MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumvma2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumvma2 27258
Description: Apply fsumvma 27257 for the common case of all numbers less than a real number 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumvma2.1 (𝑥 = (𝑝𝑘) → 𝐵 = 𝐶)
fsumvma2.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fsumvma2.3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumvma2.4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (Λ‘𝑥) = 0)) → 𝐵 = 0)
Assertion
Ref Expression
fsumvma2 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴))𝐵 = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))𝐶)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑝,𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑘,𝑝,𝑥   𝐵,𝑘,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘,𝑝)

Proof of Theorem fsumvma2
StepHypRef Expression
1 fsumvma2.1 . 2 (𝑥 = (𝑝𝑘) → 𝐵 = 𝐶)
2 fzfid 14014 . 2 (𝜑 → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
3 fz1ssnn 13595 . . 3 (1...(⌊‘𝐴)) ⊆ ℕ
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (1...(⌊‘𝐴)) ⊆ ℕ)
5 fsumvma2.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 ppifi 27149 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
75, 6syl 17 . 2 (𝜑 → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
8 elinel2 4202 . . . . 5 (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
9 elfznn 13593 . . . . 5 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
108, 9anim12i 613 . . . 4 ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
1110pm4.71ri 560 . . 3 ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))))
125adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 prmnn 16711 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
1413ad2antrl 728 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
15 nnnn0 12533 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
1615ad2antll 729 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1714, 16nnexpcld 14284 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
1817nnzd 12640 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝𝑘) ∈ ℤ)
19 flge 13845 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑝𝑘) ∈ ℤ) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴 ↔ (𝑝𝑘) ≤ (⌊‘𝐴)))
2012, 18, 19syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴 ↔ (𝑝𝑘) ≤ (⌊‘𝐴)))
21 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑝 ∈ ℙ)
2221, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑝 ∈ ℕ)
2322nnrpd 13075 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
24 simplrr 778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2524nnzd 12640 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑘 ∈ ℤ)
26 relogexp 26638 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (log‘(𝑝𝑘)) = (𝑘 · (log‘𝑝)))
2723, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (log‘(𝑝𝑘)) = (𝑘 · (log‘𝑝)))
2827breq1d 5153 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((log‘(𝑝𝑘)) ≤ (log‘𝐴) ↔ (𝑘 · (log‘𝑝)) ≤ (log‘𝐴)))
2924nnred 12281 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑘 ∈ ℝ)
3012adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
31 0red 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
3214nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑝 ∈ ℝ)
3422nngt0d 12315 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 0 < 𝑝)
35 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ∈ ℝ)
3614nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ0)
3736nn0ge0d 12590 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ≤ 𝑝)
38 elicc2 13452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝𝑝𝐴)))
39 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝𝑝𝐴) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝) ∧ 𝑝𝐴))
4038, 39bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝) ∧ 𝑝𝐴)))
4140baibd 539 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝)) → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ 𝑝𝐴))
4235, 12, 32, 37, 41syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ 𝑝𝐴))
4342biimpa 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑝𝐴)
4431, 33, 30, 34, 43ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 0 < 𝐴)
4530, 44elrpd 13074 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
4645relogcld 26665 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
47 prmuz2 16733 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
48 eluzelre 12889 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) → 𝑝 ∈ ℝ)
49 eluz2gt1 12962 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑝)
5048, 49rplogcld 26671 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
5121, 47, 503syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
5229, 46, 51lemuldivd 13126 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((𝑘 · (log‘𝑝)) ≤ (log‘𝐴) ↔ 𝑘 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))
5346, 51rerpdivcld 13108 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ)
54 flge 13845 . . . . . . . . . 10 ((((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
5553, 25, 54syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑘 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
5628, 52, 553bitrd 305 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((log‘(𝑝𝑘)) ≤ (log‘𝐴) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
5717adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
5857nnrpd 13075 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑝𝑘) ∈ ℝ+)
5958, 45logled 26669 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴 ↔ (log‘(𝑝𝑘)) ≤ (log‘𝐴)))
60 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
61 nnuz 12921 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
6260, 61eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
6362adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
6453flcld 13838 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℤ)
65 elfz5 13556 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
6663, 64, 65syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
6756, 59, 663bitr4d 311 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))))
6867pm5.32da 579 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ (𝑝𝑘) ≤ 𝐴) ↔ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))))
6914nncnd 12282 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℂ)
7069exp1d 14181 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) = 𝑝)
7114nnge1d 12314 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 1 ≤ 𝑝)
7232, 71, 62leexp2ad 14293 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) ≤ (𝑝𝑘))
7370, 72eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑝 ≤ (𝑝𝑘))
7417nnred 12281 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝𝑘) ∈ ℝ)
75 letr 11355 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ (𝑝𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑝 ≤ (𝑝𝑘) ∧ (𝑝𝑘) ≤ 𝐴) → 𝑝𝐴))
7632, 74, 12, 75syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝 ≤ (𝑝𝑘) ∧ (𝑝𝑘) ≤ 𝐴) → 𝑝𝐴))
7773, 76mpand 695 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴𝑝𝐴))
7877, 42sylibrd 259 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴𝑝 ∈ (0[,]𝐴)))
7978pm4.71rd 562 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴 ↔ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ (𝑝𝑘) ≤ 𝐴)))
80 elin 3967 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ↔ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ))
8180rbaib 538 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ↔ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)))
8281ad2antrl 728 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ↔ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)))
8382anbi1d 631 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) ↔ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))))
8468, 79, 833bitr4rd 312 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) ↔ (𝑝𝑘) ≤ 𝐴))
8517, 61eleqtrdi 2851 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝𝑘) ∈ (ℤ‘1))
8612flcld 13838 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
87 elfz5 13556 . . . . . 6 (((𝑝𝑘) ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑝𝑘) ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑝𝑘) ≤ (⌊‘𝐴)))
8885, 86, 87syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑝𝑘) ≤ (⌊‘𝐴)))
8920, 84, 883bitr4d 311 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) ↔ (𝑝𝑘) ∈ (1...(⌊‘𝐴))))
9089pm5.32da 579 . . 3 (𝜑 → (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ (1...(⌊‘𝐴)))))
9111, 90bitrid 283 . 2 (𝜑 → ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ (1...(⌊‘𝐴)))))
92 fsumvma2.3 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
93 fsumvma2.4 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (Λ‘𝑥) = 0)) → 𝐵 = 0)
941, 2, 4, 7, 91, 92, 93fsumvma 27257 1 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴))𝐵 = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  cle 11296   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  [,]cicc 13390  ...cfz 13547  cfl 13830  cexp 14102  Σcsu 15722  cprime 16708  logclog 26596  Λcvma 27135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-vma 27141
This theorem is referenced by:  chpval2  27262  rplogsumlem2  27529  rpvmasumlem  27531
  Copyright terms: Public domain W3C validator