Theorem logsqvma 27505

Description: A formula for log↑2(𝑁) in terms of the primes. Equation 10.4.6 of [Shapiro], p. 418. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logsqvma	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = ((log‘𝑁)↑2))

Distinct variable group:   𝑢,𝑑,𝑥,𝑁

Proof of Theorem logsqvma

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsfi 16808	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∈ Fin)
2		fzfid 13991	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (1...𝑑) ∈ Fin)
3		elrabi 3666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → 𝑑 ∈ ℕ)
4	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑑 ∈ ℕ)
5		dvdsssfz1 16337	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ⊆ (1...𝑑))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ⊆ (1...𝑑))
7	2, 6	ssfid 9273	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ∈ Fin)
8		elrabi 3666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} → 𝑢 ∈ ℕ)
9	8	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → 𝑢 ∈ ℕ)
10		vmacl 27080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℕ → (Λ‘𝑢) ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → (Λ‘𝑢) ∈ ℝ)
12		breq1 5122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 ∥ 𝑑 ↔ 𝑢 ∥ 𝑑))
13	12	elrab 3671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ↔ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∥ 𝑑))
14	13	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} → 𝑢 ∥ 𝑑)
15	14	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → 𝑢 ∥ 𝑑)
16	3	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → 𝑑 ∈ ℕ)
17		nndivdvds 16281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (𝑢 ∥ 𝑑 ↔ (𝑑 / 𝑢) ∈ ℕ))
18	16, 9, 17	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → (𝑢 ∥ 𝑑 ↔ (𝑑 / 𝑢) ∈ ℕ))
19	15, 18	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → (𝑑 / 𝑢) ∈ ℕ)
20		vmacl 27080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 / 𝑢) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑑 / 𝑢)) ∈ ℝ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → (Λ‘(𝑑 / 𝑢)) ∈ ℝ)
22	11, 21	remulcld 11265	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11263	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) ∈ ℂ)
24	23	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑}) → ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) ∈ ℂ)
25	7, 24	fsumcl 15749	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) ∈ ℂ)
26		vmacl 27080	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (Λ‘𝑑) ∈ ℝ)
27	4, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (Λ‘𝑑) ∈ ℝ)
28	4	nnrpd 13049	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑑 ∈ ℝ+)
29	28	relogcld 26584	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (log‘𝑑) ∈ ℝ)
30	27, 29	remulcld 11265	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11263	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)) ∈ ℂ)
32	1, 25, 31	fsumadd 15756	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
33		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
34		fvoveq1 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝑢 · 𝑘) → (Λ‘(𝑑 / 𝑢)) = (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)))
35	34	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = (𝑢 · 𝑘) → ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) = ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))))
36	33, 35, 23	fsumdvdscom 27147	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) = Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))))
37		ssrab2 4055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ⊆ ℕ
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)})
39	37, 38	sselid 3956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
40	39	nncnd 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑘 ∈ ℂ)
41		ssrab2 4055	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ ℕ
42		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
43	41, 42	sselid 3956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑢 ∈ ℕ)
44	43	nncnd 12256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑢 ∈ ℂ)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑢 ∈ ℂ)
46	43	nnne0d 12290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑢 ≠ 0)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑢 ≠ 0)
48	40, 45, 47	divcan3d 12022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → ((𝑢 · 𝑘) / 𝑢) = 𝑘)
49	48	fveq2d 6880	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)) = (Λ‘𝑘))
50	49	sumeq2dv 15718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘𝑘))
51		dvdsdivcl 16335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑢) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
52	41, 51	sselid 3956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑢) ∈ ℕ)
53		vmasum 27179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 / 𝑢) ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘𝑘) = (log‘(𝑁 / 𝑢)))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘𝑘) = (log‘(𝑁 / 𝑢)))
55		nnrp 13020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑁 ∈ ℝ+)
57	43	nnrpd 13049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑢 ∈ ℝ+)
58	56, 57	relogdivd 26587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (log‘(𝑁 / 𝑢)) = ((log‘𝑁) − (log‘𝑢)))
59	50, 54, 58	3eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)) = ((log‘𝑁) − (log‘𝑢)))
60	59	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))) = ((Λ‘𝑢) · ((log‘𝑁) − (log‘𝑢))))
61		fzfid 13991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (1...(𝑁 / 𝑢)) ∈ Fin)
62		dvdsssfz1 16337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 / 𝑢) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑢)))
63	52, 62	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑢)))
64	61, 63	ssfid 9273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ∈ Fin)
65	43, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (Λ‘𝑢) ∈ ℝ)
66	65	recnd 11263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (Λ‘𝑢) ∈ ℂ)
67		vmacl 27080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
68	39, 67	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
69	68	recnd 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → (Λ‘𝑘) ∈ ℂ)
70	49, 69	eqeltrd 2834	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)) ∈ ℂ)
71	64, 66, 70	fsummulc2 15800	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))))
72		relogcl 26536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
73	72	recnd 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
74	56, 73	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
75	57	relogcld 26584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (log‘𝑢) ∈ ℝ)
76	75	recnd 11263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (log‘𝑢) ∈ ℂ)
77	66, 74, 76	subdid 11693	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · ((log‘𝑁) − (log‘𝑢))) = (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))))
78	60, 71, 77	3eqtr3d 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))) = (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))))
79	78	sumeq2dv 15718	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))) = Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))))
80	66, 74	mulcld 11255	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
81	66, 76	mulcld 11255	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢)) ∈ ℂ)
82	1, 80, 81	fsumsub 15804	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))) = (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))))
83	55, 73	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
84	83	sqvald 14161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘𝑁)↑2) = ((log‘𝑁) · (log‘𝑁)))
85		vmasum 27179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (Λ‘𝑢) = (log‘𝑁))
86	85	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) = ((log‘𝑁) · (log‘𝑁)))
87	1, 83, 66	fsummulc1 15801	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) = Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)))
88	84, 86, 87	3eqtr2rd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) = ((log‘𝑁)↑2))
89		fveq2 6876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑑 → (Λ‘𝑢) = (Λ‘𝑑))
90		fveq2 6876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑑 → (log‘𝑢) = (log‘𝑑))
91	89, 90	oveq12d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑑 → ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢)) = ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)))
92	91	cbvsumv 15712	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))
93	92	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)))
94	88, 93	oveq12d 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))) = (((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
95	82, 94	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))) = (((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
96	36, 79, 95	3eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) = (((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
97	96	oveq1d 7420	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = ((((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) + Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
98	83	sqcld 14162	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘𝑁)↑2) ∈ ℂ)
99	1, 31	fsumcl 15749	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)) ∈ ℂ)
100	98, 99	npcand 11598	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) + Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = ((log‘𝑁)↑2))
101	32, 97, 100	3eqtrd 2774	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = ((log‘𝑁)↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  {crab 3415   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   − cmin 11466   / cdiv 11894  ℕcn 12240  2c2 12295  ℝ⁺crp 13008  ...cfz 13524  ↑cexp 14079  Σcsu 15702   ∥ cdvds 16272  logclog 26515  Λcvma 27054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-bc 14321  df-hash 14349  df-shft 15086  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-limsup 15487  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-ef 16083  df-sin 16085  df-cos 16086  df-pi 16088  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-prm 16691  df-pc 16857  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-lp 23074  df-perf 23075  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-haus 23253  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cncf 24822  df-limc 25819  df-dv 25820  df-log 26517  df-vma 27060

This theorem is referenced by:  logsqvma2  27506