Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhopvadd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhopvadd2 40623
Description: The vector sum operation for the constructed full vector space H. TODO: check if this will shorten proofs that use dvhopvadd 40622 and/or dvhfplusr 40613. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhopvadd2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvhopvadd2.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhopvadd2.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhopvadd2.p + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
dvhopvadd2.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhopvadd2.s ✚ = (+gβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dvhopvadd2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) β†’ (⟨𝐹, π‘„βŸ© ✚ ⟨𝐺, π‘…βŸ©) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄 + 𝑅)⟩)
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,𝐸   𝑓,𝐻   𝑓,𝑠,𝑑,𝐾   𝑓,π‘Š,𝑠,𝑑
Allowed substitution hints:   + (𝑑,𝑓,𝑠)   ✚ (𝑑,𝑓,𝑠)   𝑄(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑅(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑇(𝑑,𝑓,𝑠)   π‘ˆ(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐺(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐻(𝑑,𝑠)

Proof of Theorem dvhopvadd2
StepHypRef Expression
1 dvhopvadd2.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dvhopvadd2.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 dvhopvadd2.e . . 3 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 dvhopvadd2.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 eqid 2725 . . 3 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
6 dvhopvadd2.s . . 3 ✚ = (+gβ€˜π‘ˆ)
7 eqid 2725 . . 3 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvhopvadd 40622 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) β†’ (⟨𝐹, π‘„βŸ© ✚ ⟨𝐺, π‘…βŸ©) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑅)⟩)
9 dvhopvadd2.p . . . . . 6 + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
101, 2, 3, 4, 5, 9, 7dvhfplusr 40613 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = + )
11103ad2ant1 1130 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = + )
1211oveqd 7433 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑄(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑅) = (𝑄 + 𝑅))
1312opeq2d 4876 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) β†’ ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))𝑅)⟩ = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄 + 𝑅)⟩)
148, 13eqtrd 2765 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) β†’ (⟨𝐹, π‘„βŸ© ✚ ⟨𝐺, π‘…βŸ©) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄 + 𝑅)⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4630   ↦ cmpt 5226   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  +gcplusg 17232  Scalarcsca 17235  HLchlt 38878  LHypclh 39513  LTrncltrn 39630  TEndoctendo 40281  DVecHcdvh 40607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-edring 40286  df-dvech 40608
This theorem is referenced by:  xihopellsmN  40783  dihopellsm  40784
  Copyright terms: Public domain W3C validator