MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdsdiag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumdvdsdiag 27242
Description: A "diagonal commutation" of divisor sums analogous to fsum0diag 15810. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumdvdsdiag.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
fsumdvdsdiag.2 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsdiag (𝜑 → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐴)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝑁   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem fsumdvdsdiag
StepHypRef Expression
1 fzfid 14011 . . 3 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2 fsumdvdsdiag.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 dvdsssfz1 16352 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁))
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁))
51, 4ssfid 9299 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∈ Fin)
6 fzfid 14011 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (1...(𝑁 / 𝑗)) ∈ Fin)
7 ssrab2 4090 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ ℕ
8 dvdsdivcl 16350 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
92, 8sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
107, 9sselid 3993 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑗) ∈ ℕ)
11 dvdsssfz1 16352 . . . 4 ((𝑁 / 𝑗) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑗)))
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑗)))
136, 12ssfid 9299 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)} ∈ Fin)
142fsumdvdsdiaglem 27241 . . 3 (𝜑 → ((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)}) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})))
152fsumdvdsdiaglem 27241 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})))
1614, 15impbid 212 . 2 (𝜑 → ((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)}) ↔ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})))
17 fsumdvdsdiag.2 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝐴 ∈ ℂ)
185, 5, 13, 16, 17fsumcom2 15807 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  wss 3963   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154   / cdiv 11918  cn 12264  ...cfz 13544  Σcsu 15719  cdvds 16287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-dvds 16288
This theorem is referenced by:  fsumdvdscom  27243  muinv  27251
  Copyright terms: Public domain W3C validator