Theorem coeid3 26299

Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to at least the degree of the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrub.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
dgrub.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coeid3	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑆,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋

Proof of Theorem coeid3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgrub.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2		dgrub.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐹)
3	1, 2	coeid2 26298	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
4	3	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
5		fzss2 13624	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
6	5	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ⊆ (0...𝑀))
7		elfznn0 13677	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8	1	coef3 26291	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
10	9	ffvelcdmda 7118	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
11		expcl 14130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑘) ∈ ℂ)
12	11	3ad2antl3 1187	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋↑𝑘) ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 11310	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ ℂ)
14	7, 13	sylan2 592	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) ∈ ℂ)
15		eldifn 4155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
17		simpl1 1191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
18		eldifi 4154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
19		elfzuz 13580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
22		nn0uz 12945	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
23	21, 22	eleqtrrdi 2855	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24	1, 2	dgrub 26293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴‘𝑘) ≠ 0) → 𝑘 ≤ 𝑁)
25	24	3expia 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
26	17, 23, 25	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ≤ 𝑁))
27		simpl2 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
28		eluzel2 12908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
30		elfz5 13576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
31	21, 29, 30	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ≤ 𝑁))
32	26, 31	sylibrd 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) ≠ 0 → 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
33	32	necon1bd 2964	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝐴‘𝑘) = 0))
34	16, 33	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝐴‘𝑘) = 0)
35	34	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = (0 · (𝑋↑𝑘)))
36		elfznn0 13677	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
37	18, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38	37, 12	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (𝑋↑𝑘) ∈ ℂ)
39	38	mul02d 11488	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑋↑𝑘)) = 0)
40	35, 39	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = 0)
41		fzfid 14024	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ∈ Fin)
42	6, 14, 40, 41	fsumss 15773	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))
43	4, 42	eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴‘𝑘) · (𝑋↑𝑘)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189   ≤ cle 11325  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  ↑cexp 14112  Σcsu 15734  Polycply 26243  coeffccoe 26245  degcdgr 26246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-0p 25724  df-ply 26247  df-coe 26249  df-dgr 26250

This theorem is referenced by:  dvply2g  26344  dvply2gOLD  26345  aannenlem1  26388