Theorem fsumdvdsdiag 27147

Description: A "diagonal commutation" of divisor sums analogous to fsum0diag 15739. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumdvdsdiag.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
fsumdvdsdiag.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumdvdsdiag	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐴)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝑁   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem fsumdvdsdiag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13935	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2		fsumdvdsdiag.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		dvdsssfz1 16287	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁))
5	1, 4	ssfid 9179	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∈ Fin)
6		fzfid 13935	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (1...(𝑁 / 𝑗)) ∈ Fin)
7		ssrab2 4021	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ ℕ
8		dvdsdivcl 16285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
9	2, 8	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
10	7, 9	sselid 3920	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑗) ∈ ℕ)
11		dvdsssfz1 16287	. . . 4 ⊢ ((𝑁 / 𝑗) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑗)))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑗)))
13	6, 12	ssfid 9179	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)} ∈ Fin)
14	2	fsumdvdsdiaglem 27146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)}) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})))
15	2	fsumdvdsdiaglem 27146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})))
16	14, 15	impbid 212	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)}) ↔ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})))
17		fsumdvdsdiag.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝐴 ∈ ℂ)
18	5, 5, 13, 16, 17	fsumcom2 15736	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  1c1 11039   / cdiv 11807  ℕcn 12174  ...cfz 13461  Σcsu 15648   ∥ cdvds 16221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-dvds 16222

This theorem is referenced by:  fsumdvdscom  27148  muinv  27156