MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumvma2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumvma2 25159
Description: Apply fsumvma 25158 for the common case of all numbers less than a real number 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumvma2.1 (𝑥 = (𝑝𝑘) → 𝐵 = 𝐶)
fsumvma2.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fsumvma2.3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumvma2.4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (Λ‘𝑥) = 0)) → 𝐵 = 0)
Assertion
Ref Expression
fsumvma2 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴))𝐵 = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))𝐶)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑝,𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑘,𝑝,𝑥   𝐵,𝑘,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘,𝑝)

Proof of Theorem fsumvma2
StepHypRef Expression
1 fsumvma2.1 . 2 (𝑥 = (𝑝𝑘) → 𝐵 = 𝐶)
2 fzfid 12979 . 2 (𝜑 → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
3 elfznn 12576 . . . 4 (𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℕ)
43ssriv 3756 . . 3 (1...(⌊‘𝐴)) ⊆ ℕ
54a1i 11 . 2 (𝜑 → (1...(⌊‘𝐴)) ⊆ ℕ)
6 fsumvma2.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
7 ppifi 25052 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
86, 7syl 17 . 2 (𝜑 → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∈ Fin)
9 elin 3947 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ↔ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ 𝑝 ∈ ℙ))
109simprbi 484 . . . . 5 (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
11 elfznn 12576 . . . . 5 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
1210, 11anim12i 600 . . . 4 ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
1312pm4.71ri 550 . . 3 ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))))
146adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
15 prmnn 15594 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
1615ad2antrl 707 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
17 nnnn0 11505 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
1817ad2antll 708 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1916, 18nnexpcld 13236 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
2019nnzd 11687 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝𝑘) ∈ ℤ)
21 flge 12813 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑝𝑘) ∈ ℤ) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴 ↔ (𝑝𝑘) ≤ (⌊‘𝐴)))
2214, 20, 21syl2anc 573 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴 ↔ (𝑝𝑘) ≤ (⌊‘𝐴)))
23 simplrl 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑝 ∈ ℙ)
2423, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑝 ∈ ℕ)
2524nnrpd 12072 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
26 simplrr 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2726nnzd 11687 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑘 ∈ ℤ)
28 relogexp 24562 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (log‘(𝑝𝑘)) = (𝑘 · (log‘𝑝)))
2925, 27, 28syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (log‘(𝑝𝑘)) = (𝑘 · (log‘𝑝)))
3029breq1d 4797 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((log‘(𝑝𝑘)) ≤ (log‘𝐴) ↔ (𝑘 · (log‘𝑝)) ≤ (log‘𝐴)))
3126nnred 11240 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑘 ∈ ℝ)
3214adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
33 0red 10246 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
3416nnred 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
3534adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑝 ∈ ℝ)
3624nngt0d 11269 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 0 < 𝑝)
37 0red 10246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ∈ ℝ)
38 nnnn0 11505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℕ0)
3916, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ0)
4039nn0ge0d 11560 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 0 ≤ 𝑝)
41 elicc2 12442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝𝑝𝐴)))
42 df-3an 1073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝𝑝𝐴) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝) ∧ 𝑝𝐴))
4341, 42syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝) ∧ 𝑝𝐴)))
4443baibd 529 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑝)) → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ 𝑝𝐴))
4537, 14, 34, 40, 44syl22anc 1477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ↔ 𝑝𝐴))
4645biimpa 462 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑝𝐴)
4733, 35, 32, 36, 46ltletrd 10402 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 0 < 𝐴)
4832, 47elrpd 12071 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
4948relogcld 24589 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
50 prmuz2 15614 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
51 eluzelre 11903 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) → 𝑝 ∈ ℝ)
52 eluz2b2 11968 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
5352simprbi 484 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑝)
5451, 53rplogcld 24595 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
5523, 50, 543syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (log‘𝑝) ∈ ℝ+)
5631, 49, 55lemuldivd 12123 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((𝑘 · (log‘𝑝)) ≤ (log‘𝐴) ↔ 𝑘 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))
5749, 55rerpdivcld 12105 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ)
58 flge 12813 . . . . . . . . . 10 ((((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
5957, 27, 58syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑘 ≤ ((log‘𝐴) / (log‘𝑝)) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
6030, 56, 593bitrd 294 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((log‘(𝑝𝑘)) ≤ (log‘𝐴) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
6119adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑝𝑘) ∈ ℕ)
6261nnrpd 12072 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑝𝑘) ∈ ℝ+)
6362, 48logled 24593 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴 ↔ (log‘(𝑝𝑘)) ≤ (log‘𝐴)))
64 simprr 756 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ ℕ)
65 nnuz 11929 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
6664, 65syl6eleq 2860 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
6766adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
6857flcld 12806 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℤ)
69 elfz5 12540 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
7067, 68, 69syl2anc 573 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))
7160, 63, 703bitr4d 300 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) ∧ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))))
7271pm5.32da 568 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ (𝑝𝑘) ≤ 𝐴) ↔ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))))
7316nncnd 11241 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℂ)
7473exp1d 13209 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) = 𝑝)
7516nnge1d 11268 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 1 ≤ 𝑝)
7634, 75, 66leexp2ad 13247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) ≤ (𝑝𝑘))
7774, 76eqbrtrrd 4811 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → 𝑝 ≤ (𝑝𝑘))
7819nnred 11240 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝𝑘) ∈ ℝ)
79 letr 10336 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ (𝑝𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑝 ≤ (𝑝𝑘) ∧ (𝑝𝑘) ≤ 𝐴) → 𝑝𝐴))
8034, 78, 14, 79syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝 ≤ (𝑝𝑘) ∧ (𝑝𝑘) ≤ 𝐴) → 𝑝𝐴))
8177, 80mpand 675 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴𝑝𝐴))
8281, 45sylibrd 249 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴𝑝 ∈ (0[,]𝐴)))
8382pm4.71rd 552 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) ≤ 𝐴 ↔ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ (𝑝𝑘) ≤ 𝐴)))
849rbaib 528 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ↔ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)))
8584ad2antrl 707 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ↔ 𝑝 ∈ (0[,]𝐴)))
8685anbi1d 615 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) ↔ (𝑝 ∈ (0[,]𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))))
8772, 83, 863bitr4rd 301 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) ↔ (𝑝𝑘) ≤ 𝐴))
8819, 65syl6eleq 2860 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑝𝑘) ∈ (ℤ‘1))
8914flcld 12806 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
90 elfz5 12540 . . . . . 6 (((𝑝𝑘) ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑝𝑘) ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑝𝑘) ≤ (⌊‘𝐴)))
9188, 89, 90syl2anc 573 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝𝑘) ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ↔ (𝑝𝑘) ≤ (⌊‘𝐴)))
9222, 87, 913bitr4d 300 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) ↔ (𝑝𝑘) ∈ (1...(⌊‘𝐴))))
9392pm5.32da 568 . . 3 (𝜑 → (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝)))))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ (1...(⌊‘𝐴)))))
9413, 93syl5bb 272 . 2 (𝜑 → ((𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑝𝑘) ∈ (1...(⌊‘𝐴)))))
95 fsumvma2.3 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
96 fsumvma2.4 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) ∧ (Λ‘𝑥) = 0)) → 𝐵 = 0)
971, 2, 5, 8, 94, 95, 96fsumvma 25158 1 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (1...(⌊‘𝐴))𝐵 = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘𝐴) / (log‘𝑝))))𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cin 3722  wss 3723   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6795  Fincfn 8112  cc 10139  cr 10140  0cc0 10141  1c1 10142   · cmul 10146   < clt 10279  cle 10280   / cdiv 10889  cn 11225  2c2 11275  0cn0 11498  cz 11583  cuz 11892  +crp 12034  [,]cicc 12382  ...cfz 12532  cfl 12798  cexp 13066  Σcsu 14623  cprime 15591  logclog 24521  Λcvma 25038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219  ax-addf 10220  ax-mulf 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-of 7047  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-supp 7450  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-2o 7717  df-oadd 7720  df-er 7899  df-map 8014  df-pm 8015  df-ixp 8066  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-fsupp 8435  df-fi 8476  df-sup 8507  df-inf 8508  df-oi 8574  df-card 8968  df-cda 9195  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-9 11291  df-n0 11499  df-z 11584  df-dec 11700  df-uz 11893  df-q 11996  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-dvds 15189  df-gcd 15424  df-prm 15592  df-pc 15748  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-vma 25044
This theorem is referenced by:  chpval2  25163  rplogsumlem2  25394  rpvmasumlem  25396
  Copyright terms: Public domain W3C validator