Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logsqvma Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logsqvma 26167
 Description: A formula for log↑2(𝑁) in terms of the primes. Equation 10.4.6 of [Shapiro], p. 418. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logsqvma (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = ((log‘𝑁)↑2))
Distinct variable group:   𝑢,𝑑,𝑥,𝑁

Proof of Theorem logsqvma
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13353 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
2 dvdsssfz1 15677 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁))
31, 2ssfid 8740 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∈ Fin)
4 fzfid 13353 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (1...𝑑) ∈ Fin)
5 elrabi 3623 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} → 𝑑 ∈ ℕ)
65adantl 485 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑑 ∈ ℕ)
7 dvdsssfz1 15677 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ⊆ (1...𝑑))
86, 7syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ⊆ (1...𝑑))
94, 8ssfid 8740 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ∈ Fin)
10 elrabi 3623 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} → 𝑢 ∈ ℕ)
1110ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑})) → 𝑢 ∈ ℕ)
12 vmacl 25744 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ℕ → (Λ‘𝑢) ∈ ℝ)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑})) → (Λ‘𝑢) ∈ ℝ)
14 breq1 5036 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥𝑑𝑢𝑑))
1514elrab 3629 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ↔ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑢𝑑))
1615simprbi 500 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} → 𝑢𝑑)
1716ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑})) → 𝑢𝑑)
185ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑})) → 𝑑 ∈ ℕ)
19 nndivdvds 15625 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (𝑢𝑑 ↔ (𝑑 / 𝑢) ∈ ℕ))
2018, 11, 19syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑})) → (𝑢𝑑 ↔ (𝑑 / 𝑢) ∈ ℕ))
2117, 20mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑})) → (𝑑 / 𝑢) ∈ ℕ)
22 vmacl 25744 . . . . . . . 8 ((𝑑 / 𝑢) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑑 / 𝑢)) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑})) → (Λ‘(𝑑 / 𝑢)) ∈ ℝ)
2413, 23remulcld 10675 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑})) → ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) ∈ ℝ)
2524recnd 10673 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑})) → ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) ∈ ℂ)
2625anassrs 471 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑}) → ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) ∈ ℂ)
279, 26fsumcl 15099 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) ∈ ℂ)
28 vmacl 25744 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℕ → (Λ‘𝑑) ∈ ℝ)
296, 28syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (Λ‘𝑑) ∈ ℝ)
306nnrpd 12434 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑑 ∈ ℝ+)
3130relogcld 25255 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (log‘𝑑) ∈ ℝ)
3229, 31remulcld 10675 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)) ∈ ℝ)
3332recnd 10673 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)) ∈ ℂ)
343, 27, 33fsumadd 15105 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
35 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
36 fvoveq1 7165 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑢 · 𝑘) → (Λ‘(𝑑 / 𝑢)) = (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)))
3736oveq2d 7158 . . . . 5 (𝑑 = (𝑢 · 𝑘) → ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) = ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))))
3835, 37, 25fsumdvdscom 25811 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) = Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))))
39 ssrab2 4008 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ⊆ ℕ
40 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)})
4139, 40sseldi 3914 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
4241nncnd 11656 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑘 ∈ ℂ)
43 ssrab2 4008 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ ℕ
44 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
4543, 44sseldi 3914 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑢 ∈ ℕ)
4645nncnd 11656 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑢 ∈ ℂ)
4746adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑢 ∈ ℂ)
4845nnne0d 11690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑢 ≠ 0)
4948adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑢 ≠ 0)
5042, 47, 49divcan3d 11425 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → ((𝑢 · 𝑘) / 𝑢) = 𝑘)
5150fveq2d 6656 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)) = (Λ‘𝑘))
5251sumeq2dv 15069 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘𝑘))
53 dvdsdivcl 15675 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑢) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁})
5443, 53sseldi 3914 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (𝑁 / 𝑢) ∈ ℕ)
55 vmasum 25841 . . . . . . . . 9 ((𝑁 / 𝑢) ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘𝑘) = (log‘(𝑁 / 𝑢)))
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘𝑘) = (log‘(𝑁 / 𝑢)))
57 nnrp 12405 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
5857adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑁 ∈ ℝ+)
5945nnrpd 12434 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → 𝑢 ∈ ℝ+)
6058, 59relogdivd 25258 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (log‘(𝑁 / 𝑢)) = ((log‘𝑁) − (log‘𝑢)))
6152, 56, 603eqtrd 2837 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)) = ((log‘𝑁) − (log‘𝑢)))
6261oveq2d 7158 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))) = ((Λ‘𝑢) · ((log‘𝑁) − (log‘𝑢))))
63 fzfid 13353 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (1...(𝑁 / 𝑢)) ∈ Fin)
64 dvdsssfz1 15677 . . . . . . . . 9 ((𝑁 / 𝑢) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑢)))
6554, 64syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑢)))
6663, 65ssfid 8740 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ∈ Fin)
6745, 12syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (Λ‘𝑢) ∈ ℝ)
6867recnd 10673 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (Λ‘𝑢) ∈ ℂ)
69 vmacl 25744 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
7041, 69syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
7170recnd 10673 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → (Λ‘𝑘) ∈ ℂ)
7251, 71eqeltrd 2890 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)) ∈ ℂ)
7366, 68, 72fsummulc2 15148 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))))
74 relogcl 25208 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ+ → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
7574recnd 10673 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ+ → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
7658, 75syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
7759relogcld 25255 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (log‘𝑢) ∈ ℝ)
7877recnd 10673 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → (log‘𝑢) ∈ ℂ)
7968, 76, 78subdid 11100 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · ((log‘𝑁) − (log‘𝑢))) = (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))))
8062, 73, 793eqtr3d 2841 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))) = (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))))
8180sumeq2dv 15069 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))) = Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))))
8268, 76mulcld 10665 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
8368, 78mulcld 10665 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢)) ∈ ℂ)
843, 82, 83fsumsub 15152 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))) = (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))))
8557, 75syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
8685sqvald 13520 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘𝑁)↑2) = ((log‘𝑁) · (log‘𝑁)))
87 vmasum 25841 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (Λ‘𝑢) = (log‘𝑁))
8887oveq1d 7157 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) = ((log‘𝑁) · (log‘𝑁)))
893, 85, 68fsummulc1 15149 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) = Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)))
9086, 88, 893eqtr2rd 2840 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) = ((log‘𝑁)↑2))
91 fveq2 6652 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑑 → (Λ‘𝑢) = (Λ‘𝑑))
92 fveq2 6652 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑑 → (log‘𝑢) = (log‘𝑑))
9391, 92oveq12d 7160 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑑 → ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢)) = ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)))
9493cbvsumv 15062 . . . . . . 7 Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))
9594a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)))
9690, 95oveq12d 7160 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))) = (((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
9784, 96eqtrd 2833 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))) = (((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
9838, 81, 973eqtrd 2837 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) = (((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
9998oveq1d 7157 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = ((((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) + Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
10085sqcld 13521 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘𝑁)↑2) ∈ ℂ)
1013, 33fsumcl 15099 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)) ∈ ℂ)
102100, 101npcand 11005 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) + Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = ((log‘𝑁)↑2))
10334, 99, 1023eqtrd 2837 1 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = ((log‘𝑁)↑2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  {crab 3110   ⊆ wss 3882   class class class wbr 5033  ‘cfv 6329  (class class class)co 7142  ℂcc 10539  ℝcr 10540  0cc0 10541  1c1 10542   + caddc 10544   · cmul 10546   − cmin 10874   / cdiv 11301  ℕcn 11640  2c2 11695  ℝ+crp 12394  ...cfz 12902  ↑cexp 13442  Σcsu 15051   ∥ cdvds 15616  logclog 25187  Λcvma 25718 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-inf2 9103  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618  ax-pre-sup 10619  ax-addf 10620  ax-mulf 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-se 5482  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-isom 6338  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-of 7397  df-om 7571  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7824  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-pm 8407  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-div 11302  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11987  df-dec 12104  df-uz 12249  df-q 12354  df-rp 12395  df-xneg 12512  df-xadd 12513  df-xmul 12514  df-ioo 12747  df-ioc 12748  df-ico 12749  df-icc 12750  df-fz 12903  df-fzo 13046  df-fl 13174  df-mod 13250  df-seq 13382  df-exp 13443  df-fac 13647  df-bc 13676  df-hash 13704  df-shft 14435  df-cj 14467  df-re 14468  df-im 14469  df-sqrt 14603  df-abs 14604  df-limsup 14837  df-clim 14854  df-rlim 14855  df-sum 15052  df-ef 15430  df-sin 15432  df-cos 15433  df-pi 15435  df-dvds 15617  df-gcd 15851  df-prm 16023  df-pc 16181  df-struct 16494  df-ndx 16495  df-slot 16496  df-base 16498  df-sets 16499  df-ress 16500  df-plusg 16587  df-mulr 16588  df-starv 16589  df-sca 16590  df-vsca 16591  df-ip 16592  df-tset 16593  df-ple 16594  df-ds 16596  df-unif 16597  df-hom 16598  df-cco 16599  df-rest 16705  df-topn 16706  df-0g 16724  df-gsum 16725  df-topgen 16726  df-pt 16727  df-prds 16730  df-xrs 16784  df-qtop 16789  df-imas 16790  df-xps 16792  df-mre 16866  df-mrc 16867  df-acs 16869  df-mgm 17861  df-sgrp 17910  df-mnd 17921  df-submnd 17966  df-mulg 18235  df-cntz 18457  df-cmn 18918  df-psmet 20101  df-xmet 20102  df-met 20103  df-bl 20104  df-mopn 20105  df-fbas 20106  df-fg 20107  df-cnfld 20110  df-top 21537  df-topon 21554  df-topsp 21576  df-bases 21589  df-cld 21662  df-ntr 21663  df-cls 21664  df-nei 21741  df-lp 21779  df-perf 21780  df-cn 21870  df-cnp 21871  df-haus 21958  df-tx 22205  df-hmeo 22398  df-fil 22489  df-fm 22581  df-flim 22582  df-flf 22583  df-xms 22965  df-ms 22966  df-tms 22967  df-cncf 23521  df-limc 24507  df-dv 24508  df-log 25189  df-vma 25724 This theorem is referenced by:  logsqvma2  26168
 Copyright terms: Public domain W3C validator