Theorem dvhopvadd 41953

Description: The vector sum operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhvadd.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhvadd.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhvadd.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhvadd.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhvadd.f	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dvhvadd.s	⊢ + = (+g‘𝑈)
dvhvadd.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dvhopvadd	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (⟨𝐹, 𝑄⟩ + ⟨𝐺, 𝑅⟩) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄 ⨣ 𝑅)⟩)

Proof of Theorem dvhopvadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		opelxpi 5696	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → ⟨𝐹, 𝑄⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
3	2	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → ⟨𝐹, 𝑄⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
4		opelxpi 5696	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸) → ⟨𝐺, 𝑅⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
5	4	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → ⟨𝐺, 𝑅⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
6		dvhvadd.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		dvhvadd.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		dvhvadd.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9		dvhvadd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		dvhvadd.f	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
11		dvhvadd.s	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
12		dvhvadd.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
13	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	dvhvadd 41952	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (⟨𝐹, 𝑄⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ⟨𝐺, 𝑅⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (⟨𝐹, 𝑄⟩ + ⟨𝐺, 𝑅⟩) = ⟨((1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ∘ (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)), ((2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ⨣ (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩))⟩)
14	1, 3, 5, 13	syl12anc 850	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (⟨𝐹, 𝑄⟩ + ⟨𝐺, 𝑅⟩) = ⟨((1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ∘ (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)), ((2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ⨣ (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩))⟩)
15		op1stg 8001	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → (1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) = 𝐹)
16	15	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) = 𝐹)
17		op1stg 8001	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸) → (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩) = 𝐺)
18	17	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩) = 𝐺)
19	16, 18	coeq12d 5848	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → ((1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ∘ (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)) = (𝐹 ∘ 𝐺))
20		op2ndg 8002	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) → (2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) = 𝑄)
21	20	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) = 𝑄)
22		op2ndg 8002	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸) → (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩) = 𝑅)
23	22	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩) = 𝑅)
24	21, 23	oveq12d 7434	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → ((2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ⨣ (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)) = (𝑄 ⨣ 𝑅))
25	19, 24	opeq12d 4844	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → ⟨((1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ∘ (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)), ((2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ⨣ (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩))⟩ = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄 ⨣ 𝑅)⟩)
26	14, 25	eqtrd 2797	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐸) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑅 ∈ 𝐸)) → (⟨𝐹, 𝑄⟩ + ⟨𝐺, 𝑅⟩) = ⟨(𝐹 ∘ 𝐺), (𝑄 ⨣ 𝑅)⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4593   × cxp 5657   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1^st c1st 7987  2^nd c2nd 7988  +_gcplusg 17346  Scalarcsca 17349  HLchlt 40210  LHypclh 40844  LTrncltrn 40961  TEndoctendo 41612  DVecHcdvh 41938

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-edring 41617  df-dvech 41939

This theorem is used by:  dvhopvadd2  41954  dvhgrp  41967  dvh0g  41971  diblsmopel  42031  cdlemn4  42058  cdlemn6  42062  dihopelvalcpre  42108