MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logsqvma Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logsqvma 26906
Description: A formula for logโ†‘2(๐‘) in terms of the primes. Equation 10.4.6 of [Shapiro], p. 418. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logsqvma (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} (ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘} ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘‘ / ๐‘ข))) + ((ฮ›โ€˜๐‘‘) ยท (logโ€˜๐‘‘))) = ((logโ€˜๐‘)โ†‘2))
Distinct variable group:   ๐‘ข,๐‘‘,๐‘ฅ,๐‘

Proof of Theorem logsqvma
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13885 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
2 dvdsssfz1 16207 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โŠ† (1...๐‘))
31, 2ssfid 9218 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆˆ Fin)
4 fzfid 13885 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (1...๐‘‘) โˆˆ Fin)
5 elrabi 3644 . . . . . . 7 (๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•)
65adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•)
7 dvdsssfz1 16207 . . . . . 6 (๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘} โŠ† (1...๐‘‘))
86, 7syl 17 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘} โŠ† (1...๐‘‘))
94, 8ssfid 9218 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘} โˆˆ Fin)
10 elrabi 3644 . . . . . . . . 9 (๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘} โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„•)
1110ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘})) โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„•)
12 vmacl 26483 . . . . . . . 8 (๐‘ข โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘ข) โˆˆ โ„)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘})) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘ข) โˆˆ โ„)
14 breq1 5113 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ข โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘ โ†” ๐‘ข โˆฅ ๐‘‘))
1514elrab 3650 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘} โ†” (๐‘ข โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆฅ ๐‘‘))
1615simprbi 498 . . . . . . . . . 10 (๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘} โ†’ ๐‘ข โˆฅ ๐‘‘)
1716ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘})) โ†’ ๐‘ข โˆฅ ๐‘‘)
185ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘})) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•)
19 nndivdvds 16152 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ข โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘‘ / ๐‘ข) โˆˆ โ„•))
2018, 11, 19syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘})) โ†’ (๐‘ข โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘‘ / ๐‘ข) โˆˆ โ„•))
2117, 20mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘})) โ†’ (๐‘‘ / ๐‘ข) โˆˆ โ„•)
22 vmacl 26483 . . . . . . . 8 ((๐‘‘ / ๐‘ข) โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘‘ / ๐‘ข)) โˆˆ โ„)
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘})) โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘‘ / ๐‘ข)) โˆˆ โ„)
2413, 23remulcld 11192 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘})) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘‘ / ๐‘ข))) โˆˆ โ„)
2524recnd 11190 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘})) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘‘ / ๐‘ข))) โˆˆ โ„‚)
2625anassrs 469 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘}) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘‘ / ๐‘ข))) โˆˆ โ„‚)
279, 26fsumcl 15625 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘} ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘‘ / ๐‘ข))) โˆˆ โ„‚)
28 vmacl 26483 . . . . . 6 (๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„)
296, 28syl 17 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„)
306nnrpd 12962 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„+)
3130relogcld 25994 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (logโ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„)
3229, 31remulcld 11192 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘‘) ยท (logโ€˜๐‘‘)) โˆˆ โ„)
3332recnd 11190 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘‘) ยท (logโ€˜๐‘‘)) โˆˆ โ„‚)
343, 27, 33fsumadd 15632 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} (ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘} ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘‘ / ๐‘ข))) + ((ฮ›โ€˜๐‘‘) ยท (logโ€˜๐‘‘))) = (ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘} ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘‘ / ๐‘ข))) + ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} ((ฮ›โ€˜๐‘‘) ยท (logโ€˜๐‘‘))))
35 id 22 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
36 fvoveq1 7385 . . . . . 6 (๐‘‘ = (๐‘ข ยท ๐‘˜) โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘‘ / ๐‘ข)) = (ฮ›โ€˜((๐‘ข ยท ๐‘˜) / ๐‘ข)))
3736oveq2d 7378 . . . . 5 (๐‘‘ = (๐‘ข ยท ๐‘˜) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘‘ / ๐‘ข))) = ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘ข ยท ๐‘˜) / ๐‘ข))))
3835, 37, 25fsumdvdscom 26550 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘} ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘‘ / ๐‘ข))) = ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)} ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘ข ยท ๐‘˜) / ๐‘ข))))
39 ssrab2 4042 . . . . . . . . . . . . 13 {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)} โŠ† โ„•
40 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)})
4139, 40sselid 3947 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
4241nncnd 12176 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
43 ssrab2 4042 . . . . . . . . . . . . . 14 {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} โŠ† โ„•
44 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
4543, 44sselid 3947 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„•)
4645nncnd 12176 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„‚)
4746adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)}) โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„‚)
4845nnne0d 12210 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ๐‘ข โ‰  0)
4948adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)}) โ†’ ๐‘ข โ‰  0)
5042, 47, 49divcan3d 11943 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)}) โ†’ ((๐‘ข ยท ๐‘˜) / ๐‘ข) = ๐‘˜)
5150fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)}) โ†’ (ฮ›โ€˜((๐‘ข ยท ๐‘˜) / ๐‘ข)) = (ฮ›โ€˜๐‘˜))
5251sumeq2dv 15595 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)} (ฮ›โ€˜((๐‘ข ยท ๐‘˜) / ๐‘ข)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)} (ฮ›โ€˜๐‘˜))
53 dvdsdivcl 16205 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (๐‘ / ๐‘ข) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘})
5443, 53sselid 3947 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (๐‘ / ๐‘ข) โˆˆ โ„•)
55 vmasum 26580 . . . . . . . . 9 ((๐‘ / ๐‘ข) โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = (logโ€˜(๐‘ / ๐‘ข)))
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)} (ฮ›โ€˜๐‘˜) = (logโ€˜(๐‘ / ๐‘ข)))
57 nnrp 12933 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
5857adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
5945nnrpd 12962 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ๐‘ข โˆˆ โ„+)
6058, 59relogdivd 25997 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (logโ€˜(๐‘ / ๐‘ข)) = ((logโ€˜๐‘) โˆ’ (logโ€˜๐‘ข)))
6152, 56, 603eqtrd 2781 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)} (ฮ›โ€˜((๐‘ข ยท ๐‘˜) / ๐‘ข)) = ((logโ€˜๐‘) โˆ’ (logโ€˜๐‘ข)))
6261oveq2d 7378 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)} (ฮ›โ€˜((๐‘ข ยท ๐‘˜) / ๐‘ข))) = ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท ((logโ€˜๐‘) โˆ’ (logโ€˜๐‘ข))))
63 fzfid 13885 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (1...(๐‘ / ๐‘ข)) โˆˆ Fin)
64 dvdsssfz1 16207 . . . . . . . . 9 ((๐‘ / ๐‘ข) โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)} โŠ† (1...(๐‘ / ๐‘ข)))
6554, 64syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)} โŠ† (1...(๐‘ / ๐‘ข)))
6663, 65ssfid 9218 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)} โˆˆ Fin)
6745, 12syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘ข) โˆˆ โ„)
6867recnd 11190 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘ข) โˆˆ โ„‚)
69 vmacl 26483 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
7041, 69syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)}) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
7170recnd 11190 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)}) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
7251, 71eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โˆง ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)}) โ†’ (ฮ›โ€˜((๐‘ข ยท ๐‘˜) / ๐‘ข)) โˆˆ โ„‚)
7366, 68, 72fsummulc2 15676 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)} (ฮ›โ€˜((๐‘ข ยท ๐‘˜) / ๐‘ข))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)} ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘ข ยท ๐‘˜) / ๐‘ข))))
74 relogcl 25947 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
7574recnd 11190 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
7658, 75syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
7759relogcld 25994 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (logโ€˜๐‘ข) โˆˆ โ„)
7877recnd 11190 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ (logโ€˜๐‘ข) โˆˆ โ„‚)
7968, 76, 78subdid 11618 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท ((logโ€˜๐‘) โˆ’ (logโ€˜๐‘ข))) = (((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘)) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘ข))))
8062, 73, 793eqtr3d 2785 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)} ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘ข ยท ๐‘˜) / ๐‘ข))) = (((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘)) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘ข))))
8180sumeq2dv 15595 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ข)} ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (ฮ›โ€˜((๐‘ข ยท ๐‘˜) / ๐‘ข))) = ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} (((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘)) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘ข))))
8268, 76mulcld 11182 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„‚)
8368, 78mulcld 11182 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘ข)) โˆˆ โ„‚)
843, 82, 83fsumsub 15680 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} (((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘)) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘ข))) = (ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘ข))))
8557, 75syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
8685sqvald 14055 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((logโ€˜๐‘)โ†‘2) = ((logโ€˜๐‘) ยท (logโ€˜๐‘)))
87 vmasum 26580 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} (ฮ›โ€˜๐‘ข) = (logโ€˜๐‘))
8887oveq1d 7377 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} (ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘)) = ((logโ€˜๐‘) ยท (logโ€˜๐‘)))
893, 85, 68fsummulc1 15677 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} (ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘)))
9086, 88, 893eqtr2rd 2784 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘)) = ((logโ€˜๐‘)โ†‘2))
91 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (๐‘ข = ๐‘‘ โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘ข) = (ฮ›โ€˜๐‘‘))
92 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (๐‘ข = ๐‘‘ โ†’ (logโ€˜๐‘ข) = (logโ€˜๐‘‘))
9391, 92oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (๐‘ข = ๐‘‘ โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘ข)) = ((ฮ›โ€˜๐‘‘) ยท (logโ€˜๐‘‘)))
9493cbvsumv 15588 . . . . . . 7 ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘ข)) = ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} ((ฮ›โ€˜๐‘‘) ยท (logโ€˜๐‘‘))
9594a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘ข)) = ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} ((ฮ›โ€˜๐‘‘) ยท (logโ€˜๐‘‘)))
9690, 95oveq12d 7380 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘)) โˆ’ ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘ข))) = (((logโ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} ((ฮ›โ€˜๐‘‘) ยท (logโ€˜๐‘‘))))
9784, 96eqtrd 2777 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} (((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘)) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (logโ€˜๐‘ข))) = (((logโ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} ((ฮ›โ€˜๐‘‘) ยท (logโ€˜๐‘‘))))
9838, 81, 973eqtrd 2781 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘} ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘‘ / ๐‘ข))) = (((logโ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} ((ฮ›โ€˜๐‘‘) ยท (logโ€˜๐‘‘))))
9998oveq1d 7377 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘}ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘} ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘‘ / ๐‘ข))) + ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} ((ฮ›โ€˜๐‘‘) ยท (logโ€˜๐‘‘))) = ((((logโ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} ((ฮ›โ€˜๐‘‘) ยท (logโ€˜๐‘‘))) + ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} ((ฮ›โ€˜๐‘‘) ยท (logโ€˜๐‘‘))))
10085sqcld 14056 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((logโ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1013, 33fsumcl 15625 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} ((ฮ›โ€˜๐‘‘) ยท (logโ€˜๐‘‘)) โˆˆ โ„‚)
102100, 101npcand 11523 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((((logโ€˜๐‘)โ†‘2) โˆ’ ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} ((ฮ›โ€˜๐‘‘) ยท (logโ€˜๐‘‘))) + ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} ((ฮ›โ€˜๐‘‘) ยท (logโ€˜๐‘‘))) = ((logโ€˜๐‘)โ†‘2))
10334, 99, 1023eqtrd 2781 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘‘ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘} (ฮฃ๐‘ข โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆฃ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘‘} ((ฮ›โ€˜๐‘ข) ยท (ฮ›โ€˜(๐‘‘ / ๐‘ข))) + ((ฮ›โ€˜๐‘‘) ยท (logโ€˜๐‘‘))) = ((logโ€˜๐‘)โ†‘2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  {crab 3410   โŠ† wss 3915   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„+crp 12922  ...cfz 13431  โ†‘cexp 13974  ฮฃcsu 15577   โˆฅ cdvds 16143  logclog 25926  ฮ›cvma 26457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-vma 26463
This theorem is referenced by:  logsqvma2  26907
  Copyright terms: Public domain W3C validator