Theorem pcprendvds2 16795

Description: Non-divisibility property of the prime power pre-function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclem.1	⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
pclem.2	⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
pcprendvds2	⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem pcprendvds2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pclem.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
2		pclem.2	. . 3 ⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
3	1, 2	pcprendvds 16794	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁)
4		eluz2nn 12884	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℕ)
6	5	nnzd 12601	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℤ)
7	1, 2	pcprecl 16793	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁))
8	7	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁)
9	7	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
10	5, 9	nnexpcld 14225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℕ)
11	10	nnzd 12601	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℤ)
12	10	nnne0d 12278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ≠ 0)
13		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
14		dvdsval2 16219	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃↑𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑆) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ))
16	8, 15	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑁 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ)
17		dvdscmul 16245	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑆) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑆)) → ((𝑃↑𝑆) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑𝑆) · (𝑁 / (𝑃↑𝑆)))))
18	6, 16, 11, 17	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑆)) → ((𝑃↑𝑆) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑𝑆) · (𝑁 / (𝑃↑𝑆)))))
19	5	nncnd 12244	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
20	19, 9	expp1d 14129	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 1)) = ((𝑃↑𝑆) · 𝑃))
21	20	eqcomd 2733	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑆) · 𝑃) = (𝑃↑(𝑆 + 1)))
22		zcn 12579	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
23	22	ad2antrl 727	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
24	10	nncnd 12244	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℂ)
25	23, 24, 12	divcan2d 12008	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑆) · (𝑁 / (𝑃↑𝑆))) = 𝑁)
26	21, 25	breq12d 5155	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑃↑𝑆) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑𝑆) · (𝑁 / (𝑃↑𝑆))) ↔ (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁))
27	18, 26	sylibd 238	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑆)) → (𝑃↑(𝑆 + 1)) ∥ 𝑁))
28	3, 27	mtod 197	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑆)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  {crab 3427   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  supcsup 9449  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   < clt 11264   / cdiv 11887  ℕcn 12228  2c2 12283  ℕ₀cn0 12488  ℤcz 12574  ℤ_≥cuz 12838  ↑cexp 14044   ∥ cdvds 16216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-dvds 16217

This theorem is referenced by:  pcpremul  16797  pczndvds2  16821