Theorem nndivdvds 16322

Description: Strong form of dvdsval2 16316 for positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nndivdvds	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nndivdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12615	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
2		nnne0 12273	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
3		nnz 12615	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		dvdsval2 16316	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
6	1, 2, 4, 5	syl2an23an 1448	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
7	6	anbi1d 642	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 ∥ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)) ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
8		nnre 12243	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		nnre 12243	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		nngt0 12270	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
13	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
14		nngt0 12270	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
15	14	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
16	9, 11, 13, 15	divgt0d 12153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
17	16	biantrud 540	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐵 ∥ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
18		elnnz 12604	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)))
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
20	7, 17, 19	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965   class class class wbr 5114  (class class class)co 7414  ℝcr 11102  0cc0 11103   < clt 11246   / cdiv 11874  ℕcn 12236  ℤcz 12594   ∥ cdvds 16313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11875  df-nn 12237  df-z 12595  df-dvds 16314

This theorem is referenced by:  nndivides  16323  dvdsdivcl  16377  divgcdnn  16576  lcmgcdlem  16667  isprm6  16776  divnumden  16810  hashgcdlem  16850  hashgcdeq  16852  oddprmdvds  16966  gexexlem  19925  ablfac1lem  20143  pgpfac1lem3a  20151  fincygsubgodexd  20188  znrrg  21698  dvdsflf1o  27331  mersenne  27371  perfectlem1  27373  perfect  27375  dchrvmasumlem1  27639  dchrisum0flblem2  27653  logsqvma  27686  oddpwdc  34714  nndivdvdsd  42716  lcmineqlem4  42749  lcmineqlem23  42768  aks6d1c1p3  42827  aks6d1c2p1  42835  aks6d1c2p2  42836  unitscyglem4  42915  dffltz  43318  jm2.20nn  43676  jm2.27c  43686  fouriersw  46897  proththdlem  48314  perfectALTVlem1  48435  perfectALTV  48437