MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coeid3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coeid3 25978
Description: Reconstruct a polynomial as an explicit sum of the coefficient function up to at least the degree of the polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
dgrub.2 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
coeid3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   𝑆,π‘˜   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁   π‘˜,𝑋

Proof of Theorem coeid3
StepHypRef Expression
1 dgrub.1 . . . 4 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
2 dgrub.2 . . . 4 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
31, 2coeid2 25977 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
433adant2 1131 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
5 fzss2 13545 . . . 4 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (0...𝑁) βŠ† (0...𝑀))
653ad2ant2 1134 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (0...𝑁) βŠ† (0...𝑀))
7 elfznn0 13598 . . . 4 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
81coef3 25970 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
983ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
109ffvelcdmda 7086 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
11 expcl 14049 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘‹β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
12113ad2antl3 1187 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘‹β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
1310, 12mulcld 11238 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
147, 13sylan2 593 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
15 eldifn 4127 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁)) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
1615adantl 482 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
17 simpl1 1191 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
18 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑀))
19 elfzuz 13501 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
2120adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
22 nn0uz 12868 . . . . . . . . . 10 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2321, 22eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
241, 2dgrub 25972 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)
25243expia 1121 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
2617, 23, 25syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
27 simpl2 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
28 eluzel2 12831 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
30 elfz5 13497 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ↔ π‘˜ ≀ 𝑁))
3121, 29, 30syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ↔ π‘˜ ≀ 𝑁))
3226, 31sylibrd 258 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁)))
3332necon1bd 2958 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0))
3416, 33mpd 15 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0)
3534oveq1d 7426 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) = (0 Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
36 elfznn0 13598 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0...𝑀) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3718, 36syl 17 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3837, 12sylan2 593 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (π‘‹β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
3938mul02d 11416 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ (0 Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) = 0)
4035, 39eqtrd 2772 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) ∧ π‘˜ ∈ ((0...𝑀) βˆ– (0...𝑁))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) = 0)
41 fzfid 13942 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
426, 14, 40, 41fsumss 15675 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
434, 42eqtrd 2772 1 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑋 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘‹β†‘π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  β†‘cexp 14031  Ξ£csu 15636  Polycply 25922  coeffccoe 25924  degcdgr 25925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25411  df-ply 25926  df-coe 25928  df-dgr 25929
This theorem is referenced by:  dvply2g  26022  aannenlem1  26065
  Copyright terms: Public domain W3C validator