Theorem dvhfplusr 37105

Description: Ring addition operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhfplusr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhfplusr.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhfplusr.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhfplusr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhfplusr.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dvhfplusr.p	⊢ + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
dvhfplusr.s	⊢ ✚ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dvhfplusr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ✚ = + )

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝐻   𝑓,𝑠,𝑡,𝐾   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   + (𝑡,𝑓,𝑠)   ✚ (𝑡,𝑓,𝑠)   𝑇(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐻(𝑡,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑠)

Proof of Theorem dvhfplusr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhfplusr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2799	. . . . 5 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
3		dvhfplusr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dvhfplusr.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	dvhsca 37103	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐹 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
6	5	fveq2d 6415	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐹) = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
7		dvhfplusr.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		dvhfplusr.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
10	1, 7, 8, 2, 9	erngfplus 36823	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))))
11	6, 10	eqtrd 2833	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐹) = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))))
12		dvhfplusr.s	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝐹)
13		dvhfplusr.p	. 2 ⊢ + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2858	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ✚ = + )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ↦ cmpt 4922   ∘ ccom 5316  ‘cfv 6101   ↦ cmpt2 6880  +_gcplusg 16267  Scalarcsca 16270  LHypclh 36005  LTrncltrn 36122  TEndoctendo 36773  EDRingcedring 36774  DVecHcdvh 37099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-edring 36778  df-dvech 37100

This theorem is referenced by:  dvhopvadd2  37115  dvhvaddcl  37116  dvhvaddcomN  37117  dvh0g  37132  diblss  37191  diblsmopel  37192  dicvaddcl  37211  cdlemn6  37223  dihopelvalcpre  37269