Theorem dvhopvadd2 41896

Description: The vector sum operation for the constructed full vector space H. TODO: check if this will shorten proofs that use dvhopvadd 41895 and/or dvhfplusr 41886. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhopvadd2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhopvadd2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhopvadd2.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhopvadd2.p	⊢ + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
dvhopvadd2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhopvadd2.s	⊢ ✚ = (+g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvhopvadd2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (⟨𝐹, 𝑄⟩ ✚ ⟨𝐺, 𝑅⟩) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄 + 𝑅)⟩)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝐻   𝑓,𝑠,𝑡,𝐾   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   + (𝑡, 𝑓, 𝑠)   ✚ (𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝑄(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝑅(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝑇(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝑈(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝐺(𝑡, 𝑓, 𝑠)   𝐻(𝑡, 𝑠)

Proof of Theorem dvhopvadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhopvadd2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvhopvadd2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		dvhopvadd2.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		dvhopvadd2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
6		dvhopvadd2.s	. . 3 ⊢ ✚ = (+g‘𝑈)
7		eqid 2762	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑈)) = (+g‘(Scalar‘𝑈))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dvhopvadd 41895	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (⟨𝐹, 𝑄⟩ ✚ ⟨𝐺, 𝑅⟩) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑅)⟩)
9		dvhopvadd2.p	. . . . . 6 ⊢ + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
10	1, 2, 3, 4, 5, 9, 7	dvhfplusr 41886	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘(Scalar‘𝑈)) = + )
11	10	3ad2ant1 1150	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (+g‘(Scalar‘𝑈)) = + )
12	11	oveqd 7429	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (𝑄(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑅) = (𝑄 + 𝑅))
13	12	opeq2d 4844	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄(+g‘(Scalar‘𝑈))𝑅)⟩ = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄 + 𝑅)⟩)
14	8, 13	eqtrd 2797	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (⟨𝐹, 𝑄⟩ ✚ ⟨𝐺, 𝑅⟩) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄 + 𝑅)⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ⟨cop 4594   ↦ cmpt 5191   ∘ ccom 5664  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  +_gcplusg 17316  Scalarcsca 17319  HLchlt 40152  LHypclh 40786  LTrncltrn 40903  TEndoctendo 41554  DVecHcdvh 41880

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-edring 41559  df-dvech 41881

This theorem is used by:  xihopellsmN  42056  dihopellsm  42057