MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nndivdvds 15595
Description: Strong form of dvdsval2 15589 for positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
nndivdvds ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nndivdvds
StepHypRef Expression
1 nnz 11982 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
2 nnne0 11649 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
3 nnz 11982 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
43adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
5 dvdsval2 15589 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
61, 2, 4, 5syl2an23an 1420 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
76anbi1d 632 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵𝐴 ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)) ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
8 nnre 11622 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
98adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 nnre 11622 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
1110adantl 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
12 nngt0 11646 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
1312adantr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
14 nngt0 11646 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
1514adantl 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
169, 11, 13, 15divgt0d 11552 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
1716biantrud 535 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
18 elnnz 11969 . . 3 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)))
1918a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
207, 17, 193bitr4d 314 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2115  wne 3007   class class class wbr 5039  (class class class)co 7130  cr 10513  0cc0 10514   < clt 10652   / cdiv 11274  cn 11615  cz 11959  cdvds 15586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-z 11960  df-dvds 15587
This theorem is referenced by:  nndivides  15596  dvdsdivcl  15645  divgcdnn  15840  lcmgcdlem  15927  isprm6  16035  divnumden  16065  hashgcdlem  16102  hashgcdeq  16103  oddprmdvds  16216  gexexlem  18950  ablfac1lem  19168  pgpfac1lem3a  19176  fincygsubgodexd  19213  znrrg  20687  dvdsflf1o  25750  mersenne  25789  perfectlem1  25791  perfect  25793  dchrvmasumlem1  26057  dchrisum0flblem2  26071  logsqvma  26104  oddpwdc  31619  nndivdvdsd  39154  lcmineqlem4  39186  lcmineqlem23  39205  dffltz  39410  jm2.20nn  39733  jm2.27c  39743  fouriersw  42664  proththdlem  43923  perfectALTVlem1  44031  perfectALTV  44033
  Copyright terms: Public domain W3C validator