Theorem fsumdvdsdiaglem 27121

Description: A "diagonal commutation" of divisor sums analogous to fsum0diag 15686. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsumdvdsdiag.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fsumdvdsdiaglem	⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)}) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝑁   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem fsumdvdsdiaglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5096	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑘 ∥ 𝑁))
2		elrabi 3639	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)} → 𝑘 ∈ ℕ)
3	2	ad2antll 729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑘 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12501	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑘 ∈ ℤ)
5		fsumdvdsdiag.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑁 ∈ ℕ)
7		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
8		dvdsdivcl 16229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑁 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
10		elrabi 3639	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → (𝑁 / 𝑗) ∈ ℕ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑁 / 𝑗) ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12501	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑁 / 𝑗) ∈ ℤ)
13	6	nnzd 12501	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑁 ∈ ℤ)
14		breq1 5096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗) ↔ 𝑘 ∥ (𝑁 / 𝑗)))
15	14	elrab 3643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)} ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∥ (𝑁 / 𝑗)))
16	15	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)} → 𝑘 ∥ (𝑁 / 𝑗))
17	16	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑘 ∥ (𝑁 / 𝑗))
18		breq1 5096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑁 / 𝑗) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑗) ∥ 𝑁))
19	18	elrab 3643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↔ ((𝑁 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝑗) ∥ 𝑁))
20	19	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → (𝑁 / 𝑗) ∥ 𝑁)
21	9, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑁 / 𝑗) ∥ 𝑁)
22	4, 12, 13, 17, 21	dvdstrd 16208	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑘 ∥ 𝑁)
23	1, 3, 22	elrabd 3645	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
24		breq1 5096	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘) ↔ 𝑗 ∥ (𝑁 / 𝑘)))
25		elrabi 3639	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → 𝑗 ∈ ℕ)
26	25	ad2antrl 728	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑗 ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑗 ∈ ℤ)
28	26	nnne0d 12182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑗 ≠ 0)
29		dvdsmulcr 16198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑗) ∈ ℤ ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ≠ 0)) → ((𝑘 · 𝑗) ∥ ((𝑁 / 𝑗) · 𝑗) ↔ 𝑘 ∥ (𝑁 / 𝑗)))
30	4, 12, 27, 28, 29	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → ((𝑘 · 𝑗) ∥ ((𝑁 / 𝑗) · 𝑗) ↔ 𝑘 ∥ (𝑁 / 𝑗)))
31	17, 30	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑘 · 𝑗) ∥ ((𝑁 / 𝑗) · 𝑗))
32	6	nncnd 12148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑁 ∈ ℂ)
33	26	nncnd 12148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑗 ∈ ℂ)
34	32, 33, 28	divcan1d 11905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → ((𝑁 / 𝑗) · 𝑗) = 𝑁)
35	3	nncnd 12148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑘 ∈ ℂ)
36	3	nnne0d 12182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑘 ≠ 0)
37	32, 35, 36	divcan2d 11906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑘 · (𝑁 / 𝑘)) = 𝑁)
38	34, 37	eqtr4d 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → ((𝑁 / 𝑗) · 𝑗) = (𝑘 · (𝑁 / 𝑘)))
39	31, 38	breqtrd 5119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑘 · 𝑗) ∥ (𝑘 · (𝑁 / 𝑘)))
40		ssrab2 4029	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ ℕ
41		dvdsdivcl 16229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
42	6, 23, 41	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑁 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
43	40, 42	sselid 3928	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ)
44	43	nnzd 12501	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑁 / 𝑘) ∈ ℤ)
45		dvdscmulr 16197	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0)) → ((𝑘 · 𝑗) ∥ (𝑘 · (𝑁 / 𝑘)) ↔ 𝑗 ∥ (𝑁 / 𝑘)))
46	27, 44, 4, 36, 45	syl112anc 1376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → ((𝑘 · 𝑗) ∥ (𝑘 · (𝑁 / 𝑘)) ↔ 𝑗 ∥ (𝑁 / 𝑘)))
47	39, 46	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑗 ∥ (𝑁 / 𝑘))
48	24, 26, 47	elrabd 3645	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})
49	23, 48	jca 511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}))
50	49	ex 412	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)}) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  {crab 3396   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  0cc0 11013   · cmul 11018   / cdiv 11781  ℕcn 12132  ℤcz 12475   ∥ cdvds 16165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-dvds 16166

This theorem is referenced by:  fsumdvdsdiag  27122  fsumdvdscom  27123