Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhopvadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhopvadd 41095
Description: The vector sum operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhvadd.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhvadd.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhvadd.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhvadd.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhvadd.f 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dvhvadd.s + = (+g𝑈)
dvhvadd.p = (+g𝐷)
Assertion
Ref Expression
dvhopvadd (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → (⟨𝐹, 𝑄+𝐺, 𝑅⟩) = ⟨(𝐹𝐺), (𝑄 𝑅)⟩)

Proof of Theorem dvhopvadd
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 opelxpi 5722 . . . 4 ((𝐹𝑇𝑄𝐸) → ⟨𝐹, 𝑄⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
323ad2ant2 1135 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → ⟨𝐹, 𝑄⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
4 opelxpi 5722 . . . 4 ((𝐺𝑇𝑅𝐸) → ⟨𝐺, 𝑅⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
543ad2ant3 1136 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → ⟨𝐺, 𝑅⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
6 dvhvadd.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 dvhvadd.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 dvhvadd.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9 dvhvadd.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 dvhvadd.f . . . 4 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
11 dvhvadd.s . . . 4 + = (+g𝑈)
12 dvhvadd.p . . . 4 = (+g𝐷)
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12dvhvadd 41094 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (⟨𝐹, 𝑄⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ ⟨𝐺, 𝑅⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (⟨𝐹, 𝑄+𝐺, 𝑅⟩) = ⟨((1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ∘ (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)), ((2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩))⟩)
141, 3, 5, 13syl12anc 837 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → (⟨𝐹, 𝑄+𝐺, 𝑅⟩) = ⟨((1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ∘ (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)), ((2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩))⟩)
15 op1stg 8026 . . . . 5 ((𝐹𝑇𝑄𝐸) → (1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) = 𝐹)
16153ad2ant2 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → (1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) = 𝐹)
17 op1stg 8026 . . . . 5 ((𝐺𝑇𝑅𝐸) → (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩) = 𝐺)
18173ad2ant3 1136 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩) = 𝐺)
1916, 18coeq12d 5875 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → ((1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ∘ (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)) = (𝐹𝐺))
20 op2ndg 8027 . . . . 5 ((𝐹𝑇𝑄𝐸) → (2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) = 𝑄)
21203ad2ant2 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → (2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) = 𝑄)
22 op2ndg 8027 . . . . 5 ((𝐺𝑇𝑅𝐸) → (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩) = 𝑅)
23223ad2ant3 1136 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩) = 𝑅)
2421, 23oveq12d 7449 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → ((2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)) = (𝑄 𝑅))
2519, 24opeq12d 4881 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → ⟨((1st ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) ∘ (1st ‘⟨𝐺, 𝑅⟩)), ((2nd ‘⟨𝐹, 𝑄⟩) (2nd ‘⟨𝐺, 𝑅⟩))⟩ = ⟨(𝐹𝐺), (𝑄 𝑅)⟩)
2614, 25eqtrd 2777 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑄𝐸) ∧ (𝐺𝑇𝑅𝐸)) → (⟨𝐹, 𝑄+𝐺, 𝑅⟩) = ⟨(𝐹𝐺), (𝑄 𝑅)⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cop 4632   × cxp 5683  ccom 5689  cfv 6561  (class class class)co 7431  1st c1st 8012  2nd c2nd 8013  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103  TEndoctendo 40754  DVecHcdvh 41080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-edring 40759  df-dvech 41081
This theorem is referenced by:  dvhopvadd2  41096  dvhgrp  41109  dvh0g  41113  diblsmopel  41173  cdlemn4  41200  cdlemn6  41204  dihopelvalcpre  41250
  Copyright terms: Public domain W3C validator