MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logsqvma Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logsqvma 27430
Description: A formula for log↑2(𝑁) in terms of the primes. Equation 10.4.6 of [Shapiro], p. 418. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logsqvma (𝑁 ∈ β„• β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} (Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑} ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (Ξ›β€˜(𝑑 / 𝑒))) + ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘‘))) = ((logβ€˜π‘)↑2))
Distinct variable group:   𝑒,𝑑,π‘₯,𝑁

Proof of Theorem logsqvma
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13944 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
2 dvdsssfz1 16268 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} βŠ† (1...𝑁))
31, 2ssfid 9269 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ∈ Fin)
4 fzfid 13944 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ (1...𝑑) ∈ Fin)
5 elrabi 3672 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} β†’ 𝑑 ∈ β„•)
65adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
7 dvdsssfz1 16268 . . . . . 6 (𝑑 ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑} βŠ† (1...𝑑))
86, 7syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑} βŠ† (1...𝑑))
94, 8ssfid 9269 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑} ∈ Fin)
10 elrabi 3672 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑} β†’ 𝑒 ∈ β„•)
1110ad2antll 726 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑})) β†’ 𝑒 ∈ β„•)
12 vmacl 27005 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜π‘’) ∈ ℝ)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑})) β†’ (Ξ›β€˜π‘’) ∈ ℝ)
14 breq1 5144 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑒 β†’ (π‘₯ βˆ₯ 𝑑 ↔ 𝑒 βˆ₯ 𝑑))
1514elrab 3678 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑} ↔ (𝑒 ∈ β„• ∧ 𝑒 βˆ₯ 𝑑))
1615simprbi 496 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑} β†’ 𝑒 βˆ₯ 𝑑)
1716ad2antll 726 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑})) β†’ 𝑒 βˆ₯ 𝑑)
185ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑})) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
19 nndivdvds 16213 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ β„•) β†’ (𝑒 βˆ₯ 𝑑 ↔ (𝑑 / 𝑒) ∈ β„•))
2018, 11, 19syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑})) β†’ (𝑒 βˆ₯ 𝑑 ↔ (𝑑 / 𝑒) ∈ β„•))
2117, 20mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑})) β†’ (𝑑 / 𝑒) ∈ β„•)
22 vmacl 27005 . . . . . . . 8 ((𝑑 / 𝑒) ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜(𝑑 / 𝑒)) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑})) β†’ (Ξ›β€˜(𝑑 / 𝑒)) ∈ ℝ)
2413, 23remulcld 11248 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑})) β†’ ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (Ξ›β€˜(𝑑 / 𝑒))) ∈ ℝ)
2524recnd 11246 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑})) β†’ ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (Ξ›β€˜(𝑑 / 𝑒))) ∈ β„‚)
2625anassrs 467 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑}) β†’ ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (Ξ›β€˜(𝑑 / 𝑒))) ∈ β„‚)
279, 26fsumcl 15685 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑} ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (Ξ›β€˜(𝑑 / 𝑒))) ∈ β„‚)
28 vmacl 27005 . . . . . 6 (𝑑 ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
296, 28syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ (Ξ›β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
306nnrpd 13020 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
3130relogcld 26512 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ (logβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
3229, 31remulcld 11248 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
3332recnd 11246 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
343, 27, 33fsumadd 15692 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} (Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑} ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (Ξ›β€˜(𝑑 / 𝑒))) + ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘‘))) = (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑} ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (Ξ›β€˜(𝑑 / 𝑒))) + Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘‘))))
35 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•)
36 fvoveq1 7428 . . . . . 6 (𝑑 = (𝑒 Β· π‘˜) β†’ (Ξ›β€˜(𝑑 / 𝑒)) = (Ξ›β€˜((𝑒 Β· π‘˜) / 𝑒)))
3736oveq2d 7421 . . . . 5 (𝑑 = (𝑒 Β· π‘˜) β†’ ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (Ξ›β€˜(𝑑 / 𝑒))) = ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (Ξ›β€˜((𝑒 Β· π‘˜) / 𝑒))))
3835, 37, 25fsumdvdscom 27072 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑} ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (Ξ›β€˜(𝑑 / 𝑒))) = Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)} ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (Ξ›β€˜((𝑒 Β· π‘˜) / 𝑒))))
39 ssrab2 4072 . . . . . . . . . . . . 13 {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)} βŠ† β„•
40 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)}) β†’ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)})
4139, 40sselid 3975 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)}) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
4241nncnd 12232 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)}) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
43 ssrab2 4072 . . . . . . . . . . . . . 14 {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} βŠ† β„•
44 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁})
4543, 44sselid 3975 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ 𝑒 ∈ β„•)
4645nncnd 12232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
4746adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)}) β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
4845nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ 𝑒 β‰  0)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)}) β†’ 𝑒 β‰  0)
5042, 47, 49divcan3d 11999 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)}) β†’ ((𝑒 Β· π‘˜) / 𝑒) = π‘˜)
5150fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)}) β†’ (Ξ›β€˜((𝑒 Β· π‘˜) / 𝑒)) = (Ξ›β€˜π‘˜))
5251sumeq2dv 15655 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)} (Ξ›β€˜((𝑒 Β· π‘˜) / 𝑒)) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)} (Ξ›β€˜π‘˜))
53 dvdsdivcl 16266 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ (𝑁 / 𝑒) ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁})
5443, 53sselid 3975 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ (𝑁 / 𝑒) ∈ β„•)
55 vmasum 27104 . . . . . . . . 9 ((𝑁 / 𝑒) ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)} (Ξ›β€˜π‘˜) = (logβ€˜(𝑁 / 𝑒)))
5654, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)} (Ξ›β€˜π‘˜) = (logβ€˜(𝑁 / 𝑒)))
57 nnrp 12991 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
5857adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
5945nnrpd 13020 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
6058, 59relogdivd 26515 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ (logβ€˜(𝑁 / 𝑒)) = ((logβ€˜π‘) βˆ’ (logβ€˜π‘’)))
6152, 56, 603eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)} (Ξ›β€˜((𝑒 Β· π‘˜) / 𝑒)) = ((logβ€˜π‘) βˆ’ (logβ€˜π‘’)))
6261oveq2d 7421 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ ((Ξ›β€˜π‘’) Β· Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)} (Ξ›β€˜((𝑒 Β· π‘˜) / 𝑒))) = ((Ξ›β€˜π‘’) Β· ((logβ€˜π‘) βˆ’ (logβ€˜π‘’))))
63 fzfid 13944 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ (1...(𝑁 / 𝑒)) ∈ Fin)
64 dvdsssfz1 16268 . . . . . . . . 9 ((𝑁 / 𝑒) ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)} βŠ† (1...(𝑁 / 𝑒)))
6554, 64syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)} βŠ† (1...(𝑁 / 𝑒)))
6663, 65ssfid 9269 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)} ∈ Fin)
6745, 12syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ (Ξ›β€˜π‘’) ∈ ℝ)
6867recnd 11246 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ (Ξ›β€˜π‘’) ∈ β„‚)
69 vmacl 27005 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (Ξ›β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
7041, 69syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)}) β†’ (Ξ›β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
7170recnd 11246 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)}) β†’ (Ξ›β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7251, 71eqeltrd 2827 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) ∧ π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)}) β†’ (Ξ›β€˜((𝑒 Β· π‘˜) / 𝑒)) ∈ β„‚)
7366, 68, 72fsummulc2 15736 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ ((Ξ›β€˜π‘’) Β· Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)} (Ξ›β€˜((𝑒 Β· π‘˜) / 𝑒))) = Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)} ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (Ξ›β€˜((𝑒 Β· π‘˜) / 𝑒))))
74 relogcl 26464 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ ℝ)
7574recnd 11246 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
7658, 75syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
7759relogcld 26512 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ (logβ€˜π‘’) ∈ ℝ)
7877recnd 11246 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ (logβ€˜π‘’) ∈ β„‚)
7968, 76, 78subdid 11674 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ ((Ξ›β€˜π‘’) Β· ((logβ€˜π‘) βˆ’ (logβ€˜π‘’))) = (((Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘)) βˆ’ ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘’))))
8062, 73, 793eqtr3d 2774 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)} ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (Ξ›β€˜((𝑒 Β· π‘˜) / 𝑒))) = (((Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘)) βˆ’ ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘’))))
8180sumeq2dv 15655 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}Ξ£π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑁 / 𝑒)} ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (Ξ›β€˜((𝑒 Β· π‘˜) / 𝑒))) = Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} (((Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘)) βˆ’ ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘’))))
8268, 76mulcld 11238 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘)) ∈ β„‚)
8368, 78mulcld 11238 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}) β†’ ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘’)) ∈ β„‚)
843, 82, 83fsumsub 15740 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} (((Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘)) βˆ’ ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘’))) = (Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘)) βˆ’ Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘’))))
8557, 75syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (logβ€˜π‘) ∈ β„‚)
8685sqvald 14113 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((logβ€˜π‘)↑2) = ((logβ€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘)))
87 vmasum 27104 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} (Ξ›β€˜π‘’) = (logβ€˜π‘))
8887oveq1d 7420 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} (Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘)) = ((logβ€˜π‘) Β· (logβ€˜π‘)))
893, 85, 68fsummulc1 15737 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} (Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘)) = Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘)))
9086, 88, 893eqtr2rd 2773 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘)) = ((logβ€˜π‘)↑2))
91 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑑 β†’ (Ξ›β€˜π‘’) = (Ξ›β€˜π‘‘))
92 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑑 β†’ (logβ€˜π‘’) = (logβ€˜π‘‘))
9391, 92oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑑 β†’ ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘’)) = ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘‘)))
9493cbvsumv 15648 . . . . . . 7 Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘’)) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘‘))
9594a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘’)) = Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘‘)))
9690, 95oveq12d 7423 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘)) βˆ’ Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘’))) = (((logβ€˜π‘)↑2) βˆ’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘‘))))
9784, 96eqtrd 2766 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} (((Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘)) βˆ’ ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (logβ€˜π‘’))) = (((logβ€˜π‘)↑2) βˆ’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘‘))))
9838, 81, 973eqtrd 2770 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑} ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (Ξ›β€˜(𝑑 / 𝑒))) = (((logβ€˜π‘)↑2) βˆ’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘‘))))
9998oveq1d 7420 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑} ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (Ξ›β€˜(𝑑 / 𝑒))) + Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘‘))) = ((((logβ€˜π‘)↑2) βˆ’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘‘))) + Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘‘))))
10085sqcld 14114 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((logβ€˜π‘)↑2) ∈ β„‚)
1013, 33fsumcl 15685 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
102100, 101npcand 11579 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((((logβ€˜π‘)↑2) βˆ’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘‘))) + Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘‘))) = ((logβ€˜π‘)↑2))
10334, 99, 1023eqtrd 2770 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ Σ𝑑 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} (Σ𝑒 ∈ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑑} ((Ξ›β€˜π‘’) Β· (Ξ›β€˜(𝑑 / 𝑒))) + ((Ξ›β€˜π‘‘) Β· (logβ€˜π‘‘))) = ((logβ€˜π‘)↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  {crab 3426   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„+crp 12980  ...cfz 13490  β†‘cexp 14032  Ξ£csu 15638   βˆ₯ cdvds 16204  logclog 26443  Ξ›cvma 26979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16779  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-vma 26985
This theorem is referenced by:  logsqvma2  27431
  Copyright terms: Public domain W3C validator