MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumvma2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumvma2 27272
Description: Apply fsumvma 27271 for the common case of all numbers less than a real number 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumvma2.1 (𝑥 = (𝑝𝑘) → 𝐵 = 𝐶)
fsumvma2.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fsumvma2.3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumvma2.4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (Λ‘𝑥) = 0)) → 𝐵 = 0)
Assertion
Ref Expression
fsumvma2 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴))𝐵 = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))𝐶)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑝,𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑘,𝑝,𝑥   𝐵,𝑘,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘,𝑝)

Proof of Theorem fsumvma2
StepHypRef Expression
1 fsumvma2.1 . 2 (𝑥 = (𝑝𝑘) → 𝐵 = 𝐶)
2 fzfid 14010 . 2 (𝜑 → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
3 fz1ssnn 13591 . . 3 (1...(⌊‘𝐴)) ⊆ ℕ
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (1...(⌊‘𝐴)) ⊆ ℕ)
5 fsumvma2.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 ppifi 27163 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
75, 6syl 17 . 2 (𝜑 → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
8 elinel2 4211 . . . . 5 (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
9 elfznn 13589 . . . . 5 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
108, 9anim12i 613 . . . 4 ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
1110pm4.71ri 560 . . 3 ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))))
125adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 prmnn 16707 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
1413ad2antrl 728 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
15 nnnn0 12530 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
1615ad2antll 729 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1714, 16nnexpcld 14280 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
1817nnzd 12637 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝𝑘) ∈ ℤ)
19 flge 13841 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑝𝑘) ∈ ℤ) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴 ↔ (𝑝𝑘) ≤ (⌊‘𝐴)))
2012, 18, 19syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴 ↔ (𝑝𝑘) ≤ (⌊‘𝐴)))
21 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑝 ∈ ℙ)
2221, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑝 ∈ ℕ)
2322nnrpd 13072 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
24 simplrr 778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2524nnzd 12637 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑘 ∈ ℤ)
26 relogexp 26652 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (log‘(𝑝𝑘)) = (𝑘 · (log‘𝑝)))
2723, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (log‘(𝑝𝑘)) = (𝑘 · (log‘𝑝)))
2827breq1d 5157 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((log‘(𝑝𝑘)) ≤ (log‘𝐴) ↔ (𝑘 · (log‘𝑝)) ≤ (log‘𝐴)))
2924nnred 12278 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑘 ∈ ℝ)
3012adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
31 0red 11261 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
3214nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑝 ∈ ℝ)
3422nngt0d 12312 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 0 < 𝑝)
35 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ∈ ℝ)
3614nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ0)
3736nn0ge0d 12587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ≤ 𝑝)
38 elicc2 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝𝑝𝐴)))
39 df-3an 1088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝𝑝𝐴) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝) ∧ 𝑝𝐴))
4038, 39bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝) ∧ 𝑝𝐴)))
4140baibd 539 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝)) → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ 𝑝𝐴))
4235, 12, 32, 37, 41syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ 𝑝𝐴))
4342biimpa 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑝𝐴)
4431, 33, 30, 34, 43ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 0 < 𝐴)
4530, 44elrpd 13071 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
4645relogcld 26679 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
47 prmuz2 16729 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
48 eluzelre 12886 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) → 𝑝 ∈ ℝ)
49 eluz2gt1 12959 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑝)
5048, 49rplogcld 26685 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
5121, 47, 503syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
5229, 46, 51lemuldivd 13123 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((𝑘 · (log‘𝑝)) ≤ (log‘𝐴) ↔ 𝑘 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))
5346, 51rerpdivcld 13105 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ)
54 flge 13841 . . . . . . . . . 10 ((((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
5553, 25, 54syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑘 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
5628, 52, 553bitrd 305 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((log‘(𝑝𝑘)) ≤ (log‘𝐴) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
5717adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
5857nnrpd 13072 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑝𝑘) ∈ ℝ+)
5958, 45logled 26683 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴 ↔ (log‘(𝑝𝑘)) ≤ (log‘𝐴)))
60 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
61 nnuz 12918 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
6260, 61eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
6362adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
6453flcld 13834 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℤ)
65 elfz5 13552 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
6663, 64, 65syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
6756, 59, 663bitr4d 311 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))))
6867pm5.32da 579 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ (𝑝𝑘) ≤ 𝐴) ↔ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))))
6914nncnd 12279 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℂ)
7069exp1d 14177 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) = 𝑝)
7114nnge1d 12311 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 1 ≤ 𝑝)
7232, 71, 62leexp2ad 14289 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) ≤ (𝑝𝑘))
7370, 72eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑝 ≤ (𝑝𝑘))
7417nnred 12278 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝𝑘) ∈ ℝ)
75 letr 11352 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ (𝑝𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑝 ≤ (𝑝𝑘) ∧ (𝑝𝑘) ≤ 𝐴) → 𝑝𝐴))
7632, 74, 12, 75syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝 ≤ (𝑝𝑘) ∧ (𝑝𝑘) ≤ 𝐴) → 𝑝𝐴))
7773, 76mpand 695 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴𝑝𝐴))
7877, 42sylibrd 259 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴𝑝 ∈ (0[,]𝐴)))
7978pm4.71rd 562 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴 ↔ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ (𝑝𝑘) ≤ 𝐴)))
80 elin 3978 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ↔ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ))
8180rbaib 538 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ↔ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)))
8281ad2antrl 728 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ↔ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)))
8382anbi1d 631 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) ↔ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))))
8468, 79, 833bitr4rd 312 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) ↔ (𝑝𝑘) ≤ 𝐴))
8517, 61eleqtrdi 2848 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝𝑘) ∈ (ℤ‘1))
8612flcld 13834 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
87 elfz5 13552 . . . . . 6 (((𝑝𝑘) ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑝𝑘) ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑝𝑘) ≤ (⌊‘𝐴)))
8885, 86, 87syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑝𝑘) ≤ (⌊‘𝐴)))
8920, 84, 883bitr4d 311 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) ↔ (𝑝𝑘) ∈ (1...(⌊‘𝐴))))
9089pm5.32da 579 . . 3 (𝜑 → (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ (1...(⌊‘𝐴)))))
9111, 90bitrid 283 . 2 (𝜑 → ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ (1...(⌊‘𝐴)))))
92 fsumvma2.3 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
93 fsumvma2.4 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (Λ‘𝑥) = 0)) → 𝐵 = 0)
941, 2, 4, 7, 91, 92, 93fsumvma 27271 1 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴))𝐵 = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  cin 3961  wss 3962   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157  cle 11293   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  [,]cicc 13386  ...cfz 13543  cfl 13826  cexp 14098  Σcsu 15718  cprime 16704  logclog 26610  Λcvma 27149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-pc 16870  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-vma 27155
This theorem is referenced by:  chpval2  27276  rplogsumlem2  27543  rpvmasumlem  27545
  Copyright terms: Public domain W3C validator