Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhopvadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhopvadd 38871
Description: The vector sum operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhvadd.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhvadd.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhvadd.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhvadd.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhvadd.f 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dvhvadd.s + = (+g𝑈)
dvhvadd.p = (+g𝐷)
Assertion
Ref Expression
dvhopvadd (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → (⟨𝐹, 𝑄+𝐺, 𝑅⟩) = ⟨(𝐹𝐺), (𝑄 𝑅)⟩)

Proof of Theorem dvhopvadd
StepHypRef Expression
1 simp1 1138 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 opelxpi 5603 . . . 4 ((𝐹𝑇𝑄𝐸) → ⟨𝐹, 𝑄⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
323ad2ant2 1136 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → ⟨𝐹, 𝑄⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
4 opelxpi 5603 . . . 4 ((𝐺𝑇𝑅𝐸) → ⟨𝐺, 𝑅⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
543ad2ant3 1137 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → ⟨𝐺, 𝑅⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
6 dvhvadd.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 dvhvadd.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 dvhvadd.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9 dvhvadd.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 dvhvadd.f . . . 4 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
11 dvhvadd.s . . . 4 + = (+g𝑈)
12 dvhvadd.p . . . 4 = (+g𝐷)
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12dvhvadd 38870 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (⟨𝐹, 𝑄⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ⟨𝐺, 𝑅⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (⟨𝐹, 𝑄+𝐺, 𝑅⟩) = ⟨((1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ∘ (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)), ((2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩))⟩)
141, 3, 5, 13syl12anc 837 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → (⟨𝐹, 𝑄+𝐺, 𝑅⟩) = ⟨((1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ∘ (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)), ((2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩))⟩)
15 op1stg 7792 . . . . 5 ((𝐹𝑇𝑄𝐸) → (1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) = 𝐹)
16153ad2ant2 1136 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → (1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) = 𝐹)
17 op1stg 7792 . . . . 5 ((𝐺𝑇𝑅𝐸) → (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩) = 𝐺)
18173ad2ant3 1137 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩) = 𝐺)
1916, 18coeq12d 5748 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → ((1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ∘ (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)) = (𝐹𝐺))
20 op2ndg 7793 . . . . 5 ((𝐹𝑇𝑄𝐸) → (2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) = 𝑄)
21203ad2ant2 1136 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → (2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) = 𝑄)
22 op2ndg 7793 . . . . 5 ((𝐺𝑇𝑅𝐸) → (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩) = 𝑅)
23223ad2ant3 1137 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩) = 𝑅)
2421, 23oveq12d 7250 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → ((2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)) = (𝑄 𝑅))
2519, 24opeq12d 4807 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → ⟨((1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ∘ (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)), ((2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩))⟩ = ⟨(𝐹𝐺), (𝑄 𝑅)⟩)
2614, 25eqtrd 2778 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → (⟨𝐹, 𝑄+𝐺, 𝑅⟩) = ⟨(𝐹𝐺), (𝑄 𝑅)⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2111  cop 4562   × cxp 5564  ccom 5570  cfv 6398  (class class class)co 7232  1st c1st 7778  2nd c2nd 7779  +gcplusg 16827  Scalarcsca 16830  HLchlt 37128  LHypclh 37762  LTrncltrn 37879  TEndoctendo 38530  DVecHcdvh 38856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5194  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-1cn 10812  ax-icn 10813  ax-addcl 10814  ax-addrcl 10815  ax-mulcl 10816  ax-mulrcl 10817  ax-mulcom 10818  ax-addass 10819  ax-mulass 10820  ax-distr 10821  ax-i2m1 10822  ax-1ne0 10823  ax-1rid 10824  ax-rnegex 10825  ax-rrecex 10826  ax-cnre 10827  ax-pre-lttri 10828  ax-pre-lttrn 10829  ax-pre-ltadd 10830  ax-pre-mulgt0 10831
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-riota 7189  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-om 7664  df-1st 7780  df-2nd 7781  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-1o 8223  df-er 8412  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-fin 8651  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-sub 11089  df-neg 11090  df-nn 11856  df-2 11918  df-3 11919  df-4 11920  df-5 11921  df-6 11922  df-n0 12116  df-z 12202  df-uz 12464  df-fz 13121  df-struct 16725  df-slot 16760  df-ndx 16770  df-base 16786  df-plusg 16840  df-mulr 16841  df-sca 16843  df-vsca 16844  df-edring 38535  df-dvech 38857
This theorem is referenced by:  dvhopvadd2  38872  dvhgrp  38885  dvh0g  38889  diblsmopel  38949  cdlemn4  38976  cdlemn6  38980  dihopelvalcpre  39026
  Copyright terms: Public domain W3C validator