MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumvma2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumvma2 26717
Description: Apply fsumvma 26716 for the common case of all numbers less than a real number ๐ด. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumvma2.1 (๐‘ฅ = (๐‘โ†‘๐‘˜) โ†’ ๐ต = ๐ถ)
fsumvma2.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
fsumvma2.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
fsumvma2.4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (ฮ›โ€˜๐‘ฅ) = 0)) โ†’ ๐ต = 0)
Assertion
Ref Expression
fsumvma2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))๐ต = ฮฃ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))๐ถ)
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘,๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘,๐‘ฅ   ๐ต,๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘˜,๐‘)

Proof of Theorem fsumvma2
StepHypRef Expression
1 fsumvma2.1 . 2 (๐‘ฅ = (๐‘โ†‘๐‘˜) โ†’ ๐ต = ๐ถ)
2 fzfid 13938 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
3 fz1ssnn 13532 . . 3 (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โŠ† โ„•
43a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โŠ† โ„•)
5 fsumvma2.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
6 ppifi 26610 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆˆ Fin)
75, 6syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆˆ Fin)
8 elinel2 4197 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
9 elfznn 13530 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
108, 9anim12i 614 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•))
1110pm4.71ri 562 . . 3 ((๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))))
125adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
13 prmnn 16611 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1413ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
15 nnnn0 12479 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
1615ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
1714, 16nnexpcld 14208 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
1817nnzd 12585 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
19 flge 13770 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)))
2012, 18, 19syl2anc 585 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)))
21 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
2221, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2322nnrpd 13014 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
24 simplrr 777 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
2524nnzd 12585 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
26 relogexp 26104 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) = (๐‘˜ ยท (logโ€˜๐‘)))
2723, 25, 26syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) = (๐‘˜ ยท (logโ€˜๐‘)))
2827breq1d 5159 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (logโ€˜๐ด) โ†” (๐‘˜ ยท (logโ€˜๐‘)) โ‰ค (logโ€˜๐ด)))
2924nnred 12227 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
3012adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
31 0red 11217 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
3214nnred 12227 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3332adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3422nngt0d 12261 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ 0 < ๐‘)
35 0red 11217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
3614nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3736nn0ge0d 12535 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
38 elicc2 13389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค ๐ด)))
39 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค ๐ด) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐ด))
4038, 39bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘) โˆง ๐‘ โ‰ค ๐ด)))
4140baibd 541 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด) โ†” ๐‘ โ‰ค ๐ด))
4235, 12, 32, 37, 41syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด) โ†” ๐‘ โ‰ค ๐ด))
4342biimpa 478 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ด)
4431, 33, 30, 34, 43ltletrd 11374 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ 0 < ๐ด)
4530, 44elrpd 13013 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
4645relogcld 26131 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
47 prmuz2 16633 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
48 eluzelre 12833 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
49 eluz2gt1 12904 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐‘)
5048, 49rplogcld 26137 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
5121, 47, 503syl 18 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
5229, 46, 51lemuldivd 13065 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ((๐‘˜ ยท (logโ€˜๐‘)) โ‰ค (logโ€˜๐ด) โ†” ๐‘˜ โ‰ค ((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))
5346, 51rerpdivcld 13047 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
54 flge 13770 . . . . . . . . . 10 ((((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค ((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)) โ†” ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))
5553, 25, 54syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ (๐‘˜ โ‰ค ((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)) โ†” ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))
5628, 52, 553bitrd 305 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ((logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (logโ€˜๐ด) โ†” ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))
5717adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
5857nnrpd 13014 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
5958, 45logled 26135 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด โ†” (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (logโ€˜๐ด)))
60 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
61 nnuz 12865 . . . . . . . . . . 11 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
6260, 61eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
6362adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
6453flcld 13763 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) โˆˆ โ„ค)
65 elfz5 13493 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))) โ†” ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))
6663, 64, 65syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))) โ†” ๐‘˜ โ‰ค (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))
6756, 59, 663bitr4d 311 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด โ†” ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))))
6867pm5.32da 580 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด) โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด) โ†” (๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))))
6914nncnd 12228 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
7069exp1d 14106 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘โ†‘1) = ๐‘)
7114nnge1d 12260 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
7232, 71, 62leexp2ad 14217 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘โ†‘1) โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘˜))
7370, 72eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘˜))
7417nnred 12227 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
75 letr 11308 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ด))
7632, 74, 12, 75syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ โ‰ค (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ด))
7773, 76mpand 694 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ด))
7877, 42sylibrd 259 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด โ†’ ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)))
7978pm4.71rd 564 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด โ†” (๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด) โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด)))
80 elin 3965 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โ†” (๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™))
8180rbaib 540 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โ†” ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)))
8281ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โ†” ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด)))
8382anbi1d 631 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†” (๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))))
8468, 79, 833bitr4rd 312 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†” (๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค ๐ด))
8517, 61eleqtrdi 2844 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
8612flcld 13763 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
87 elfz5 13493 . . . . . 6 (((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)))
8885, 86, 87syl2anc 585 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†” (๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰ค (โŒŠโ€˜๐ด)))
8920, 84, 883bitr4d 311 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†” (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))))
9089pm5.32da 580 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))))
9111, 90bitrid 283 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))))
92 fsumvma2.3 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
93 fsumvma2.4 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (ฮ›โ€˜๐‘ฅ) = 0)) โ†’ ๐ต = 0)
941, 2, 4, 7, 91, 92, 93fsumvma 26716 1 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))๐ต = ฮฃ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))๐ถ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆฉ cin 3948   โŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  โ„+crp 12974  [,]cicc 13327  ...cfz 13484  โŒŠcfl 13755  โ†‘cexp 14027  ฮฃcsu 15632  โ„™cprime 16608  logclog 26063  ฮ›cvma 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-vma 26602
This theorem is referenced by:  chpval2  26721  rplogsumlem2  26988  rpvmasumlem  26990
  Copyright terms: Public domain W3C validator