MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdsdiaglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumdvdsdiaglem 26535
Description: A "diagonal commutation" of divisor sums analogous to fsum0diag 15663. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
fsumdvdsdiag.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsdiaglem (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)}) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)})))
Distinct variable groups:   ๐‘—,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘   ๐œ‘,๐‘—,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐œ‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem fsumdvdsdiaglem
StepHypRef Expression
1 breq1 5109 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘˜ โˆฅ ๐‘))
2 elrabi 3640 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)} โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
32ad2antll 728 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
43nnzd 12527 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
5 fsumdvdsdiag.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
65adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
7 simprl 770 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
8 dvdsdivcl 16199 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (๐‘ / ๐‘—) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
96, 7, 8syl2anc 585 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘ / ๐‘—) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
10 elrabi 3640 . . . . . . 7 ((๐‘ / ๐‘—) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โ†’ (๐‘ / ๐‘—) โˆˆ โ„•)
119, 10syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘ / ๐‘—) โˆˆ โ„•)
1211nnzd 12527 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘ / ๐‘—) โˆˆ โ„ค)
136nnzd 12527 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
14 breq1 5109 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—) โ†” ๐‘˜ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)))
1514elrab 3646 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)} โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)))
1615simprbi 498 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)} โ†’ ๐‘˜ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—))
1716ad2antll 728 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘˜ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—))
18 breq1 5109 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ / ๐‘—) โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘—) โˆฅ ๐‘))
1918elrab 3646 . . . . . . 7 ((๐‘ / ๐‘—) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โ†” ((๐‘ / ๐‘—) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ / ๐‘—) โˆฅ ๐‘))
2019simprbi 498 . . . . . 6 ((๐‘ / ๐‘—) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โ†’ (๐‘ / ๐‘—) โˆฅ ๐‘)
219, 20syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘ / ๐‘—) โˆฅ ๐‘)
224, 12, 13, 17, 21dvdstrd 16178 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘)
231, 3, 22elrabd 3648 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
24 breq1 5109 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜) โ†” ๐‘— โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)))
25 elrabi 3640 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
2625ad2antrl 727 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
2726nnzd 12527 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
2826nnne0d 12204 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘— โ‰  0)
29 dvdsmulcr 16169 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / ๐‘—) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘— โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โ‰  0)) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘—) โˆฅ ((๐‘ / ๐‘—) ยท ๐‘—) โ†” ๐‘˜ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)))
304, 12, 27, 28, 29syl112anc 1375 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘—) โˆฅ ((๐‘ / ๐‘—) ยท ๐‘—) โ†” ๐‘˜ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)))
3117, 30mpbird 257 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘—) โˆฅ ((๐‘ / ๐‘—) ยท ๐‘—))
326nncnd 12170 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3326nncnd 12170 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
3432, 33, 28divcan1d 11933 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ((๐‘ / ๐‘—) ยท ๐‘—) = ๐‘)
353nncnd 12170 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
363nnne0d 12204 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
3732, 35, 36divcan2d 11934 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘˜ ยท (๐‘ / ๐‘˜)) = ๐‘)
3834, 37eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ((๐‘ / ๐‘—) ยท ๐‘—) = (๐‘˜ ยท (๐‘ / ๐‘˜)))
3931, 38breqtrd 5132 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘—) โˆฅ (๐‘˜ ยท (๐‘ / ๐‘˜)))
40 ssrab2 4038 . . . . . . . 8 {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โŠ† โ„•
41 dvdsdivcl 16199 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (๐‘ / ๐‘˜) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
426, 23, 41syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘ / ๐‘˜) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
4340, 42sselid 3943 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘ / ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
4443nnzd 12527 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘ / ๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
45 dvdscmulr 16168 . . . . . 6 ((๐‘— โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / ๐‘˜) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘—) โˆฅ (๐‘˜ ยท (๐‘ / ๐‘˜)) โ†” ๐‘— โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)))
4627, 44, 4, 36, 45syl112anc 1375 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘—) โˆฅ (๐‘˜ ยท (๐‘ / ๐‘˜)) โ†” ๐‘— โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)))
4739, 46mpbid 231 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘— โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜))
4824, 26, 47elrabd 3648 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)})
4923, 48jca 513 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}))
5049ex 414 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)}) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  {crab 3408   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  0cc0 11052   ยท cmul 11057   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  โ„คcz 12500   โˆฅ cdvds 16137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-dvds 16138
This theorem is referenced by:  fsumdvdsdiag  26536  fsumdvdscom  26537
  Copyright terms: Public domain W3C validator