Theorem logsqvma 27530

Description: A formula for log↑2(𝑁) in terms of the primes. Equation 10.4.6 of [Shapiro], p. 418. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logsqvma	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = ((log‘𝑁)↑2))

Distinct variable group:   𝑢,𝑑,𝑥,𝑁

Proof of Theorem logsqvma

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsfi 16757	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∈ Fin)
2		fzfid 13933	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (1...𝑑) ∈ Fin)
3		elrabi 3632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → 𝑑 ∈ ℕ)
4	3	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑑 ∈ ℕ)
5		dvdsssfz1 16285	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ⊆ (1...𝑑))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ⊆ (1...𝑑))
7	2, 6	ssfid 9176	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ∈ Fin)
8		elrabi 3632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} → 𝑢 ∈ ℕ)
9	8	ad2antll 735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → 𝑢 ∈ ℕ)
10		vmacl 27106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℕ → (Λ‘𝑢) ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → (Λ‘𝑢) ∈ ℝ)
12		breq1 5082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 ∥ 𝑑 ↔ 𝑢 ∥ 𝑑))
13	12	elrab 3636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ↔ (𝑢 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∥ 𝑑))
14	13	simprbi 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} → 𝑢 ∥ 𝑑)
15	14	ad2antll 735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → 𝑢 ∥ 𝑑)
16	3	ad2antrl 734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → 𝑑 ∈ ℕ)
17		nndivdvds 16228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ ℕ) → (𝑢 ∥ 𝑑 ↔ (𝑑 / 𝑢) ∈ ℕ))
18	16, 9, 17	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → (𝑢 ∥ 𝑑 ↔ (𝑑 / 𝑢) ∈ ℕ))
19	15, 18	mpbid 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → (𝑑 / 𝑢) ∈ ℕ)
20		vmacl 27106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 / 𝑢) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑑 / 𝑢)) ∈ ℝ)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → (Λ‘(𝑑 / 𝑢)) ∈ ℝ)
22	11, 21	remulcld 11173	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11171	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑})) → ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) ∈ ℂ)
24	23	anassrs 468	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑}) → ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) ∈ ℂ)
25	7, 24	fsumcl 15693	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) ∈ ℂ)
26		vmacl 27106	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (Λ‘𝑑) ∈ ℝ)
27	4, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (Λ‘𝑑) ∈ ℝ)
28	4	nnrpd 12982	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑑 ∈ ℝ+)
29	28	relogcld 26612	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (log‘𝑑) ∈ ℝ)
30	27, 29	remulcld 11173	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11171	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)) ∈ ℂ)
32	1, 25, 31	fsumadd 15700	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
33		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
34		fvoveq1 7386	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = (𝑢 · 𝑘) → (Λ‘(𝑑 / 𝑢)) = (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)))
35	34	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = (𝑢 · 𝑘) → ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) = ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))))
36	33, 35, 23	fsumdvdscom 27173	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) = Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))))
37		ssrab2 4018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ⊆ ℕ
38		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)})
39	37, 38	sselid 3920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
40	39	nncnd 12188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑘 ∈ ℂ)
41		ssrab2 4018	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ ℕ
42		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
43	41, 42	sselid 3920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑢 ∈ ℕ)
44	43	nncnd 12188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑢 ∈ ℂ)
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑢 ∈ ℂ)
46	43	nnne0d 12225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑢 ≠ 0)
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → 𝑢 ≠ 0)
48	40, 45, 47	divcan3d 11934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → ((𝑢 · 𝑘) / 𝑢) = 𝑘)
49	48	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)) = (Λ‘𝑘))
50	49	sumeq2dv 15662	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘𝑘))
51		dvdsdivcl 16283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑢) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
52	41, 51	sselid 3920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑢) ∈ ℕ)
53		vmasum 27204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 / 𝑢) ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘𝑘) = (log‘(𝑁 / 𝑢)))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘𝑘) = (log‘(𝑁 / 𝑢)))
55		nnrp 12952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
56	55	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑁 ∈ ℝ+)
57	43	nnrpd 12982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑢 ∈ ℝ+)
58	56, 57	relogdivd 26615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (log‘(𝑁 / 𝑢)) = ((log‘𝑁) − (log‘𝑢)))
59	50, 54, 58	3eqtrd 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)) = ((log‘𝑁) − (log‘𝑢)))
60	59	oveq2d 7379	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))) = ((Λ‘𝑢) · ((log‘𝑁) − (log‘𝑢))))
61		fzfid 13933	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (1...(𝑁 / 𝑢)) ∈ Fin)
62		dvdsssfz1 16285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 / 𝑢) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑢)))
63	52, 62	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑢)))
64	61, 63	ssfid 9176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ∈ Fin)
65	43, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (Λ‘𝑢) ∈ ℝ)
66	65	recnd 11171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (Λ‘𝑢) ∈ ℂ)
67		vmacl 27106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
68	39, 67	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → (Λ‘𝑘) ∈ ℝ)
69	68	recnd 11171	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → (Λ‘𝑘) ∈ ℂ)
70	49, 69	eqeltrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)}) → (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢)) ∈ ℂ)
71	64, 66, 70	fsummulc2 15744	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))) = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))))
72		relogcl 26564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
73	72	recnd 11171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
74	56, 73	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
75	57	relogcld 26612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (log‘𝑢) ∈ ℝ)
76	75	recnd 11171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (log‘𝑢) ∈ ℂ)
77	66, 74, 76	subdid 11604	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · ((log‘𝑁) − (log‘𝑢))) = (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))))
78	60, 71, 77	3eqtr3d 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))) = (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))))
79	78	sumeq2dv 15662	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑢)} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘((𝑢 · 𝑘) / 𝑢))) = Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))))
80	66, 74	mulcld 11163	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
81	66, 76	mulcld 11163	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢)) ∈ ℂ)
82	1, 80, 81	fsumsub 15748	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))) = (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))))
83	55, 73	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
84	83	sqvald 14103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘𝑁)↑2) = ((log‘𝑁) · (log‘𝑁)))
85		vmasum 27204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (Λ‘𝑢) = (log‘𝑁))
86	85	oveq1d 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) = ((log‘𝑁) · (log‘𝑁)))
87	1, 83, 66	fsummulc1 15745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) = Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)))
88	84, 86, 87	3eqtr2rd 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) = ((log‘𝑁)↑2))
89		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑑 → (Λ‘𝑢) = (Λ‘𝑑))
90		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑑 → (log‘𝑢) = (log‘𝑑))
91	89, 90	oveq12d 7381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑑 → ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢)) = ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)))
92	91	cbvsumv 15656	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))
93	92	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢)) = Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)))
94	88, 93	oveq12d 7381	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))) = (((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
95	82, 94	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (((Λ‘𝑢) · (log‘𝑁)) − ((Λ‘𝑢) · (log‘𝑢))) = (((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
96	36, 79, 95	3eqtrd 2779	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) = (((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
97	96	oveq1d 7378	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = ((((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) + Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))))
98	83	sqcld 14104	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘𝑁)↑2) ∈ ℂ)
99	1, 31	fsumcl 15693	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑)) ∈ ℂ)
100	98, 99	npcand 11507	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((log‘𝑁)↑2) − Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) + Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = ((log‘𝑁)↑2))
101	32, 97, 100	3eqtrd 2779	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑑 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} (Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑑} ((Λ‘𝑢) · (Λ‘(𝑑 / 𝑢))) + ((Λ‘𝑑) · (log‘𝑑))) = ((log‘𝑁)↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  {crab 3392   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   − cmin 11375   / cdiv 11805  ℕcn 12172  2c2 12234  ℝ⁺crp 12940  ...cfz 13459  ↑cexp 14021  Σcsu 15646   ∥ cdvds 16219  logclog 26543  Λcvma 27080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-ef 16030  df-sin 16032  df-cos 16033  df-pi 16035  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-prm 16639  df-pc 16806  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870  df-limc 25858  df-dv 25859  df-log 26545  df-vma 27086

This theorem is referenced by:  logsqvma2  27531