Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhfplusr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhfplusr 39106
Description: Ring addition operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhfplusr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhfplusr.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhfplusr.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhfplusr.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhfplusr.f 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dvhfplusr.p + = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
dvhfplusr.s = (+g𝐹)
Assertion
Ref Expression
dvhfplusr ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → = + )
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝐻   𝑓,𝑠,𝑡,𝐾   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   + (𝑡,𝑓,𝑠)   (𝑡,𝑓,𝑠)   𝑇(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐻(𝑡,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑠)

Proof of Theorem dvhfplusr
StepHypRef Expression
1 dvhfplusr.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2738 . . . . 5 ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
3 dvhfplusr.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 dvhfplusr.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
51, 2, 3, 4dvhsca 39104 . . . 4 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → 𝐹 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
65fveq2d 6770 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (+g𝐹) = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
7 dvhfplusr.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 dvhfplusr.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9 eqid 2738 . . . 4 (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
101, 7, 8, 2, 9erngfplus 38824 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))))
116, 10eqtrd 2778 . 2 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (+g𝐹) = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))))
12 dvhfplusr.s . 2 = (+g𝐹)
13 dvhfplusr.p . 2 + = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
1411, 12, 133eqtr4g 2803 1 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → = + )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  cmpt 5156  ccom 5588  cfv 6426  cmpo 7269  +gcplusg 16972  Scalarcsca 16975  LHypclh 38006  LTrncltrn 38123  TEndoctendo 38774  EDRingcedring 38775  DVecHcdvh 39100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-fz 13250  df-struct 16858  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-edring 38779  df-dvech 39101
This theorem is referenced by:  dvhopvadd2  39116  dvhvaddcl  39117  dvhvaddcomN  39118  dvh0g  39133  diblss  39192  diblsmopel  39193  dicvaddcl  39212  cdlemn6  39224  dihopelvalcpre  39270
  Copyright terms: Public domain W3C validator