Theorem nndivdvds 16286

Description: Strong form of dvdsval2 16280 for positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nndivdvds	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nndivdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12614	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
2		nnne0 12279	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
3		nnz 12614	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		dvdsval2 16280	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
6	1, 2, 4, 5	syl2an23an 1425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
7	6	anbi1d 631	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 ∥ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)) ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
8		nnre 12252	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		nnre 12252	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
12		nngt0 12276	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
14		nngt0 12276	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
16	9, 11, 13, 15	divgt0d 12182	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
17	16	biantrud 531	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐵 ∥ 𝐴 ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
18		elnnz 12603	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)))
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
20	7, 17, 19	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134   < clt 11274   / cdiv 11899  ℕcn 12245  ℤcz 12593   ∥ cdvds 16277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-z 12594  df-dvds 16278

This theorem is referenced by:  nndivides  16287  dvdsdivcl  16340  divgcdnn  16539  lcmgcdlem  16630  isprm6  16738  divnumden  16772  hashgcdlem  16812  hashgcdeq  16814  oddprmdvds  16928  gexexlem  19838  ablfac1lem  20056  pgpfac1lem3a  20064  fincygsubgodexd  20101  znrrg  21531  dvdsflf1o  27154  mersenne  27195  perfectlem1  27197  perfect  27199  dchrvmasumlem1  27463  dchrisum0flblem2  27477  logsqvma  27510  oddpwdc  34391  nndivdvdsd  42017  lcmineqlem4  42050  lcmineqlem23  42069  aks6d1c1p3  42128  aks6d1c2p1  42136  aks6d1c2p2  42137  unitscyglem4  42216  dffltz  42624  jm2.20nn  42988  jm2.27c  42998  fouriersw  46227  proththdlem  47594  perfectALTVlem1  47702  perfectALTV  47704