3 11695 df-n0 11892 df-z 11976 df-uz 12238 df-rp 12384 df-fl 13156 df-mod 13232 df-seq 13364 df-exp 13424 df-cj 14452 df-re 14453 df-im 14454 df-sqrt 14588 df-abs 14589 df-dvds 15602 df-gcd 15838

This theorem is referenced by: dvdsmulf1o 25765

W3C validator