Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhopvadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhopvadd 39559
Description: The vector sum operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhvadd.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvhvadd.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhvadd.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhvadd.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhvadd.f 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
dvhvadd.s + = (+gβ€˜π‘ˆ)
dvhvadd.p ⨣ = (+gβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
dvhopvadd (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) β†’ (⟨𝐹, π‘„βŸ© + ⟨𝐺, π‘…βŸ©) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄 ⨣ 𝑅)⟩)

Proof of Theorem dvhopvadd
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 opelxpi 5671 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) β†’ ⟨𝐹, π‘„βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
323ad2ant2 1135 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) β†’ ⟨𝐹, π‘„βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
4 opelxpi 5671 . . . 4 ((𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸) β†’ ⟨𝐺, π‘…βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
543ad2ant3 1136 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) β†’ ⟨𝐺, π‘…βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
6 dvhvadd.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 dvhvadd.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 dvhvadd.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 dvhvadd.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 dvhvadd.f . . . 4 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
11 dvhvadd.s . . . 4 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
12 dvhvadd.p . . . 4 ⨣ = (+gβ€˜π·)
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12dvhvadd 39558 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (⟨𝐹, π‘„βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ ⟨𝐺, π‘…βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (⟨𝐹, π‘„βŸ© + ⟨𝐺, π‘…βŸ©) = ⟨((1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘„βŸ©) ∘ (1st β€˜βŸ¨πΊ, π‘…βŸ©)), ((2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘„βŸ©) ⨣ (2nd β€˜βŸ¨πΊ, π‘…βŸ©))⟩)
141, 3, 5, 13syl12anc 836 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) β†’ (⟨𝐹, π‘„βŸ© + ⟨𝐺, π‘…βŸ©) = ⟨((1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘„βŸ©) ∘ (1st β€˜βŸ¨πΊ, π‘…βŸ©)), ((2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘„βŸ©) ⨣ (2nd β€˜βŸ¨πΊ, π‘…βŸ©))⟩)
15 op1stg 7934 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) β†’ (1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘„βŸ©) = 𝐹)
16153ad2ant2 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) β†’ (1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘„βŸ©) = 𝐹)
17 op1stg 7934 . . . . 5 ((𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸) β†’ (1st β€˜βŸ¨πΊ, π‘…βŸ©) = 𝐺)
18173ad2ant3 1136 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) β†’ (1st β€˜βŸ¨πΊ, π‘…βŸ©) = 𝐺)
1916, 18coeq12d 5821 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) β†’ ((1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘„βŸ©) ∘ (1st β€˜βŸ¨πΊ, π‘…βŸ©)) = (𝐹 ∘ 𝐺))
20 op2ndg 7935 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) β†’ (2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘„βŸ©) = 𝑄)
21203ad2ant2 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) β†’ (2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘„βŸ©) = 𝑄)
22 op2ndg 7935 . . . . 5 ((𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸) β†’ (2nd β€˜βŸ¨πΊ, π‘…βŸ©) = 𝑅)
23223ad2ant3 1136 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) β†’ (2nd β€˜βŸ¨πΊ, π‘…βŸ©) = 𝑅)
2421, 23oveq12d 7376 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) β†’ ((2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘„βŸ©) ⨣ (2nd β€˜βŸ¨πΊ, π‘…βŸ©)) = (𝑄 ⨣ 𝑅))
2519, 24opeq12d 4839 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) β†’ ⟨((1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘„βŸ©) ∘ (1st β€˜βŸ¨πΊ, π‘…βŸ©)), ((2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘„βŸ©) ⨣ (2nd β€˜βŸ¨πΊ, π‘…βŸ©))⟩ = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄 ⨣ 𝑅)⟩)
2614, 25eqtrd 2777 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) β†’ (⟨𝐹, π‘„βŸ© + ⟨𝐺, π‘…βŸ©) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄 ⨣ 𝑅)⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4593   Γ— cxp 5632   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1st c1st 7920  2nd c2nd 7921  +gcplusg 17134  Scalarcsca 17137  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  TEndoctendo 39218  DVecHcdvh 39544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-edring 39223  df-dvech 39545
This theorem is referenced by:  dvhopvadd2  39560  dvhgrp  39573  dvh0g  39577  diblsmopel  39637  cdlemn4  39664  cdlemn6  39668  dihopelvalcpre  39714
  Copyright terms: Public domain W3C validator