Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumvma2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumvma2 25898
 Description: Apply fsumvma 25897 for the common case of all numbers less than a real number 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumvma2.1 (𝑥 = (𝑝𝑘) → 𝐵 = 𝐶)
fsumvma2.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fsumvma2.3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumvma2.4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (Λ‘𝑥) = 0)) → 𝐵 = 0)
Assertion
Ref Expression
fsumvma2 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴))𝐵 = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))𝐶)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑝,𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑘,𝑝,𝑥   𝐵,𝑘,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘,𝑝)

Proof of Theorem fsumvma2
StepHypRef Expression
1 fsumvma2.1 . 2 (𝑥 = (𝑝𝑘) → 𝐵 = 𝐶)
2 fzfid 13391 . 2 (𝜑 → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
3 fz1ssnn 12988 . . 3 (1...(⌊‘𝐴)) ⊆ ℕ
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (1...(⌊‘𝐴)) ⊆ ℕ)
5 fsumvma2.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 ppifi 25791 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
75, 6syl 17 . 2 (𝜑 → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
8 elinel2 4102 . . . . 5 (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
9 elfznn 12986 . . . . 5 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
108, 9anim12i 616 . . . 4 ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
1110pm4.71ri 565 . . 3 ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))))
125adantr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 prmnn 16071 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
1413ad2antrl 728 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
15 nnnn0 11942 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
1615ad2antll 729 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1714, 16nnexpcld 13657 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
1817nnzd 12126 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝𝑘) ∈ ℤ)
19 flge 13225 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑝𝑘) ∈ ℤ) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴 ↔ (𝑝𝑘) ≤ (⌊‘𝐴)))
2012, 18, 19syl2anc 588 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴 ↔ (𝑝𝑘) ≤ (⌊‘𝐴)))
21 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑝 ∈ ℙ)
2221, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑝 ∈ ℕ)
2322nnrpd 12471 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
24 simplrr 778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2524nnzd 12126 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑘 ∈ ℤ)
26 relogexp 25287 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (log‘(𝑝𝑘)) = (𝑘 · (log‘𝑝)))
2723, 25, 26syl2anc 588 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (log‘(𝑝𝑘)) = (𝑘 · (log‘𝑝)))
2827breq1d 5043 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((log‘(𝑝𝑘)) ≤ (log‘𝐴) ↔ (𝑘 · (log‘𝑝)) ≤ (log‘𝐴)))
2924nnred 11690 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑘 ∈ ℝ)
3012adantr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
31 0red 10683 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
3214nnred 11690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
3332adantr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑝 ∈ ℝ)
3422nngt0d 11724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 0 < 𝑝)
35 0red 10683 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ∈ ℝ)
3614nnnn0d 11995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ0)
3736nn0ge0d 11998 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ≤ 𝑝)
38 elicc2 12845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝𝑝𝐴)))
39 df-3an 1087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝𝑝𝐴) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝) ∧ 𝑝𝐴))
4038, 39bitrdi 290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝) ∧ 𝑝𝐴)))
4140baibd 544 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝)) → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ 𝑝𝐴))
4235, 12, 32, 37, 41syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ 𝑝𝐴))
4342biimpa 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑝𝐴)
4431, 33, 30, 34, 43ltletrd 10839 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 0 < 𝐴)
4530, 44elrpd 12470 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
4645relogcld 25314 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
47 prmuz2 16093 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
48 eluzelre 12294 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) → 𝑝 ∈ ℝ)
49 eluz2gt1 12361 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑝)
5048, 49rplogcld 25320 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
5121, 47, 503syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
5229, 46, 51lemuldivd 12522 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((𝑘 · (log‘𝑝)) ≤ (log‘𝐴) ↔ 𝑘 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))
5346, 51rerpdivcld 12504 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ)
54 flge 13225 . . . . . . . . . 10 ((((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
5553, 25, 54syl2anc 588 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑘 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
5628, 52, 553bitrd 309 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((log‘(𝑝𝑘)) ≤ (log‘𝐴) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
5717adantr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
5857nnrpd 12471 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑝𝑘) ∈ ℝ+)
5958, 45logled 25318 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴 ↔ (log‘(𝑝𝑘)) ≤ (log‘𝐴)))
60 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
61 nnuz 12322 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
6260, 61eleqtrdi 2863 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
6362adantr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
6453flcld 13218 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℤ)
65 elfz5 12949 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
6663, 64, 65syl2anc 588 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
6756, 59, 663bitr4d 315 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))))
6867pm5.32da 583 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ (𝑝𝑘) ≤ 𝐴) ↔ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))))
6914nncnd 11691 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℂ)
7069exp1d 13556 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) = 𝑝)
7114nnge1d 11723 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 1 ≤ 𝑝)
7232, 71, 62leexp2ad 13668 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) ≤ (𝑝𝑘))
7370, 72eqbrtrrd 5057 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑝 ≤ (𝑝𝑘))
7417nnred 11690 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝𝑘) ∈ ℝ)
75 letr 10773 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ (𝑝𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑝 ≤ (𝑝𝑘) ∧ (𝑝𝑘) ≤ 𝐴) → 𝑝𝐴))
7632, 74, 12, 75syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝 ≤ (𝑝𝑘) ∧ (𝑝𝑘) ≤ 𝐴) → 𝑝𝐴))
7773, 76mpand 695 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴𝑝𝐴))
7877, 42sylibrd 262 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴𝑝 ∈ (0[,]𝐴)))
7978pm4.71rd 567 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴 ↔ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ (𝑝𝑘) ≤ 𝐴)))
80 elin 3875 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ↔ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ))
8180rbaib 543 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ↔ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)))
8281ad2antrl 728 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ↔ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)))
8382anbi1d 633 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) ↔ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))))
8468, 79, 833bitr4rd 316 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) ↔ (𝑝𝑘) ≤ 𝐴))
8517, 61eleqtrdi 2863 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝𝑘) ∈ (ℤ‘1))
8612flcld 13218 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
87 elfz5 12949 . . . . . 6 (((𝑝𝑘) ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑝𝑘) ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑝𝑘) ≤ (⌊‘𝐴)))
8885, 86, 87syl2anc 588 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑝𝑘) ≤ (⌊‘𝐴)))
8920, 84, 883bitr4d 315 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) ↔ (𝑝𝑘) ∈ (1...(⌊‘𝐴))))
9089pm5.32da 583 . . 3 (𝜑 → (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ (1...(⌊‘𝐴)))))
9111, 90syl5bb 286 . 2 (𝜑 → ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ (1...(⌊‘𝐴)))))
92 fsumvma2.3 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
93 fsumvma2.4 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (Λ‘𝑥) = 0)) → 𝐵 = 0)
941, 2, 4, 7, 91, 92, 93fsumvma 25897 1 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴))𝐵 = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Fincfn 8528  ℂcc 10574  ℝcr 10575  0cc0 10576  1c1 10577   · cmul 10581   ≤ cle 10715   / cdiv 11336  ℕcn 11675  2c2 11730  ℕ0cn0 11935  ℤcz 12021  ℤ≥cuz 12283  ℝ+crp 12431  [,]cicc 12783  ...cfz 12940  ⌊cfl 13210  ↑cexp 13480  Σcsu 15091  ℙcprime 16068  logclog 25246  Λcvma 25777 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-inf2 9138  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653  ax-pre-sup 10654  ax-addf 10655  ax-mulf 10656 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-2o 8114  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8868  df-fi 8909  df-sup 8940  df-inf 8941  df-oi 9008  df-dju 9364  df-card 9402  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-div 11337  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-4 11740  df-5 11741  df-6 11742  df-7 11743  df-8 11744  df-9 11745  df-n0 11936  df-z 12022  df-dec 12139  df-uz 12284  df-q 12390  df-rp 12432  df-xneg 12549  df-xadd 12550  df-xmul 12551  df-ioo 12784  df-ioc 12785  df-ico 12786  df-icc 12787  df-fz 12941  df-fzo 13084  df-fl 13212  df-mod 13288  df-seq 13420  df-exp 13481  df-fac 13685  df-bc 13714  df-hash 13742  df-shft 14475  df-cj 14507  df-re 14508  df-im 14509  df-sqrt 14643  df-abs 14644  df-limsup 14877  df-clim 14894  df-rlim 14895  df-sum 15092  df-ef 15470  df-sin 15472  df-cos 15473  df-pi 15475  df-dvds 15657  df-gcd 15895  df-prm 16069  df-pc 16230  df-struct 16544  df-ndx 16545  df-slot 16546  df-base 16548  df-sets 16549  df-ress 16550  df-plusg 16637  df-mulr 16638  df-starv 16639  df-sca 16640  df-vsca 16641  df-ip 16642  df-tset 16643  df-ple 16644  df-ds 16646  df-unif 16647  df-hom 16648  df-cco 16649  df-rest 16755  df-topn 16756  df-0g 16774  df-gsum 16775  df-topgen 16776  df-pt 16777  df-prds 16780  df-xrs 16834  df-qtop 16839  df-imas 16840  df-xps 16842  df-mre 16916  df-mrc 16917  df-acs 16919  df-mgm 17919  df-sgrp 17968  df-mnd 17979  df-submnd 18024  df-mulg 18293  df-cntz 18515  df-cmn 18976  df-psmet 20159  df-xmet 20160  df-met 20161  df-bl 20162  df-mopn 20163  df-fbas 20164  df-fg 20165  df-cnfld 20168  df-top 21595  df-topon 21612  df-topsp 21634  df-bases 21647  df-cld 21720  df-ntr 21721  df-cls 21722  df-nei 21799  df-lp 21837  df-perf 21838  df-cn 21928  df-cnp 21929  df-haus 22016  df-tx 22263  df-hmeo 22456  df-fil 22547  df-fm 22639  df-flim 22640  df-flf 22641  df-xms 23023  df-ms 23024  df-tms 23025  df-cncf 23580  df-limc 24566  df-dv 24567  df-log 25248  df-vma 25783 This theorem is referenced by:  chpval2  25902  rplogsumlem2  26169  rpvmasumlem  26171
 Copyright terms: Public domain W3C validator