MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumvma2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumvma2 26724
Description: Apply fsumvma 26723 for the common case of all numbers less than a real number ๐ด. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumvma2.1 (๐‘ฅ = (๐‘โ†‘๐‘˜) โ†’ ๐ต = ๐ถ)
fsumvma2.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
fsumvma2.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
fsumvma2.4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (ฮ›โ€˜๐‘ฅ) = 0)) โ†’ ๐ต = 0)
Assertion
Ref Expression
fsumvma2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))๐ต = ฮฃ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))๐ถ)
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘,๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘,๐‘ฅ   ๐ต,๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘˜,๐‘)

Proof of Theorem fsumvma2
StepHypRef Expression
1 fsumvma2.1 . 2 (๐‘ฅ = (๐‘โ†‘๐‘˜) โ†’ ๐ต = ๐ถ)
2 fzfid 13940 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
3 fz1ssnn 13534 . . 3 (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โŠ† โ„•
43a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โŠ† โ„•)
5 fsumvma2.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
6 ppifi 26617 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆˆ Fin)
75, 6syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆˆ Fin)
8 elinel2 4196 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
9 elfznn 13532 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
108, 9anim12i 613 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•))
1110pm4.71ri 561 . . 3 ((๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))))
125adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
13 prmnn 16613 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1413ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
15 nnnn0 12481 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
1615ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
1714, 16nnexpcld 14210 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
1817nnzd 12587 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
19 flge 13772 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)))
2012, 18, 19syl2anc 584 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)))
21 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
2221, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2322nnrpd 13016 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
24 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
2524nnzd 12587 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
26 relogexp 26111 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) = (๐‘˜ ยท (logโ€˜๐‘)))
2723, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) = (๐‘˜ ยท (logโ€˜๐‘)))
2827breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (logโ€˜๐ด) โ†” (๐‘˜ ยท (logโ€˜๐‘)) โ‰ค (logโ€˜๐ด)))
2924nnred 12229 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
3012adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
31 0red 11219 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
3214nnred 12229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3422nngt0d 12263 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ 0 < ๐‘)
35 0red 11219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
3614nnnn0d 12534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3736nn0ge0d 12537 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
38 elicc2 13391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค ๐ด)))
39 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค ๐ด) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐ด))
4038, 39bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐ด)))
4140baibd 540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด) โ†” ๐‘ โ‰ค ๐ด))
4235, 12, 32, 37, 41syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด) โ†” ๐‘ โ‰ค ๐ด))
4342biimpa 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ด)
4431, 33, 30, 34, 43ltletrd 11376 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ 0 < ๐ด)
4530, 44elrpd 13015 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
4645relogcld 26138 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
47 prmuz2 16635 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
48 eluzelre 12835 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
49 eluz2gt1 12906 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐‘)
5048, 49rplogcld 26144 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
5121, 47, 503syl 18 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
5229, 46, 51lemuldivd 13067 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ((๐‘˜ ยท (logโ€˜๐‘)) โ‰ค (logโ€˜๐ด) โ†” ๐‘˜ โ‰ค ((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))
5346, 51rerpdivcld 13049 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
54 flge 13772 . . . . . . . . . 10 ((((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค ((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)) โ†” ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))
5553, 25, 54syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค ((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)) โ†” ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))
5628, 52, 553bitrd 304 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (logโ€˜๐ด) โ†” ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))
5717adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
5857nnrpd 13016 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
5958, 45logled 26142 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด โ†” (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (logโ€˜๐ด)))
60 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
61 nnuz 12867 . . . . . . . . . . 11 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
6260, 61eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
6362adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
6453flcld 13765 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) โˆˆ โ„ค)
65 elfz5 13495 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))) โ†” ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))
6663, 64, 65syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))) โ†” ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))
6756, 59, 663bitr4d 310 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด โ†” ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))))
6867pm5.32da 579 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด) โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด) โ†” (๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))))
6914nncnd 12230 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
7069exp1d 14108 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘โ†‘1) = ๐‘)
7114nnge1d 12262 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
7232, 71, 62leexp2ad 14219 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘โ†‘1) โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘˜))
7370, 72eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘˜))
7417nnred 12229 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
75 letr 11310 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ด))
7632, 74, 12, 75syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ด))
7773, 76mpand 693 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ด))
7877, 42sylibrd 258 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด โ†’ ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)))
7978pm4.71rd 563 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด) โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด)))
80 elin 3964 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โ†” (๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™))
8180rbaib 539 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โ†” ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)))
8281ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โ†” ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)))
8382anbi1d 630 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†” (๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))))
8468, 79, 833bitr4rd 311 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†” (๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด))
8517, 61eleqtrdi 2843 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
8612flcld 13765 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
87 elfz5 13495 . . . . . 6 (((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)))
8885, 86, 87syl2anc 584 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)))
8920, 84, 883bitr4d 310 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†” (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))))
9089pm5.32da 579 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))))
9111, 90bitrid 282 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))))
92 fsumvma2.3 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
93 fsumvma2.4 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (ฮ›โ€˜๐‘ฅ) = 0)) โ†’ ๐ต = 0)
941, 2, 4, 7, 91, 92, 93fsumvma 26723 1 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))๐ต = ฮฃ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))๐ถ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โˆฉ cin 3947   โŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11251   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  2c2 12269  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  โ„+crp 12976  [,]cicc 13329  ...cfz 13486  โŒŠcfl 13757  โ†‘cexp 14029  ฮฃcsu 15634  โ„™cprime 16610  logclog 26070  ฮ›cvma 26603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-pc 16772  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-vma 26609
This theorem is referenced by:  chpval2  26728  rplogsumlem2  26995  rpvmasumlem  26997
  Copyright terms: Public domain W3C validator