Theorem fsumdvdsdiaglem 27161

Description: A "diagonal commutation" of divisor sums analogous to fsum0diag 15712. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsumdvdsdiag.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fsumdvdsdiaglem	⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)}) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝑁   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem fsumdvdsdiaglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5103	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑘 ∥ 𝑁))
2		elrabi 3644	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)} → 𝑘 ∈ ℕ)
3	2	ad2antll 730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑘 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12526	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑘 ∈ ℤ)
5		fsumdvdsdiag.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑁 ∈ ℕ)
7		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
8		dvdsdivcl 16255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
9	6, 7, 8	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑁 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
10		elrabi 3644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → (𝑁 / 𝑗) ∈ ℕ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑁 / 𝑗) ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12526	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑁 / 𝑗) ∈ ℤ)
13	6	nnzd 12526	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑁 ∈ ℤ)
14		breq1 5103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗) ↔ 𝑘 ∥ (𝑁 / 𝑗)))
15	14	elrab 3648	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)} ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∥ (𝑁 / 𝑗)))
16	15	simprbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)} → 𝑘 ∥ (𝑁 / 𝑗))
17	16	ad2antll 730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑘 ∥ (𝑁 / 𝑗))
18		breq1 5103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑁 / 𝑗) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑗) ∥ 𝑁))
19	18	elrab 3648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↔ ((𝑁 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝑗) ∥ 𝑁))
20	19	simprbi 497	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → (𝑁 / 𝑗) ∥ 𝑁)
21	9, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑁 / 𝑗) ∥ 𝑁)
22	4, 12, 13, 17, 21	dvdstrd 16234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑘 ∥ 𝑁)
23	1, 3, 22	elrabd 3650	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
24		breq1 5103	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘) ↔ 𝑗 ∥ (𝑁 / 𝑘)))
25		elrabi 3644	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → 𝑗 ∈ ℕ)
26	25	ad2antrl 729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑗 ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12526	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑗 ∈ ℤ)
28	26	nnne0d 12207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑗 ≠ 0)
29		dvdsmulcr 16224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑗) ∈ ℤ ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ≠ 0)) → ((𝑘 · 𝑗) ∥ ((𝑁 / 𝑗) · 𝑗) ↔ 𝑘 ∥ (𝑁 / 𝑗)))
30	4, 12, 27, 28, 29	syl112anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → ((𝑘 · 𝑗) ∥ ((𝑁 / 𝑗) · 𝑗) ↔ 𝑘 ∥ (𝑁 / 𝑗)))
31	17, 30	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑘 · 𝑗) ∥ ((𝑁 / 𝑗) · 𝑗))
32	6	nncnd 12173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑁 ∈ ℂ)
33	26	nncnd 12173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑗 ∈ ℂ)
34	32, 33, 28	divcan1d 11930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → ((𝑁 / 𝑗) · 𝑗) = 𝑁)
35	3	nncnd 12173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑘 ∈ ℂ)
36	3	nnne0d 12207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑘 ≠ 0)
37	32, 35, 36	divcan2d 11931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑘 · (𝑁 / 𝑘)) = 𝑁)
38	34, 37	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → ((𝑁 / 𝑗) · 𝑗) = (𝑘 · (𝑁 / 𝑘)))
39	31, 38	breqtrd 5126	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑘 · 𝑗) ∥ (𝑘 · (𝑁 / 𝑘)))
40		ssrab2 4034	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ ℕ
41		dvdsdivcl 16255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
42	6, 23, 41	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑁 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
43	40, 42	sselid 3933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ)
44	43	nnzd 12526	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑁 / 𝑘) ∈ ℤ)
45		dvdscmulr 16223	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0)) → ((𝑘 · 𝑗) ∥ (𝑘 · (𝑁 / 𝑘)) ↔ 𝑗 ∥ (𝑁 / 𝑘)))
46	27, 44, 4, 36, 45	syl112anc 1377	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → ((𝑘 · 𝑗) ∥ (𝑘 · (𝑁 / 𝑘)) ↔ 𝑗 ∥ (𝑁 / 𝑘)))
47	39, 46	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑗 ∥ (𝑁 / 𝑘))
48	24, 26, 47	elrabd 3650	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})
49	23, 48	jca 511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}))
50	49	ex 412	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)}) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3401   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  0cc0 11038   · cmul 11043   / cdiv 11806  ℕcn 12157  ℤcz 12500   ∥ cdvds 16191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-dvds 16192

This theorem is referenced by:  fsumdvdsdiag  27162  fsumdvdscom  27163