MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdsdiaglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumdvdsdiaglem 27031
Description: A "diagonal commutation" of divisor sums analogous to fsum0diag 15720. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
fsumdvdsdiag.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsdiaglem (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)}) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)})))
Distinct variable groups:   ๐‘—,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘   ๐œ‘,๐‘—,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐œ‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem fsumdvdsdiaglem
StepHypRef Expression
1 breq1 5141 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘˜ โˆฅ ๐‘))
2 elrabi 3669 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)} โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
32ad2antll 726 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
43nnzd 12582 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
5 fsumdvdsdiag.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
65adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
7 simprl 768 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
8 dvdsdivcl 16256 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (๐‘ / ๐‘—) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
96, 7, 8syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘ / ๐‘—) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
10 elrabi 3669 . . . . . . 7 ((๐‘ / ๐‘—) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โ†’ (๐‘ / ๐‘—) โˆˆ โ„•)
119, 10syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘ / ๐‘—) โˆˆ โ„•)
1211nnzd 12582 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘ / ๐‘—) โˆˆ โ„ค)
136nnzd 12582 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
14 breq1 5141 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—) โ†” ๐‘˜ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)))
1514elrab 3675 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)} โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)))
1615simprbi 496 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)} โ†’ ๐‘˜ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—))
1716ad2antll 726 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘˜ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—))
18 breq1 5141 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘ / ๐‘—) โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘—) โˆฅ ๐‘))
1918elrab 3675 . . . . . . 7 ((๐‘ / ๐‘—) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โ†” ((๐‘ / ๐‘—) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ / ๐‘—) โˆฅ ๐‘))
2019simprbi 496 . . . . . 6 ((๐‘ / ๐‘—) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โ†’ (๐‘ / ๐‘—) โˆฅ ๐‘)
219, 20syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘ / ๐‘—) โˆฅ ๐‘)
224, 12, 13, 17, 21dvdstrd 16235 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘˜ โˆฅ ๐‘)
231, 3, 22elrabd 3677 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
24 breq1 5141 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜) โ†” ๐‘— โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)))
25 elrabi 3669 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
2625ad2antrl 725 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
2726nnzd 12582 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
2826nnne0d 12259 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘— โ‰  0)
29 dvdsmulcr 16226 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / ๐‘—) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘— โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โ‰  0)) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘—) โˆฅ ((๐‘ / ๐‘—) ยท ๐‘—) โ†” ๐‘˜ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)))
304, 12, 27, 28, 29syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘—) โˆฅ ((๐‘ / ๐‘—) ยท ๐‘—) โ†” ๐‘˜ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)))
3117, 30mpbird 257 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘—) โˆฅ ((๐‘ / ๐‘—) ยท ๐‘—))
326nncnd 12225 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3326nncnd 12225 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
3432, 33, 28divcan1d 11988 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ((๐‘ / ๐‘—) ยท ๐‘—) = ๐‘)
353nncnd 12225 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
363nnne0d 12259 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
3732, 35, 36divcan2d 11989 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘˜ ยท (๐‘ / ๐‘˜)) = ๐‘)
3834, 37eqtr4d 2767 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ((๐‘ / ๐‘—) ยท ๐‘—) = (๐‘˜ ยท (๐‘ / ๐‘˜)))
3931, 38breqtrd 5164 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘—) โˆฅ (๐‘˜ ยท (๐‘ / ๐‘˜)))
40 ssrab2 4069 . . . . . . . 8 {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โІ โ„•
41 dvdsdivcl 16256 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (๐‘ / ๐‘˜) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
426, 23, 41syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘ / ๐‘˜) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
4340, 42sselid 3972 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘ / ๐‘˜) โˆˆ โ„•)
4443nnzd 12582 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘ / ๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
45 dvdscmulr 16225 . . . . . 6 ((๐‘— โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / ๐‘˜) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘—) โˆฅ (๐‘˜ ยท (๐‘ / ๐‘˜)) โ†” ๐‘— โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)))
4627, 44, 4, 36, 45syl112anc 1371 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘—) โˆฅ (๐‘˜ ยท (๐‘ / ๐‘˜)) โ†” ๐‘— โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)))
4739, 46mpbid 231 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘— โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜))
4824, 26, 47elrabd 3677 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ ๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)})
4923, 48jca 511 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)})) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)}))
5049ex 412 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘—)}) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘— โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘˜)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  {crab 3424   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  0cc0 11106   ยท cmul 11111   / cdiv 11868  โ„•cn 12209  โ„คcz 12555   โˆฅ cdvds 16194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-dvds 16195
This theorem is referenced by:  fsumdvdsdiag  27032  fsumdvdscom  27033
  Copyright terms: Public domain W3C validator