Theorem efmndsgrp 18696

Description: The monoid of endofunctions on a class 𝐴 is a semigroup. (Contributed by AV, 28-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
efmndmgm.g	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
efmndsgrp	⊢ 𝐺 ∈ Smgrp

Proof of Theorem efmndsgrp

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efmndmgm.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	efmndmgm 18695	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ Mgm
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5	1, 3, 4	efmndcl 18692	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
6	1, 3, 4	efmndov 18691	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
7	5, 6	symggrplem 18694	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ℎ ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑓(+g‘𝐺)𝑔)(+g‘𝐺)ℎ) = (𝑓(+g‘𝐺)(𝑔(+g‘𝐺)ℎ)))
8	7	rgen3 3199	. 2 ⊢ ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑔 ∈ (Base‘𝐺)∀ℎ ∈ (Base‘𝐺)((𝑓(+g‘𝐺)𝑔)(+g‘𝐺)ℎ) = (𝑓(+g‘𝐺)(𝑔(+g‘𝐺)ℎ))
9	3, 4	issgrp 18547	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Smgrp ↔ (𝐺 ∈ Mgm ∧ ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑔 ∈ (Base‘𝐺)∀ℎ ∈ (Base‘𝐺)((𝑓(+g‘𝐺)𝑔)(+g‘𝐺)ℎ) = (𝑓(+g‘𝐺)(𝑔(+g‘𝐺)ℎ))))
10	2, 8, 9	mpbir2an 709	1 ⊢ 𝐺 ∈ Smgrp

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  Mgmcmgm 18495  Smgrpcsgrp 18545  EndoFMndcefmnd 18678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-tset 17152  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-efmnd 18679

This theorem is referenced by:  efmndmnd  18699