Theorem coeid3 26201

Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to at least the degree of the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrub.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coeid3	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑆,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋

Proof of Theorem coeid3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgrub.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2		dgrub.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
3	1, 2	coeid2 26200	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
4	3	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
5		fzss2 13480	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
6	5	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
7		elfznn0 13536	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8	1	coef3 26193	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
10	9	ffvelcdmda 7029	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
11		expcl 14002	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑘) ∈ ℂ)
12	11	3ad2antl3 1188	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑘) ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 11152	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ ℂ)
14	7, 13	sylan2 593	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ ℂ)
15		eldifn 4084	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
17		simpl1 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
18		eldifi 4083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
19		elfzuz 13436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
22		nn0uz 12789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
23	21, 22	eleqtrrdi 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24	1, 2	dgrub 26195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑘) ≠ 0) → 𝑘 ≤ 𝑁)
25	24	3expia 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
26	17, 23, 25	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
27		simpl2 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
28		eluzel2 12756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
30		elfz5 13432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
31	21, 29, 30	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
32	26, 31	sylibrd 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
33	32	necon1bd 2950	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝐴‘𝑘) = 0))
34	16, 33	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝐴‘𝑘) = 0)
35	34	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = (0 · (𝑋↑𝑘)))
36		elfznn0 13536	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
37	18, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38	37, 12	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑋↑𝑘) ∈ ℂ)
39	38	mul02d 11331	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑋↑𝑘)) = 0)
40	35, 39	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = 0)
41		fzfid 13896	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ∈ Fin)
42	6, 14, 40, 41	fsumss 15648	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
43	4, 42	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026   · cmul 11031   ≤ cle 11167  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  ↑cexp 13984  Σcsu 15609  Polycply 26145  coeffccoe 26147  degcdgr 26148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-0p 25627  df-ply 26149  df-coe 26151  df-dgr 26152

This theorem is referenced by:  dvply2g  26248  dvply2gOLD  26249  aannenlem1  26292