Theorem dvhfplusr 40687

Description: Ring addition operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhfplusr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhfplusr.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhfplusr.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhfplusr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhfplusr.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
dvhfplusr.p	⊢ + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
dvhfplusr.s	⊢ ✚ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dvhfplusr	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ✚ = + )

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝐻   𝑓,𝑠,𝑡,𝐾   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   + (𝑡,𝑓,𝑠)   ✚ (𝑡,𝑓,𝑠)   𝑇(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐻(𝑡,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑠)

Proof of Theorem dvhfplusr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhfplusr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
3		dvhfplusr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dvhfplusr.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	dvhsca 40685	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐹 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
6	5	fveq2d 6900	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐹) = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
7		dvhfplusr.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		dvhfplusr.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
10	1, 7, 8, 2, 9	erngfplus 40405	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))))
11	6, 10	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (+g‘𝐹) = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))))
12		dvhfplusr.s	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝐹)
13		dvhfplusr.p	. 2 ⊢ + = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2790	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ✚ = + )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5232   ∘ ccom 5682  ‘cfv 6549   ∈ cmpo 7421  +_gcplusg 17236  Scalarcsca 17239  LHypclh 39587  LTrncltrn 39704  TEndoctendo 40355  EDRingcedring 40356  DVecHcdvh 40681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-edring 40360  df-dvech 40682

This theorem is referenced by:  dvhopvadd2  40697  dvhvaddcl  40698  dvhvaddcomN  40699  dvh0g  40714  diblss  40773  diblsmopel  40774  dicvaddcl  40793  cdlemn6  40805  dihopelvalcpre  40851