Theorem dvhopvadd 41498

Description: The vector sum operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhvadd.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhvadd.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhvadd.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhvadd.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhvadd.f	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dvhvadd.s	⊢ + = (+g‘𝑈)
dvhvadd.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dvhopvadd	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (⟨𝐹, 𝑄⟩ + ⟨𝐺, 𝑅⟩) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄 ⨣ 𝑅)⟩)

Proof of Theorem dvhopvadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		opelxpi 5671	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → ⟨𝐹, 𝑄⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
3	2	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → ⟨𝐹, 𝑄⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
4		opelxpi 5671	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸) → ⟨𝐺, 𝑅⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
5	4	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → ⟨𝐺, 𝑅⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
6		dvhvadd.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		dvhvadd.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		dvhvadd.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9		dvhvadd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		dvhvadd.f	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
11		dvhvadd.s	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
12		dvhvadd.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
13	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	dvhvadd 41497	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (⟨𝐹, 𝑄⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ⟨𝐺, 𝑅⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (⟨𝐹, 𝑄⟩ + ⟨𝐺, 𝑅⟩) = ⟨((1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ∘ (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)), ((2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ⨣ (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩))⟩)
14	1, 3, 5, 13	syl12anc 837	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (⟨𝐹, 𝑄⟩ + ⟨𝐺, 𝑅⟩) = ⟨((1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ∘ (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)), ((2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ⨣ (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩))⟩)
15		op1stg 7957	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → (1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) = 𝐹)
16	15	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) = 𝐹)
17		op1stg 7957	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸) → (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩) = 𝐺)
18	17	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩) = 𝐺)
19	16, 18	coeq12d 5823	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → ((1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ∘ (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)) = (𝐹 ∘ 𝐺))
20		op2ndg 7958	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → (2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) = 𝑄)
21	20	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) = 𝑄)
22		op2ndg 7958	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸) → (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩) = 𝑅)
23	22	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩) = 𝑅)
24	21, 23	oveq12d 7388	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → ((2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ⨣ (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)) = (𝑄 ⨣ 𝑅))
25	19, 24	opeq12d 4839	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → ⟨((1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ∘ (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)), ((2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ⨣ (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩))⟩ = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄 ⨣ 𝑅)⟩)
26	14, 25	eqtrd 2772	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (⟨𝐹, 𝑄⟩ + ⟨𝐺, 𝑅⟩) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄 ⨣ 𝑅)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4588   × cxp 5632   ∘ ccom 5638  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  1^st c1st 7943  2^nd c2nd 7944  +_gcplusg 17191  Scalarcsca 17194  HLchlt 39755  LHypclh 40389  LTrncltrn 40506  TEndoctendo 41157  DVecHcdvh 41483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-struct 17088  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-edring 41162  df-dvech 41484

This theorem is referenced by:  dvhopvadd2  41499  dvhgrp  41512  dvh0g  41516  diblsmopel  41576  cdlemn4  41603  cdlemn6  41607  dihopelvalcpre  41653