MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcfac 16828
Description: Calculate the prime count of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcfac ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
Distinct variable groups:   ๐‘ƒ,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘   ๐‘˜,๐‘€

Proof of Theorem pcfac
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ฅ) = (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
2 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜0))
32oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜0)))
4 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (โŒŠโ€˜(0 / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
54sumeq2sdv 15646 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(0 / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
63, 5eqeq12d 2748 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘ฅ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†” (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜0)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(0 / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
71, 6raleqbidv 3342 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ฅ)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘ฅ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜0)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(0 / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
87imbi2d 340 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ฅ)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘ฅ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜0)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(0 / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
9 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ฅ) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))
10 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐‘›))
1110oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘›)))
12 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
1312sumeq2sdv 15646 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
1411, 13eqeq12d 2748 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘ฅ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†” (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘›)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
159, 14raleqbidv 3342 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ฅ)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘ฅ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘›)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
1615imbi2d 340 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ฅ)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘ฅ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘›)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
17 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ฅ) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1)))
18 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜(๐‘› + 1)))
1918oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘› + 1))))
20 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
2120sumeq2sdv 15646 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
2219, 21eqeq12d 2748 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘ฅ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†” (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘› + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
2317, 22raleqbidv 3342 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ฅ)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘ฅ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘› + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
2423imbi2d 340 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ฅ)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘ฅ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘› + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
25 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ฅ) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
26 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘ฅ) = (!โ€˜๐‘))
2726oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)))
28 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
2928sumeq2sdv 15646 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
3027, 29eqeq12d 2748 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘ฅ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†” (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
3125, 30raleqbidv 3342 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ฅ)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘ฅ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
3231imbi2d 340 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ฅ)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘ฅ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
33 fzfid 13934 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)) โ†’ (1...๐‘š) โˆˆ Fin)
34 sumz 15664 . . . . . . . . . 10 (((1...๐‘š) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆจ (1...๐‘š) โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)0 = 0)
3534olcs 874 . . . . . . . . 9 ((1...๐‘š) โˆˆ Fin โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)0 = 0)
3633, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)0 = 0)
37 0nn0 12483 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„•0
38 elfznn 13526 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
3938nnnn0d 12528 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
40 nn0uz 12860 . . . . . . . . . . . 12 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
4139, 40eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
4241adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
43 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
44 pcfaclem 16827 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (โŒŠโ€˜(0 / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = 0)
4537, 42, 43, 44mp3an2i 1466 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (โŒŠโ€˜(0 / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = 0)
4645sumeq2dv 15645 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(0 / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)0)
47 fac0 14232 . . . . . . . . . . 11 (!โ€˜0) = 1
4847oveq2i 7416 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜0)) = (๐‘ƒ pCnt 1)
49 pc1 16784 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ pCnt 1) = 0)
5048, 49eqtrid 2784 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜0)) = 0)
5150adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜0)) = 0)
5236, 46, 513eqtr4rd 2783 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜0)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(0 / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
5352ralrimiva 3146 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜0)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(0 / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
54 nn0z 12579 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
5554adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
56 uzid 12833 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))
57 peano2uz 12881 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))
5855, 56, 573syl 18 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))
59 uzss 12841 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›) โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1)) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))
60 ssralv 4049 . . . . . . . . . 10 ((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1)) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘›)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘›)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
6158, 59, 603syl 18 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘›)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘›)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
62 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘›)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘›)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))))
63 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
64 facp1 14234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘› + 1)) = ((!โ€˜๐‘›) ยท (๐‘› + 1)))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (!โ€˜(๐‘› + 1)) = ((!โ€˜๐‘›) ยท (๐‘› + 1)))
6665oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘› + 1))) = (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜๐‘›) ยท (๐‘› + 1))))
67 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
68 faccl 14239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„•)
69 nnz 12575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((!โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„ค)
70 nnne0 12242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((!โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘›) โ‰  0)
7169, 70jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((!โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐‘›) โ‰  0))
7263, 68, 713syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ((!โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐‘›) โ‰  0))
73 nn0p1nn 12507 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
74 nnz 12575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘› + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„ค)
75 nnne0 12242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘› + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› + 1) โ‰  0)
7674, 75jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› + 1) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘› + 1) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› + 1) โ‰  0))
7763, 73, 763syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ((๐‘› + 1) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› + 1) โ‰  0))
78 pcmul 16780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ((!โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„ค โˆง (!โ€˜๐‘›) โ‰  0) โˆง ((๐‘› + 1) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› + 1) โ‰  0)) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜๐‘›) ยท (๐‘› + 1))) = ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘›)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))))
7967, 72, 77, 78syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt ((!โ€˜๐‘›) ยท (๐‘› + 1))) = ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘›)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))))
8066, 79eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘›)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))) = (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘› + 1))))
8163adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
8281nn0zd 12580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
83 prmnn 16607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
8483ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
85 nnexpcl 14036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
8684, 39, 85syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
87 fldivp1 16826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = if((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆฅ (๐‘› + 1), 1, 0))
8882, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = if((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆฅ (๐‘› + 1), 1, 0))
89 elfzuz 13493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
9063, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
9167, 90pccld 16779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„•0)
9291nn0zd 12580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„ค)
93 elfz5 13489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))) โ†” ๐‘˜ โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))))
9489, 92, 93syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))) โ†” ๐‘˜ โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))))
95 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
9681, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
9796nnzd 12581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„ค)
9839adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
99 pcdvdsb 16798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆฅ (๐‘› + 1)))
10095, 97, 98, 99syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)) โ†” (๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆฅ (๐‘› + 1)))
10194, 100bitr2d 279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆฅ (๐‘› + 1) โ†” ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)))))
102101ifbid 4550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ if((๐‘ƒโ†‘๐‘˜) โˆฅ (๐‘› + 1), 1, 0) = if(๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))), 1, 0))
10388, 102eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = if(๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))), 1, 0))
104103sumeq2dv 15645 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)((โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)if(๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))), 1, 0))
105 fzfid 13934 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (1...๐‘š) โˆˆ Fin)
10663nn0red 12529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
107 peano2re 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘› โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„)
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„)
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„)
110109, 86nndivred 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
111110flcld 13759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ค)
112111zcnd 12663 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
113106adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
114113, 86nndivred 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
115114flcld 13759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„ค)
116115zcnd 12663 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
117105, 112, 116fsumsub 15730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)((โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
118 fzfi 13933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...๐‘š) โˆˆ Fin
11991nn0red 12529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„)
120 eluzelz 12828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
121120adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
122121zred 12662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
123 prmuz2 16629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
124123ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
12590nnnn0d 12528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•0)
126 bernneq3 14190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘› + 1) < (๐‘ƒโ†‘(๐‘› + 1)))
127124, 125, 126syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘› + 1) < (๐‘ƒโ†‘(๐‘› + 1)))
128119, 108letrid 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)) โ‰ค (๐‘› + 1) โˆจ (๐‘› + 1) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))))
129128ord 862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (ยฌ (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)) โ‰ค (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘› + 1) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))))
13090nnzd 12581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„ค)
131 pcdvdsb 16798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› + 1) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)) โ†” (๐‘ƒโ†‘(๐‘› + 1)) โˆฅ (๐‘› + 1)))
13267, 130, 125, 131syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ((๐‘› + 1) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)) โ†” (๐‘ƒโ†‘(๐‘› + 1)) โˆฅ (๐‘› + 1)))
13384, 125nnexpcld 14204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„•)
134133nnzd 12581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„ค)
135 dvdsle 16249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐‘ƒโ†‘(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘› + 1)) โˆฅ (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘› + 1)) โ‰ค (๐‘› + 1)))
136134, 90, 135syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘› + 1)) โˆฅ (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘› + 1)) โ‰ค (๐‘› + 1)))
137133nnred 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘› + 1)) โˆˆ โ„)
138137, 108lenltd 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘› + 1)) โ‰ค (๐‘› + 1) โ†” ยฌ (๐‘› + 1) < (๐‘ƒโ†‘(๐‘› + 1))))
139136, 138sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘› + 1)) โˆฅ (๐‘› + 1) โ†’ ยฌ (๐‘› + 1) < (๐‘ƒโ†‘(๐‘› + 1))))
140132, 139sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ((๐‘› + 1) โ‰ค (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)) โ†’ ยฌ (๐‘› + 1) < (๐‘ƒโ†‘(๐‘› + 1))))
141129, 140syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (ยฌ (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)) โ‰ค (๐‘› + 1) โ†’ ยฌ (๐‘› + 1) < (๐‘ƒโ†‘(๐‘› + 1))))
142127, 141mt4d 117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)) โ‰ค (๐‘› + 1))
143 eluzle 12831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1)) โ†’ (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘š)
144143adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘› + 1) โ‰ค ๐‘š)
145119, 108, 122, 142, 144letrd 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)) โ‰ค ๐‘š)
146 eluz 12832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))) โ†” (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)) โ‰ค ๐‘š))
14792, 121, 146syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))) โ†” (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)) โ‰ค ๐‘š))
148145, 147mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))))
149 fzss2 13537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))) โ†’ (1...(๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))) โŠ† (1...๐‘š))
150148, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (1...(๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))) โŠ† (1...๐‘š))
151 sumhash 16825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1...๐‘š) โˆˆ Fin โˆง (1...(๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))) โŠ† (1...๐‘š)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)if(๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))), 1, 0) = (โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)))))
152118, 150, 151sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)if(๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))), 1, 0) = (โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)))))
153 hashfz1 14302 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)))) = (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)))
15491, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...(๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)))) = (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)))
155152, 154eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)if(๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))), 1, 0) = (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)))
156104, 117, 1553eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)))
157105, 112fsumcl 15675 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
158105, 116fsumcl 15675 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
159119recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)) โˆˆ โ„‚)
160157, 158, 159subaddd 11585 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) = (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1)) โ†” (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
161156, 160mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
16280, 161eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ (((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘›)) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) + (๐‘ƒ pCnt (๐‘› + 1))) โ†” (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘› + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
16362, 162imbitrid 243 . . . . . . . . . 10 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โˆง ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘›)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘› + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
164163ralimdva 3167 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘›)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘› + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
16561, 164syld 47 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘›)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘› + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
166165ex 413 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘›)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘› + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
167166a2d 29 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘›)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘› / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜(๐‘› + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜((๐‘› + 1) / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))))
1688, 16, 24, 32, 53, 167nn0ind 12653 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
169168imp 407 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
170 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (1...๐‘š) = (1...๐‘€))
171170sumeq1d 15643 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
172171eqeq2d 2743 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†” (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
173172rspcv 3608 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)(๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘š)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
174169, 173syl5 34 . . 3 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜)))))
1751743impib 1116 . 2 ((๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
1761753com12 1123 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ pCnt (!โ€˜๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘ƒโ†‘๐‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061   โŠ† wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  2c2 12263  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ„คโ‰ฅcuz 12818  ...cfz 13480  โŒŠcfl 13751  โ†‘cexp 14023  !cfa 14229  โ™ฏchash 14286  ฮฃcsu 15628   โˆฅ cdvds 16193  โ„™cprime 16604   pCnt cpc 16765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-pc 16766
This theorem is referenced by:  pcbc  16829
  Copyright terms: Public domain W3C validator