Theorem efmndsgrp 18933

Description: The monoid of endofunctions on a class 𝐴 is a semigroup. (Contributed by AV, 28-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
efmndmgm.g	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
efmndsgrp	⊢ 𝐺 ∈ Smgrp

Proof of Theorem efmndsgrp

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efmndmgm.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	efmndmgm 18932	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ Mgm
3		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5	1, 3, 4	efmndcl 18929	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
6	1, 3, 4	efmndov 18928	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
7	5, 6	symggrplem 18931	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ℎ ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑓(+g‘𝐺)𝑔)(+g‘𝐺)ℎ) = (𝑓(+g‘𝐺)(𝑔(+g‘𝐺)ℎ)))
8	7	rgen3 3210	. 2 ⊢ ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑔 ∈ (Base‘𝐺)∀ℎ ∈ (Base‘𝐺)((𝑓(+g‘𝐺)𝑔)(+g‘𝐺)ℎ) = (𝑓(+g‘𝐺)(𝑔(+g‘𝐺)ℎ))
9	3, 4	issgrp 18766	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Smgrp ↔ (𝐺 ∈ Mgm ∧ ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑔 ∈ (Base‘𝐺)∀ℎ ∈ (Base‘𝐺)((𝑓(+g‘𝐺)𝑔)(+g‘𝐺)ℎ) = (𝑓(+g‘𝐺)(𝑔(+g‘𝐺)ℎ))))
10	2, 8, 9	mpbir2an 723	1 ⊢ 𝐺 ∈ Smgrp

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  +_gcplusg 17298  Mgmcmgm 18684  Smgrpcsgrp 18764  EndoFMndcefmnd 18915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-efmnd 18916

This theorem is referenced by:  efmndmnd  18936