Theorem fsumdvdsdiaglem 27241

Description: A "diagonal commutation" of divisor sums analogous to fsum0diag 15810. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsumdvdsdiag.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fsumdvdsdiaglem	⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)}) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝑁   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem fsumdvdsdiaglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5151	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑘 ∥ 𝑁))
2		elrabi 3690	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)} → 𝑘 ∈ ℕ)
3	2	ad2antll 729	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑘 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12638	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑘 ∈ ℤ)
5		fsumdvdsdiag.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑁 ∈ ℕ)
7		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
8		dvdsdivcl 16350	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑁 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
10		elrabi 3690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → (𝑁 / 𝑗) ∈ ℕ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑁 / 𝑗) ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12638	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑁 / 𝑗) ∈ ℤ)
13	6	nnzd 12638	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑁 ∈ ℤ)
14		breq1 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗) ↔ 𝑘 ∥ (𝑁 / 𝑗)))
15	14	elrab 3695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)} ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∥ (𝑁 / 𝑗)))
16	15	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)} → 𝑘 ∥ (𝑁 / 𝑗))
17	16	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑘 ∥ (𝑁 / 𝑗))
18		breq1 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑁 / 𝑗) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑗) ∥ 𝑁))
19	18	elrab 3695	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↔ ((𝑁 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 𝑗) ∥ 𝑁))
20	19	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 𝑗) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → (𝑁 / 𝑗) ∥ 𝑁)
21	9, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑁 / 𝑗) ∥ 𝑁)
22	4, 12, 13, 17, 21	dvdstrd 16329	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑘 ∥ 𝑁)
23	1, 3, 22	elrabd 3697	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
24		breq1 5151	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘) ↔ 𝑗 ∥ (𝑁 / 𝑘)))
25		elrabi 3690	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → 𝑗 ∈ ℕ)
26	25	ad2antrl 728	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑗 ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12638	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑗 ∈ ℤ)
28	26	nnne0d 12314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑗 ≠ 0)
29		dvdsmulcr 16320	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑗) ∈ ℤ ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ≠ 0)) → ((𝑘 · 𝑗) ∥ ((𝑁 / 𝑗) · 𝑗) ↔ 𝑘 ∥ (𝑁 / 𝑗)))
30	4, 12, 27, 28, 29	syl112anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → ((𝑘 · 𝑗) ∥ ((𝑁 / 𝑗) · 𝑗) ↔ 𝑘 ∥ (𝑁 / 𝑗)))
31	17, 30	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑘 · 𝑗) ∥ ((𝑁 / 𝑗) · 𝑗))
32	6	nncnd 12280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑁 ∈ ℂ)
33	26	nncnd 12280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑗 ∈ ℂ)
34	32, 33, 28	divcan1d 12042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → ((𝑁 / 𝑗) · 𝑗) = 𝑁)
35	3	nncnd 12280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑘 ∈ ℂ)
36	3	nnne0d 12314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑘 ≠ 0)
37	32, 35, 36	divcan2d 12043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑘 · (𝑁 / 𝑘)) = 𝑁)
38	34, 37	eqtr4d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → ((𝑁 / 𝑗) · 𝑗) = (𝑘 · (𝑁 / 𝑘)))
39	31, 38	breqtrd 5174	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑘 · 𝑗) ∥ (𝑘 · (𝑁 / 𝑘)))
40		ssrab2 4090	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ ℕ
41		dvdsdivcl 16350	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
42	6, 23, 41	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑁 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
43	40, 42	sselid 3993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ)
44	43	nnzd 12638	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑁 / 𝑘) ∈ ℤ)
45		dvdscmulr 16319	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≠ 0)) → ((𝑘 · 𝑗) ∥ (𝑘 · (𝑁 / 𝑘)) ↔ 𝑗 ∥ (𝑁 / 𝑘)))
46	27, 44, 4, 36, 45	syl112anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → ((𝑘 · 𝑗) ∥ (𝑘 · (𝑁 / 𝑘)) ↔ 𝑗 ∥ (𝑁 / 𝑘)))
47	39, 46	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑗 ∥ (𝑁 / 𝑘))
48	24, 26, 47	elrabd 3697	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})
49	23, 48	jca 511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)})) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}))
50	49	ex 412	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑗)}) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  {crab 3433   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  0cc0 11153   · cmul 11158   / cdiv 11918  ℕcn 12264  ℤcz 12611   ∥ cdvds 16287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-dvds 16288

This theorem is referenced by:  fsumdvdsdiag  27242  fsumdvdscom  27243