Theorem nndivdvds 16300

Description: Strong form of dvdsval2 16294 for positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nndivdvds	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nndivdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12636	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
2		nnne0 12301	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
3		nnz 12636	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		dvdsval2 16294	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
6	1, 2, 4, 5	syl2an23an 1424	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
7	6	anbi1d 631	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 ∥ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)) ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
8		nnre 12274	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		nnre 12274	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		nngt0 12298	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
14		nngt0 12298	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
16	9, 11, 13, 15	divgt0d 12204	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
17	16	biantrud 531	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐵 ∥ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
18		elnnz 12625	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)))
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
20	7, 17, 19	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  0cc0 11156   < clt 11296   / cdiv 11921  ℕcn 12267  ℤcz 12615   ∥ cdvds 16291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-z 12616  df-dvds 16292

This theorem is referenced by:  nndivides  16301  dvdsdivcl  16354  divgcdnn  16553  lcmgcdlem  16644  isprm6  16752  divnumden  16786  hashgcdlem  16826  hashgcdeq  16828  oddprmdvds  16942  gexexlem  19871  ablfac1lem  20089  pgpfac1lem3a  20097  fincygsubgodexd  20134  znrrg  21585  dvdsflf1o  27231  mersenne  27272  perfectlem1  27274  perfect  27276  dchrvmasumlem1  27540  dchrisum0flblem2  27554  logsqvma  27587  oddpwdc  34357  nndivdvdsd  42001  lcmineqlem4  42034  lcmineqlem23  42053  aks6d1c1p3  42112  aks6d1c2p1  42120  aks6d1c2p2  42121  unitscyglem4  42200  dffltz  42649  jm2.20nn  43014  jm2.27c  43024  fouriersw  46251  proththdlem  47605  perfectALTVlem1  47713  perfectALTV  47715