Theorem logsqvma 27833

Description: A formula for log↑2(𝑁) in terms of the primes. Equation 10.4.6 of [Shapiro], p. 418. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logsqvma	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = ((log‘𝑁)↑2))

Distinct variable group:   𝑢,𝑑,𝑥,𝑁

Proof of Theorem logsqvma

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsfi 16928	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∈ Fin)
2		fzfid 14085	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (1...𝑑) ∈ Fin)
3		elrabi 3640	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → 𝑑 ∈ ℕ)
4	3	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑑 ∈ ℕ)
5		dvdsssfz1 16456	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ⊆ (1...𝑑))
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ⊆ (1...𝑑))
7	2, 6	ssfid 9238	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ∈ Fin)
8		elrabi 3640	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} → 𝑢 ∈ ℕ)
9	8	ad2antll 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → 𝑢 ∈ ℕ)
10		vmacl 27409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℕ → (Λ‘𝑢) ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → (Λ‘𝑢) ∈ ℝ)
12		breq1 5105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 ∥ 𝑑 ↔ 𝑢 ∥ 𝑑))
13	12	elrab 3644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ↔ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∥ 𝑑))
14	13	simprbi 503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} → 𝑢 ∥ 𝑑)
15	14	ad2antll 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → 𝑢 ∥ 𝑑)
16	3	ad2antrl 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → 𝑑 ∈ ℕ)
17		nndivdvds 16399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (𝑢 ∥ 𝑑 ↔ (𝑑 / 𝑢) ∈ ℕ))
18	16, 9, 17	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → (𝑢 ∥ 𝑑 ↔ (𝑑 / 𝑢) ∈ ℕ))
19	15, 18	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → (𝑑 / 𝑢) ∈ ℕ)
20		vmacl 27409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 / 𝑢) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑑 / 𝑢)) ∈ ℝ)
21	19, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → (Λ‘(𝑑 / 𝑢)) ∈ ℝ)
22	11, 21	remulcld 11311	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11309	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) ∈ ℂ)
24	23	anassrs 473	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑}) → ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) ∈ ℂ)
25	7, 24	fsumcl 15867	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) ∈ ℂ)
26		vmacl 27409	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (Λ‘𝑑) ∈ ℝ)
27	4, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (Λ‘𝑑) ∈ ℝ)
28	4	nnrpd 13132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑑 ∈ ℝ+)
29	28	relogcld 26915	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (log‘𝑑) ∈ ℝ)
30	27, 29	remulcld 11311	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11309	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)) ∈ ℂ)
32	1, 25, 31	fsumadd 15874	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
33		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
34		fvoveq1 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝑢 · 𝑘) → (Λ‘(𝑑 / 𝑢)) = (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)))
35	34	oveq2d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = (𝑢 · 𝑘) → ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) = ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))))
36	33, 35, 23	fsumdvdscom 27476	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) = Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))))
37		ssrab2 4027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ⊆ ℕ
38		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)})
39	37, 38	sselid 3928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
40	39	nncnd 12321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑘 ∈ ℂ)
41		ssrab2 4027	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ ℕ
42		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
43	41, 42	sselid 3928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑢 ∈ ℕ)
44	43	nncnd 12321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑢 ∈ ℂ)
45	44	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑢 ∈ ℂ)
46	43	nnne0d 12358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑢 ≠ 0)
47	46	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑢 ≠ 0)
48	40, 45, 47	divcan3d 12068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → ((𝑢 · 𝑘) / 𝑢) = 𝑘)
49	48	fveq2d 6877	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)) = (Λ‘𝑘))
50	49	sumeq2dv 15837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘𝑘))
51		dvdsdivcl 16454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑢) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
52	41, 51	sselid 3928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑢) ∈ ℕ)
53		vmasum 27507	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 / 𝑢) ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘𝑘) = (log‘(𝑁 / 𝑢)))
54	52, 53	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘𝑘) = (log‘(𝑁 / 𝑢)))
55		nnrp 13102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
56	55	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑁 ∈ ℝ+)
57	43	nnrpd 13132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑢 ∈ ℝ+)
58	56, 57	relogdivd 26918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (log‘(𝑁 / 𝑢)) = ((log‘𝑁) − (log‘𝑢)))
59	50, 54, 58	3eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)) = ((log‘𝑁) − (log‘𝑢)))
60	59	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))) = ((Λ‘𝑢) · ((log‘𝑁) − (log‘𝑢))))
61		fzfid 14085	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (1...(𝑁 / 𝑢)) ∈ Fin)
62		dvdsssfz1 16456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 / 𝑢) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑢)))
63	52, 62	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑢)))
64	61, 63	ssfid 9238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ∈ Fin)
65	43, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (Λ‘𝑢) ∈ ℝ)
66	65	recnd 11309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (Λ‘𝑢) ∈ ℂ)
67		vmacl 27409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
68	39, 67	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
69	68	recnd 11309	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → (Λ‘𝑘) ∈ ℂ)
70	49, 69	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)) ∈ ℂ)
71	64, 66, 70	fsummulc2 15918	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))))
72		relogcl 26867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
73	72	recnd 11309	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
74	56, 73	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
75	57	relogcld 26915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (log‘𝑢) ∈ ℝ)
76	75	recnd 11309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (log‘𝑢) ∈ ℂ)
77	66, 74, 76	subdid 11742	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · ((log‘𝑁) − (log‘𝑢))) = (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))))
78	60, 71, 77	3eqtr3d 2803	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))) = (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))))
79	78	sumeq2dv 15837	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))) = Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))))
80	66, 74	mulcld 11301	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
81	66, 76	mulcld 11301	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢)) ∈ ℂ)
82	1, 80, 81	fsumsub 15922	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))) = (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))))
83	55, 73	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
84	83	sqvald 14255	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘𝑁)↑2) = ((log‘𝑁) · (log‘𝑁)))
85		vmasum 27507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (Λ‘𝑢) = (log‘𝑁))
86	85	oveq1d 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) = ((log‘𝑁) · (log‘𝑁)))
87	1, 83, 66	fsummulc1 15919	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) = Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)))
88	84, 86, 87	3eqtr2rd 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) = ((log‘𝑁)↑2))
89		fveq2 6873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑑 → (Λ‘𝑢) = (Λ‘𝑑))
90		fveq2 6873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑑 → (log‘𝑢) = (log‘𝑑))
91	89, 90	oveq12d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑑 → ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢)) = ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)))
92	91	cbvsumv 15831	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))
93	92	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)))
94	88, 93	oveq12d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))) = (((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
95	82, 94	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))) = (((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
96	36, 79, 95	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) = (((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
97	96	oveq1d 7423	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = ((((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) + Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
98	83	sqcld 14256	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘𝑁)↑2) ∈ ℂ)
99	1, 31	fsumcl 15867	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)) ∈ ℂ)
100	98, 99	npcand 11645	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) + Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = ((log‘𝑁)↑2))
101	32, 97, 100	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = ((log‘𝑁)↑2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {crab 3412   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11170  ℝcr 11171  0cc0 11172  1c1 11173   + caddc 11175   · cmul 11177   − cmin 11513   / cdiv 11943  ℕcn 12305  2c2 12367  ℝ⁺crp 13090  ...cfz 13609  ↑cexp 14173  Σcsu 15821   ∥ cdvds 16390  logclog 26846  Λcvma 27383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250  ax-addf 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9954  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-q 13046  df-rp 13091  df-xneg 13211  df-xadd 13212  df-xmul 13213  df-ioo 13450  df-ioc 13451  df-ico 13452  df-icc 13453  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-fl 13901  df-mod 13979  df-seq 14114  df-exp 14174  df-fac 14386  df-bc 14415  df-hash 14443  df-shft 15188  df-cj 15234  df-re 15235  df-im 15236  df-sqrt 15370  df-abs 15371  df-limsup 15606  df-clim 15623  df-rlim 15624  df-sum 15822  df-ef 16201  df-sin 16203  df-cos 16204  df-pi 16206  df-dvds 16391  df-gcd 16633  df-prm 16810  df-pc 16977  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-starv 17405  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-tset 17409  df-ple 17410  df-ds 17412  df-unif 17413  df-hom 17414  df-cco 17415  df-rest 17555  df-topn 17556  df-0g 17574  df-gsum 17575  df-topgen 17576  df-pt 17577  df-prds 17580  df-xrs 17636  df-qtop 17641  df-imas 17642  df-xps 17644  df-mre 17718  df-mrc 17719  df-acs 17721  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-submnd 18941  df-mulg 19240  df-cntz 19493  df-cmn 19958  df-psmet 21632  df-xmet 21633  df-met 21634  df-bl 21635  df-mopn 21636  df-fbas 21637  df-fg 21638  df-cnfld 21641  df-top 23174  df-topon 23191  df-topsp 23213  df-bases 23226  df-cld 23299  df-ntr 23300  df-cls 23301  df-nei 23378  df-lp 23416  df-perf 23417  df-cn 23507  df-cnp 23508  df-haus 23595  df-tx 23843  df-hmeo 24036  df-fil 24127  df-fm 24219  df-flim 24220  df-flf 24221  df-xms 24601  df-ms 24602  df-tms 24603  df-cncf 25161  df-limc 26148  df-dv 26149  df-log 26848  df-vma 27389

This theorem is used by:  logsqvma2  27834