Theorem dvhopvadd2 42342

Description: The vector sum operation for the constructed full vector space H. TODO: check if this will shorten proofs that use dvhopvadd 42341 and/or dvhfplusr 42332. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhopvadd2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhopvadd2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhopvadd2.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhopvadd2.p	⊢ + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
dvhopvadd2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhopvadd2.s	⊢ + = (+g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvhopvadd2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (⟨𝐹, 𝑄⟩ + ⟨𝐺, 𝑅⟩) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄 + 𝑅)⟩)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝐻   𝑓,𝑠,𝑡,𝐾   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   + (𝑡, 𝑓, 𝑠)   + (𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝑄(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝑅(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝑇(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝑈(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝐺(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝐻(𝑡, 𝑠)

Proof of Theorem dvhopvadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhopvadd2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvhopvadd2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		dvhopvadd2.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		dvhopvadd2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
6		dvhopvadd2.s	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
7		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dvhopvadd 42341	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (⟨𝐹, 𝑄⟩ + ⟨𝐺, 𝑅⟩) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑅)⟩)
9		dvhopvadd2.p	. . . . . 6 ⊢ + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
10	1, 2, 3, 4, 5, 9, 7	dvhfplusr 42332	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘(Scalar‘𝑈)) = + )
11	10	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (+g‘(Scalar‘𝑈)) = + )
12	11	oveqd 7457	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (𝑄(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑅) = (𝑄 + 𝑅))
13	12	opeq2d 4850	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑅)⟩ = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄 + 𝑅)⟩)
14	8, 13	eqtrd 2798	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (⟨𝐹, 𝑄⟩ + ⟨𝐺, 𝑅⟩) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄 + 𝑅)⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4838   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ∈ cmpo 7442  +_gcplusg 17454  Scalarcsca 17457  HLchlt 40598  LHypclh 41232  LTrncltrn 41349  TEndoctendo 42000  DVecHcdvh 42326

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-edring 42005  df-dvech 42327

This theorem is used by:  xihopellsmN  42502  dihopellsm  42503