Theorem dvhfplusr 41858

Description: Ring addition operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhfplusr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhfplusr.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhfplusr.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhfplusr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhfplusr.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dvhfplusr.p	⊢ + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
dvhfplusr.s	⊢ ✚ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dvhfplusr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ✚ = + )

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝐻   𝑓,𝑠,𝑡,𝐾   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   + (𝑡,𝑓,𝑠)   ✚ (𝑡,𝑓,𝑠)   𝑇(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐻(𝑡,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑠)

Proof of Theorem dvhfplusr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhfplusr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
3		dvhfplusr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dvhfplusr.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	dvhsca 41856	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐹 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
6	5	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐹) = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
7		dvhfplusr.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		dvhfplusr.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
10	1, 7, 8, 2, 9	erngfplus 41576	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))))
11	6, 10	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐹) = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))))
12		dvhfplusr.s	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝐹)
13		dvhfplusr.p	. 2 ⊢ + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2823	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ✚ = + )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5192   ∘ ccom 5665  ‘cfv 6536   ∈ cmpo 7412  +_gcplusg 17305  Scalarcsca 17308  LHypclh 40758  LTrncltrn 40875  TEndoctendo 41526  EDRingcedring 41527  DVecHcdvh 41852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-edring 41531  df-dvech 41853

This theorem is referenced by:  dvhopvadd2  41868  dvhvaddcl  41869  dvhvaddcomN  41870  dvh0g  41885  diblss  41944  diblsmopel  41945  dicvaddcl  41964  cdlemn6  41976  dihopelvalcpre  42022