MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeid3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeid3 25754
Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to at least the degree of the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
dgrub.2 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
coeid3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   𝑆,π‘˜   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁   π‘˜,𝑋

Proof of Theorem coeid3
StepHypRef Expression
1 dgrub.1 . . . 4 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
2 dgrub.2 . . . 4 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
31, 2coeid2 25753 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
433adant2 1132 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
5 fzss2 13541 . . . 4 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (0...𝑁) βŠ† (0...𝑀))
653ad2ant2 1135 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (0...𝑁) βŠ† (0...𝑀))
7 elfznn0 13594 . . . 4 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
81coef3 25746 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
983ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
109ffvelcdmda 7087 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
11 expcl 14045 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘‹β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
12113ad2antl3 1188 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘‹β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
1310, 12mulcld 11234 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
147, 13sylan2 594 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
15 eldifn 4128 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁)) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
1615adantl 483 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
17 simpl1 1192 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
18 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑀))
19 elfzuz 13497 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
2120adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
22 nn0uz 12864 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2321, 22eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
241, 2dgrub 25748 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)
25243expia 1122 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
2617, 23, 25syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
27 simpl2 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
28 eluzel2 12827 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
30 elfz5 13493 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ↔ π‘˜ ≀ 𝑁))
3121, 29, 30syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ↔ π‘˜ ≀ 𝑁))
3226, 31sylibrd 259 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁)))
3332necon1bd 2959 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
3416, 33mpd 15 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0)
3534oveq1d 7424 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) = (0 Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
36 elfznn0 13594 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3718, 36syl 17 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3837, 12sylan2 594 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (π‘‹β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
3938mul02d 11412 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (0 Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) = 0)
4035, 39eqtrd 2773 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) = 0)
41 fzfid 13938 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
426, 14, 40, 41fsumss 15671 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
434, 42eqtrd 2773 1 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  Ξ£csu 15632  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705
This theorem is referenced by:  dvply2g  25798  aannenlem1  25841
  Copyright terms: Public domain W3C validator