Theorem pcprendvds2 16923

Description: Non-divisibility property of the prime power pre-function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclem.1	⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
pclem.2	⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
pcprendvds2	⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem pcprendvds2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pclem.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
2		pclem.2	. . 3 ⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
3	1, 2	pcprendvds 16922	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁)
4		eluz2nn 12928	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℕ)
6	5	nnzd 12632	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℤ)
7	1, 2	pcprecl 16921	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))
8	7	simprd 501	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁)
9	7	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
10	5, 9	nnexpcld 14299	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℕ)
11	10	nnzd 12632	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℤ)
12	10	nnne0d 12301	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ≠ 0)
13		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
14		dvdsval2 16335	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃↑𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑆) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ))
16	8, 15	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑁 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ)
17		dvdscmul 16362	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑆) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑆)) → ((𝑃↑𝑆) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑𝑆) · (𝑁 / (𝑃↑𝑆)))))
18	6, 16, 11, 17	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑆)) → ((𝑃↑𝑆) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑𝑆) · (𝑁 / (𝑃↑𝑆)))))
19	5	nncnd 12264	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
20	19, 9	expp1d 14201	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 1)) = ((𝑃↑𝑆) · 𝑃))
21	20	eqcomd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑆) · 𝑃) = (𝑃↑(𝑆 + 1)))
22		zcn 12611	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
23	22	ad2antrl 741	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
24	10	nncnd 12264	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℂ)
25	23, 24, 12	divcan2d 12008	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑆) · (𝑁 / (𝑃↑𝑆))) = 𝑁)
26	21, 25	breq12d 5124	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑃↑𝑆) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑𝑆) · (𝑁 / (𝑃↑𝑆))) ↔ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁))
27	18, 26	sylibd 242	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑆)) → (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁))
28	3, 27	mtod 201	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  {crab 3418   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  supcsup 9407  ℂcc 11113  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120   < clt 11258   / cdiv 11886  ℕcn 12248  2c2 12310  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  ↑cexp 14115   ∥ cdvds 16332

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fl 13843  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-dvds 16333

This theorem is used by:  pcpremul  16925  pczndvds2  16949