Theorem dvhfplusr 39025

Description: Ring addition operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhfplusr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhfplusr.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhfplusr.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhfplusr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhfplusr.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dvhfplusr.p	⊢ + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
dvhfplusr.s	⊢ ✚ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dvhfplusr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ✚ = + )

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝐻   𝑓,𝑠,𝑡,𝐾   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   + (𝑡,𝑓,𝑠)   ✚ (𝑡,𝑓,𝑠)   𝑇(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐻(𝑡,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑠)

Proof of Theorem dvhfplusr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhfplusr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
3		dvhfplusr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dvhfplusr.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	dvhsca 39023	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐹 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
6	5	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐹) = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
7		dvhfplusr.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		dvhfplusr.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
10	1, 7, 8, 2, 9	erngfplus 38743	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))))
11	6, 10	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐹) = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))))
12		dvhfplusr.s	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝐹)
13		dvhfplusr.p	. 2 ⊢ + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2804	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ✚ = + )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5153   ∘ ccom 5584  ‘cfv 6418   ∈ cmpo 7257  +_gcplusg 16888  Scalarcsca 16891  LHypclh 37925  LTrncltrn 38042  TEndoctendo 38693  EDRingcedring 38694  DVecHcdvh 39019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-edring 38698  df-dvech 39020

This theorem is referenced by:  dvhopvadd2  39035  dvhvaddcl  39036  dvhvaddcomN  39037  dvh0g  39052  diblss  39111  diblsmopel  39112  dicvaddcl  39131  cdlemn6  39143  dihopelvalcpre  39189