Theorem efmndsgrp 18553

Description: The monoid of endofunctions on a class 𝐴 is a semigroup. (Contributed by AV, 28-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
efmndmgm.g	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
efmndsgrp	⊢ 𝐺 ∈ Smgrp

Proof of Theorem efmndsgrp

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efmndmgm.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	efmndmgm 18552	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ Mgm
3		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5	1, 3, 4	efmndcl 18549	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
6	1, 3, 4	efmndov 18548	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
7	5, 6	symggrplem 18551	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ℎ ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑓(+g‘𝐺)𝑔)(+g‘𝐺)ℎ) = (𝑓(+g‘𝐺)(𝑔(+g‘𝐺)ℎ)))
8	7	rgen3 3193	. 2 ⊢ ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑔 ∈ (Base‘𝐺)∀ℎ ∈ (Base‘𝐺)((𝑓(+g‘𝐺)𝑔)(+g‘𝐺)ℎ) = (𝑓(+g‘𝐺)(𝑔(+g‘𝐺)ℎ))
9	3, 4	issgrp 18404	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Smgrp ↔ (𝐺 ∈ Mgm ∧ ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑔 ∈ (Base‘𝐺)∀ℎ ∈ (Base‘𝐺)((𝑓(+g‘𝐺)𝑔)(+g‘𝐺)ℎ) = (𝑓(+g‘𝐺)(𝑔(+g‘𝐺)ℎ))))
10	2, 8, 9	mpbir2an 707	1 ⊢ 𝐺 ∈ Smgrp

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2101  ∀wral 3059  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295  Basecbs 16940  +_gcplusg 16990  Mgmcmgm 18352  Smgrpcsgrp 18402  EndoFMndcefmnd 18535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-er 8518  df-map 8637  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-7 12069  df-8 12070  df-9 12071  df-n0 12262  df-z 12348  df-uz 12611  df-fz 13268  df-struct 16876  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-plusg 17003  df-tset 17009  df-mgm 18354  df-sgrp 18403  df-efmnd 18536

This theorem is referenced by:  efmndmnd  18556