Theorem coeid3 25683

Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to at least the degree of the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrub.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coeid3	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑆,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋

Proof of Theorem coeid3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgrub.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2		dgrub.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
3	1, 2	coeid2 25682	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
4	3	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
5		fzss2 13523	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
6	5	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
7		elfznn0 13576	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8	1	coef3 25675	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
10	9	ffvelcdmda 7071	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
11		expcl 14027	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑘) ∈ ℂ)
12	11	3ad2antl3 1187	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑘) ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 11216	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ ℂ)
14	7, 13	sylan2 593	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ ℂ)
15		eldifn 4123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
16	15	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
17		simpl1 1191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
18		eldifi 4122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
19		elfzuz 13479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
22		nn0uz 12846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
23	21, 22	eleqtrrdi 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24	1, 2	dgrub 25677	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑘) ≠ 0) → 𝑘 ≤ 𝑁)
25	24	3expia 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
26	17, 23, 25	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
27		simpl2 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
28		eluzel2 12809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
30		elfz5 13475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
31	21, 29, 30	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
32	26, 31	sylibrd 258	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
33	32	necon1bd 2957	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝐴‘𝑘) = 0))
34	16, 33	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝐴‘𝑘) = 0)
35	34	oveq1d 7408	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = (0 · (𝑋↑𝑘)))
36		elfznn0 13576	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
37	18, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38	37, 12	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑋↑𝑘) ∈ ℂ)
39	38	mul02d 11394	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑋↑𝑘)) = 0)
40	35, 39	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = 0)
41		fzfid 13920	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ∈ Fin)
42	6, 14, 40, 41	fsumss 15653	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
43	4, 42	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3941   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5141  ⟶wf 6528  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  ℂcc 11090  0cc0 11092   · cmul 11097   ≤ cle 11231  ℕ₀cn0 12454  ℤcz 12540  ℤ_≥cuz 12804  ...cfz 13466  ↑cexp 14009  Σcsu 15614  Polycply 25627  coeffccoe 25629  degcdgr 25630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-0p 25116  df-ply 25631  df-coe 25633  df-dgr 25634

This theorem is referenced by:  dvply2g  25727  aannenlem1  25770